2009年07月02日
東工大数学'09年後期[2]
東工大数学'09年後期[2]
，
であるような点P
から双曲線
へ引いた2本の接線の接点をA，Bとする。
をtとおいて、三角形PABの面積をtの式として表せ。また、この面積の最小値を求めよ。
解答 試験時間も考えると、凝らずに平凡に計算を進める方が良さそうです。
点A，Bのx座標をa，b (
)とします。
，
双曲線
の
における接線は、
点P
を通るので、
分母を払ってaについて整理すると、
･･･��これをaに関する2次方程式とみると、判別式Dは、
となるので、�，倭螳曚覆�2実数解a，bをもちます。解と係数の関係より、
，
･･･��これより、
です。A，Bの座標は
，
，
より、三角形OABの面積Sは、
ここで、2次方程式�，�2解の差
は、
(2次方程式の一般論を参照)これと�△鰺僂い董�
......[答] (
です)
において
，
において
より、Sは、
のときに最小値
......[答] (関数の増減を参照)
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，であるような点Pから双曲線へ引いた2本の接線の接点をA，Bとする。をtとおいて、三角形PABの面積をtの式として表せ。また、この面積の最小値を求めよ。解答 試験時間も考えると、凝らずに平凡に計算を進める方が良さそうです。
点A，Bのx座標をa，b (
)とします。，のにおける接線は、を通るので、 ･･･��， ･･･��です。A，Bの座標は，，は、 (2次方程式の一般論を参照) ......[答] (です)において，においてより、Sは、のときに最小値 ......[答] (関数の増減を参照)TOPに戻る CFV21 メイン・ページ 考察のぺージ
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2009年07月01日
一橋大数学'09年後期[2]
一橋大数学'09年後期[2]
a，bを
となる実数とし、
とおく。
解答 3次曲線
のグラフの特質を活かして解答しましょう。
より
の増減表は以下のようになります(3次関数の増減を参照)。
とすると、
･･･��
注．なぜ、�，里茲Δ飽�数分解できるか、と言えば、
は極大値
をもつので、x軸に平行な直線：
と曲線
は
で接していて、方程式：
は
を重解にもつことがわかっているからです。
の係数を見れば、解と係数の関係より、もう1つの解が
だとわかります。
また、右図のように、
，
，
，
とするとき、c，a，
(変曲点の位置)，b，dはこの順に等差数列になっていることにも注意してください。ここからも、
，
とわかります。
また、同様に、
とすると、
を考えるとき、
となるところ、つまり、x軸がどの辺を通るか、ということが問題になります。
(i) 
，つまり、
，
のとき、x軸は極小を与える点
から下を通ります。
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a，bを
となる実数とし、とおく。(1) 
を示せ。
を示せ。(2) 区間
における
の最大値および最小値を求めよ。ただし、最大値、最小値を与えるxの値は求めなくてよい。
におけるの最大値および最小値を求めよ。ただし、最大値、最小値を与えるxの値は求めなくてよい。解答 3次曲線
のグラフの特質を活かして解答しましょう。の増減表は以下のようになります(3次関数の増減を参照)。| x | a | b | |||
 | ＋ | 0 | − | 0 | ＋ |
 |  |  |  |  | |
とすると、 ･･･��∴ 
注．なぜ、�，里茲Δ飽�数分解できるか、と言えば、は極大値をもつので、x軸に平行な直線：と曲線はで接していて、方程式：はを重解にもつことがわかっているからです。の係数を見れば、解と係数の関係より、もう1つの解がだとわかります。また、右図のように、
，，，とするとき、c，a，(変曲点の位置)，b，dはこの順に等差数列になっていることにも注意してください。ここからも、，とわかります。また、同様に、
とすると、∴ 
(1) 
であり、
において
は増加関数だから、
であり、においては増加関数だから、(2) 
なので、曲線
は原点を通ることに注意します。
なので、曲線は原点を通ることに注意します。を考えるとき、となるところ、つまり、x軸がどの辺を通るか、ということが問題になります。(i) ，つまり、，のとき、x軸は極小を与える点から下を通ります。このとき、
において、
なので
であって、
最大値は
，最小値は
です。
において、なのでであって、最大値は
，最小値はです。(ii) 
，つまり、
のとき、x軸は極小を与える点
よりも上を通ります。
，つまり、のとき、x軸は極小を与える点よりも上を通ります。このとき、
より
であることに注意すると、方程式：
は
，
にそれぞれ1解p，qをもちます。つまり、このとき、
