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2012年01月28日
センター数学IA '12年第3問
センター数学IA '12年第3問
△ABCにおいて、
，
であるとき
，
であり、△ABCの面積は
，△ABCの内接円Iの半径は
である。
また、円Iの中心から点Bまでの距離は
である。
重なる(一致する) 
内接する 
外接する
異なる2点で交わる 
共有点をもたない
，
解答 正弦定理、余弦定理を利用する問題です。答に
がやたらと出てきますが、出題者としてはシャレを利かしたつもりでも、目をつむってばかりにマークした人に有利になってしまうというのは考えものでは？
余弦定理より、
(ア) 1 (イ) 3 ......[答]
(
)(ウ) 2 (エ) 2 (オ) 3 ......[答]
△ABCの面積Sは、
(カ) 2 (キ) 2 ......[答]
△ABCの内接円Iの半径をrとすると、
より、
∴ 
(ク) 2 (ケ) 2 ......[答]
Aと内接円Iの中心を結ぶ直線とBCとの交点をJとすると、
より
円Iの中心から点Bまでの距離は、
(コ) 6 (サ) 2 ......[答]
より
，
，
，
より、
∴ 
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△ABCにおいて、
，であるとき，，△ABCの内接円Iの半径はである。また、円Iの中心から点Bまでの距離は
である。(1) 辺AB上の点Pと辺BC上の点Qを、
かつ
となるようにとる。このとき、△PBQの外接円Oの直径は
であり、円Iと円Oは
。ただし、
には次の〜から当てはまるものを一つ選べ。
かつとなるようにとる。このとき、△PBQの外接円Oの直径はであり、円Iと円Oは。ただし、には次の〜から当てはまるものを一つ選べ。 重なる(一致する) 内接する 外接する 異なる2点で交わる 共有点をもたない(2) 円I上に点Eと点Fを、3点C，E，Fが一直線上にこの順に並び、かつ、
となるようにとる。このとき
となるようにとる。このとき，である。
さらに、円Iと辺BCとの接点をD，線分BEと線分DFとの交点をG，線分CGの延長と線分BFとの交点をMとする。このとき、
である。
さらに、円Iと辺BCとの接点をD，線分BEと線分DFとの交点をG，線分CGの延長と線分BFとの交点をMとする。このとき、
である。解答 正弦定理、余弦定理を利用する問題です。答に
がやたらと出てきますが、出題者としてはシャレを利かしたつもりでも、目をつむってばかりにマークした人に有利になってしまうというのは考えものでは？余弦定理より、
()△ABCの面積Sは、
△ABCの内接円Iの半径をrとすると、
より、(ク) 2 (ケ) 2 ......[答]
Aと内接円Iの中心を結ぶ直線とBCとの交点をJとすると、
より円Iの中心から点Bまでの距離は、
(1) 
として、余弦定理より、
として、余弦定理より、
は、(シ) 2 (ス) 2 ......[答]
より，，よって、Bと内接円Iの中心との距離から内接円Iの半径を引くと、外接円O (Bを通る)の直径よりも小さく、円Iと円Oは異なる2点で交わります。
(セ) ......[答]
(セ)
......[答](2) 方べきの定理より、
，より、 ∴ (ソ) 2 (タ) 2 ......[答]
(チ) 1 ......[答]
△BCFにおいて、BとCFの中点Eを結ぶ線分と、CとBFの中点Mを結ぶ線分との交点がGなので、Gは△BCFの重心です。よって、
△BCFにおいて、BとCFの中点Eを結ぶ線分と、CとBFの中点Mを結ぶ線分との交点がGなので、Gは△BCFの重心です。よって、
(ツ) 1 (テ) 2 ......[答]
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2012年01月21日
センター数学IA '12年第2問
センター数学IA '12年第2問
[2] a，bを定数として2次関数
･･･��について考える。関数�，離哀薀�Gの頂点の座標は
である。以下、この頂点が直線
上にあるとする。このとき、
である。
または 
解答 2次関数の最大最小・グラフの平行移動に関する問題です。
