2010年03月10日
京大理系数学'10年甲[4]
京大理系数学'10年甲[4]
数列
は、すべての正の整数nに対して
を満たしているとする。このとき、すべてのnに対して
であることを示せ。
解答 「すべての正の整数nに対して」という問題文から数学的帰納法が思い浮かべば一本道です。
であることを数学的帰納法で示します。
のとき、
これより、
∴
よって、
のときにも
が成立します。(��)，(��)より、すべてのnに対して
となります。
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数列
は、すべての正の整数nに対してを満たしているとする。このとき、すべてのnに対してであることを示せ。解答 「すべての正の整数nに対して」という問題文から数学的帰納法が思い浮かべば一本道です。
であることを数学的帰納法で示します。(��) 
のとき、
のとき、これより、
よって、
より成立します。
よって、
より成立します。(��) 
のとき
，つまり、
と仮定します。
のとき，つまり、と仮定します。のとき、これより、
∴
よって、
のときにもが成立します。となります。TOPに戻る CFV21 メイン・ページ 考察のぺージ
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京大理系数学'10年甲[3]
京大理系数学'10年甲[3]
xを正の実数とする。座標平面上の3点A
，B
，P
をとり、△APBを考える。
の最大値を求めよ。
解答 最大最小の問題では、即、微分法に頼る、というのではなく、相加平均・相乗平均の利用などをまず考えましょう。
直線APとx軸正方向とがなす角をa (
)として、
直線APの傾き：
(直線の方程式を参照)
直線BPとx軸正方向とがなす角をb (
)として、
直線BPの傾き：
ここで、
(
)より
です。
より、
相加平均・相乗平均の関係を用いて、
不等号の等号が成立するのは、
，つまり、
(
)のときです。
は
においてq の単調増加な関数なので、
のとき、
の最大値は
......[答]
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xを正の実数とする。座標平面上の3点A
，B，Pをとり、△APBを考える。の最大値を求めよ。解答 最大最小の問題では、即、微分法に頼る、というのではなく、相加平均・相乗平均の利用などをまず考えましょう。
直線APとx軸正方向とがなす角をa (
)として、直線APの傾き：
(直線の方程式を参照)直線BPとx軸正方向とがなす角をb (
)として、直線BPの傾き：
ここで、
()よりです。より、，つまり、 ()のときです。はにおいてq の単調増加な関数なので、のとき、の最大値は ......[答]TOPに戻る CFV21 メイン・ページ 考察のぺージ
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2010年03月09日
京大理系数学'10年甲[2]
京大理系数学'10年甲[2]
四面体ABCDにおいて
と
，
と
，
と
はそれぞれ垂直であるとする。このとき、頂点A，頂点Bおよび辺CDの中点Mの3点を通る平面は辺CDと直交することを示せ。
解答 無理に1次独立な2つのベクトルを持ち出さずとも、内積計算で平凡に解決します。
題意より、
･･･� �(内積を参照)目標は、頂点A，頂点Bおよび辺CDの中点Mの3点を通る平面を作る1次独立なベクトル
，
と
が垂直であることを示すことです。
･･･��
･･･���，茲蝓�
･･･��
･･･��
･･･���ぁきァきΔ茲蝓�
�△茲蝓�
∴ 
同様に、�，茲蝓�
･･･��
･･･��
･･･���Аき─き�より、
��より、
∴ 
頂点A，頂点Bおよび辺CDの中点Mの3点を通る平面は辺CDと直交します。
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四面体ABCDにおいて
と，と，とはそれぞれ垂直であるとする。このとき、頂点A，頂点Bおよび辺CDの中点Mの3点を通る平面は辺CDと直交することを示せ。解答 無理に1次独立な2つのベクトルを持ち出さずとも、内積計算で平凡に解決します。
題意より、
･･･� �(内積を参照)，とが垂直であることを示すことです。 ･･･�� ･･･�� ･･･�� ･･･�� ･･･��同様に、�，茲蝓�
･･･�� ･･･�� ･･･��頂点A，頂点Bおよび辺CDの中点Mの3点を通る平面は辺CDと直交します。
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京大理系数学'10年甲[1]
京大理系数学'10年甲[1]
1から5までの自然数を1列に並べる。どの並べ方も同様の確からしさで起こるものとする。このとき1番目と2番目と3番目の数の和と、3番目と4番目と5番目の数の和が等しくなる確率を求めよ。ただし、各並べ方において、それぞれの数字は重複なく1度ずつ用いるものとする。
解答 整数が少しからんだ確率の基本問題です。
全事象は、異なる5個から5個選んで並べる並べ方で、
通り。
1番目と2番目の数の和をa，3番目の数をbとすると、4番目と5番目の数の和もaで、
∴ 
は偶数なので、bは奇数です。
を満たす奇数は、
通り。
求める確率は、
......[答]
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1から5までの自然数を1列に並べる。どの並べ方も同様の確からしさで起こるものとする。このとき1番目と2番目と3番目の数の和と、3番目と4番目と5番目の数の和が等しくなる確率を求めよ。ただし、各並べ方において、それぞれの数字は重複なく1度ずつ用いるものとする。
解答 整数が少しからんだ確率の基本問題です。
全事象は、異なる5個から5個選んで並べる並べ方で、
通り。1番目と2番目の数の和をa，3番目の数をbとすると、4番目と5番目の数の和もaで、
は偶数なので、bは奇数です。を満たす奇数は、(i) 
のとき、
のとき、1から5までの2整数の和が7になるのは、2整数が、1と6，2と5になるときです。
1番目と2番目が1と6のとき、どちらが1かが2通り、4番目と5番目のどちらが2かが2通り、両者は独立なので、
通り。
１番目と2番目が2と5のときも同様に4通り。
合わせて、
通り。
1番目と2番目が1と6のとき、どちらが1かが2通り、4番目と5番目のどちらが2かが2通り、両者は独立なので、
通り。１番目と2番目が2と5のときも同様に4通り。
合わせて、
通り。(ii) 
のとき、
のとき、1から5までの2整数の和が6になるのは、2整数が、1と5，2と4になるときです。
このときも(i)と同様に8通り。
このときも(i)と同様に8通り。
(iii) 
のとき、
のとき、1から5までの2整数の和が5になるのは、2整数が、1と4，2と3になるときです。
このときも(i)と同様に8通り。
(i)，(ii)，(iii)より、1番目と2番目と3番目の数の和と、3番目と4番目と5番目の数の和が等しくなるのは、このときも(i)と同様に8通り。
通り。求める確率は、
......[答]TOPに戻る CFV21 メイン・ページ 考察のぺージ
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