，
です。
において、
となるので
であり、この範囲では、
が最大になりますが、
においては、
と
の大きい方が最大値になります。そこで、
と
の差を調べてみます。
よりであることに注意すると、方程式：は，にそれぞれ1解p，qをもちます。つまり、このとき、，です。において、となるのでであり、この範囲では、が最大になりますが、においては、との大きい方が最大値になります。そこで、との差を調べてみます。
のとき正で、
のとき負で、
以上より、
(i) 
のとき、最大値：
，最小値：
のとき、最大値：，最小値：(ii) 
のとき、最大値：
，最小値：
のとき、最大値：，最小値：(iii) 
のとき、最大値：
，最小値：
......[答]
のとき、最大値：，最小値： ......[答]TOPに戻る CFV21 メイン・ページ 考察のぺージ
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2009年06月26日
九大理系数学'09年後期[3]
九大理系数学'09年後期[3]
Oを原点とするxyz空間内の点A，B，CをそれぞれA
，B
，C
とし、2点A，Bを通る直線を
とする。以下の問いに答えよ。
解答 ねじれの位置にある2直線上を一定の長さの2つの線分が動くとき、2線分の端点を4頂点とする四面体の体積が一定になることを示す、という難問です。なお、空間ベクトルを参照してください。
･･･��
，
......[答] (つまり
は原点Oです)
(cは定数)
∴ 
これより、
とおけます。
，
として、
，
，
より、
......[答]
(3) Fよりy軸に垂線FHを下ろし、Hのy座標をuとすると、Fのy座標もuです。�，茲蝓�
とおくと、
......[答]
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Oを原点とするxyz空間内の点A，B，CをそれぞれA
，B，Cとし、2点A，Bを通る直線をとする。以下の問いに答えよ。(1) 点Pは直線
上を動き、点Qはy軸上を動くものとする。このとき、2点PとQとの距離の最小値を求めよ。また、PとQとの距離が最小となるときのPとQをそれぞれ
，
とする。
と
の座標を求めよ。
上を動き、点Qはy軸上を動くものとする。このとき、2点PとQとの距離の最小値を求めよ。また、PとQとの距離が最小となるときのPとQをそれぞれ，とする。との座標を求めよ。(2) 
との距離がsであるような直線
上の点の一つをSとする。点Sから三角形
を含む平面に下ろした垂線とその平面との交点をRとするとき、線分SRの長さを求めよ。
との距離がsであるような直線上の点の一つをSとする。点Sから三角形を含む平面に下ろした垂線とその平面との交点をRとするとき、線分SRの長さを求めよ。(3) y軸上に長さkの線分DEがあり、直線
上に長さmの線分FGがある。四面体DEFGの体積を求めよ。
上に長さmの線分FGがある。四面体DEFGの体積を求めよ。解答 ねじれの位置にある2直線上を一定の長さの2つの線分が動くとき、2線分の端点を4頂点とする四面体の体積が一定になることを示す、という難問です。なお、空間ベクトルを参照してください。
(1) 
上の点P
，tを実数として、直線
の ･･･��y軸上の点Qの座標はqを実数として
･･･��
･･･��これは、
かつ 
のときに最小値2となります。
よって、2点P，Qの距離の最小値は、
......[答]
また、P，Qの距離の最小を与える
，
の座標は、
，
を� き△紡綟�して、
かつ のときに最小値2となります。よって、2点P，Qの距離の最小値は、
......[答]また、P，Qの距離の最小を与える
，の座標は、，を� き△紡綟�して、， ......[答] (つまりは原点Oです)別解．本問ではQがy軸上の点で座標が簡単なので、
を2文字t，qで表しても大した計算にはなりませんが、
の各成分に2文字が混じるようなときには計算が非常に面倒になります。ねじれの位置にある2直線上を動く動点間の距離の最小値を求める場合には、平面の方程式を利用して以下のように解答することができます。
y軸に平行で直線
を含む平面pの法線ベクトルは、y軸にも直線
にも垂直、つまり、ベクトル
にも
にも垂直です。両者の外積は、
を2文字t，qで表しても大した計算にはなりませんが、の各成分に2文字が混じるようなときには計算が非常に面倒になります。ねじれの位置にある2直線上を動く動点間の距離の最小値を求める場合には、平面の方程式を利用して以下のように解答することができます。y軸に平行で直線を含む平面pの法線ベクトルは、y軸にも直線にも垂直、つまり、ベクトルにもにも垂直です。両者の外積は、となるので、平面pの法線ベクトル
を
として、平面pの方程式は、
をとして、平面pの方程式は、 (cは定数)となります。平面pは、点A
を通るので、
を通るので、 ∴ これより、平面pの方程式は、
2点P，Qの最小値は、y軸上の任意の点(どの点でも平面pとの距離は同じです)、例えば原点と平面pとの距離となり、点と平面の距離の公式を用いて、
これで、簡単に最小値が求められますが、この解法では、最小値を与える
，
の座標が求められません。
そこで、P，Qの距離が最小になるときに、
がy軸にも直線
にも垂直になるという事実を利用します。
は、上記のようにして得られた
に平行になるので、実数kを用いて、
とおけます。� き△鰺僂い董�
，の座標が求められません。そこで、P，Qの距離が最小になるときに、
がy軸にも直線にも垂直になるという事実を利用します。は、上記のようにして得られたに平行になるので、実数kを用いて、とおけます。� き△鰺僂い董�これより、
，
∴
，
これで、
，
の座標が求められます。
，∴
，これで、
，の座標が求められます。(2) 点Sから三角形
を含む平面に下ろした垂線とその平面との交点をRとする、ということは、
は、
にも
にも垂直だということです。
を含む平面に下ろした垂線とその平面との交点をRとする、ということは、は、にもにも垂直だということです。とおくと、
これより、
とおけます。，として、，，より、よって、
......[答](3) Fよりy軸に垂線FHを下ろし、Hのy座標をuとすると、Fのy座標もuです。�，茲蝓�とおくと、Fのx座標、z座標は、
，
より、Fの座標は
Dのy座標をwとするとDの座標は
，より、Fの座標はDのy座標をwとするとDの座標は
Gから三角形DEFを含む平面に垂線GTを下ろすと、
はy軸にも
にも垂直で、
とおくと、
はy軸にもにも垂直で、とおくと、
これより、
とおけます。
，
として、
，
，
より、
とおけます。，として、，，より、より、三角形DEFの面積は、
四面体DEFGの体積は、高さは
で、
四面体DEFGの体積は、高さは
で、 ......[答]TOPに戻る CFV21 メイン・ページ 考察のぺージ
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2009年06月25日
徳島大数学'09年[4]
徳島大数学'09年[4]
，
とする。
次の2つの等式を満たす2次の正方行列X，Yについて、下の問いに答えよ。
，
解答 最初から
とおいてやっていくと大変なことになります。見通しが立つところまでは、Xのまま、行列の積が非可換(
)であることに注意して文字式の計算を進めましょう。
･･･��
･･･��
･･･�� (逆行列を参照)
･･･��
･･･��
･･･��
･･･��
......[答]
別解．ハミルトン・ケーリーの定理より、
これを利用すると、Aの多項式はAの1次式で表せるので、以下のような解答も可能です。
の逆行列
を、
とおくと、
より、
両辺を比較して、
，
∴ 
，
∴
�イ茲蝓�
なので、
とおくと、
(行列の積でAとEは可換であることに注意)
両辺を比較して、
，
∴ 
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，とする。次の2つの等式を満たす2次の正方行列X，Yについて、下の問いに答えよ。
，(1) 
を求めよ。
を求めよ。(2) Xを求めよ。
解答 最初から
とおいてやっていくと大変なことになります。見通しが立つところまでは、Xのまま、行列の積が非可換()であることに注意して文字式の計算を進めましょう。 ･･･�� ･･･��(1) 
とおくと、右からXをかけて、
とおくと、右からXをかけて、 ･･･�� (逆行列を参照)��を�，紡綟�すると、
左からX，右から
をかけて、
をかけて、∴ 
･･･��
∴
･･･��
�△里泙泙任�
が面倒になるので、�⇔省佞忘犬�らYをかけて、
･･･��∴
･･･���△里泙泙任�
が面倒になるので、�⇔省佞忘犬�らYをかけて、��を代入して、
右から
をかけて、
をかけて、�い茲�
となるので、
となるので、∴ 
∴
......[答]
∴
......[答](2) 
と、�イ茲蝓�
と、�イ茲蝓�∴ 
とおくと、
とおくと、 ･･･�� ･･･�� ･･･�� ･･･���Г茲�
なので、�┐茲�
�Δ茲�
，��より
なので、�┐茲��Δ茲�
，��より(i) 
，
のとき、
，のとき、�Г茲蝓�
(ii) 
，
のとき、
，のとき、�Г茲蝓�
(iii) 
，
のとき、
，のとき、�Г茲蝓�
(iv) 
，
のとき、
，のとき、�Г茲蝓�
以上より、
......[答]別解．ハミルトン・ケーリーの定理より、
を、より、，，∴
�イ茲蝓�
なので、 (行列の積でAとEは可換であることに注意)，(i) 
のとき、
のとき、∴ 
∴
∴
(ii) 
のとき、
のとき、∴ 
∴
この問題ではかなり遠回りになりますが、一般的に使える解法です。∴
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