･･･��
･･･��Gの頂点の座標は、
(ア) 2 (イ) 4 (ウ) 4 ......[答]
この頂点が、
上にあるとき、
･･･��(エ) 8 (オ) 1 (カ) 3 ......[答]
の解は、
より、
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[2] a，bを定数として2次関数
･･･��上にあるとする。このとき、(1) グラフGがx軸と異なる2点で交わるようなaの値の範囲は
である。また、Gがx軸の正の部分と負の部分の両方で交わるようなaの値の範囲は
である。
(2) 関数�，�
における最小値が
となるのは
における最小値がとなるのは または のときである。また、
のとき、関数�，�
における最大値は
である。
一方、
のときの�，離哀薀佞�x軸方向に
，y軸方向に
だけ平行移動すると、
のときのグラフと一致する。
のとき、関数�，�における最大値はである。一方、
のときの�，離哀薀佞�x軸方向に，y軸方向にだけ平行移動すると、のときのグラフと一致する。解答 2次関数の最大最小・グラフの平行移動に関する問題です。
･･･�� ･･･��(ア) 2 (イ) 4 (ウ) 4 ......[答]
この頂点が、
上にあるとき、 ･･･��(1) グラフGがx軸と異なる2点で交わるとき、Gは上に凸な放物線なので頂点のy座標は正です。
��より、
∴ 
(キ) − (ク) 9 (ケ) 4 ......[答]
Gがx軸の正の部分と負の部分の両方で交わるとき、Gのグラフはy軸と
の部分で交わります。�，�
とすると、
，よって、��より、
(キ) − (ク) 9 (ケ) 4 ......[答]
Gがx軸の正の部分と負の部分の両方で交わるとき、Gのグラフはy軸と
の部分で交わります。�，�とすると、，よって、��より、の解は、より、(コ) 4 (サ) 3 ......[答]
(2) Gのグラフの軸の位置
が、
の範囲の中央(
)から左側か右側かで場合分けします。軸が範囲の中央から左にあるとき、
，つまり、
のとき、関数�，蓮�範囲の右端
において最小で、��より、
が、の範囲の中央()から左側か右側かで場合分けします。軸が範囲の中央から左にあるとき、，つまり、のとき、関数�，蓮�範囲の右端において最小で、��より、
(∴ 
(
)
軸が範囲の中央から右にあるとき、つまり、
のとき、関数�，蓮�範囲の左端
において最小で、��より、
()軸が範囲の中央から右にあるとき、つまり、
のとき、関数�，蓮�範囲の左端において最小で、��より、∴ 
(
)
(シ) − (ス) 3 (セ) 1 ......[答]
のとき、
なので、�△茲蟯愎��，蓮�
()(シ) − (ス) 3 (セ) 1 ......[答]
のとき、なので、�△茲蟯愎��，蓮�となり、Gの頂点は
で、
のとき、最大値
をとります。
(ソ) − (タ) 1 (チ) 3 ......[答]
のとき、�△茲�
なので、�△茲蟯愎��，蓮�
で、のとき、最大値をとります。(ソ) − (タ) 1 (チ) 3 ......[答]
のとき、�△茲�なので、�△茲蟯愎��，蓮�となり、Gの頂点は
に来ます。x軸方向に4，y軸方向に
平行移動すると頂点は
に来るので、
のときのグラフと一致します。
(ツ) 4 (テ) − (ト) 1 (ナ) 6 ......[答]
に来ます。x軸方向に4，y軸方向に平行移動すると頂点はに来るので、のときのグラフと一致します。(ツ) 4 (テ) − (ト) 1 (ナ) 6 ......[答]
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2012年01月16日
センター数学IA '12年第1問
センター数学IA '12年第1問
･･･��
解答 不等式を満たす整数解の個数の問題です。なお、1次方程式・1次不等式を参照してください。
･･･��
必要十分条件である
必要条件であるが、十分条件でない
十分条件であるが、必要条件でない
必要条件でも十分条件でもない
解答 相手の条件に対して「広い」方が必要条件、「狭い」方が十分条件、と、機械的に判断させないように、自然数、という指定をつけていますが、xy平面上で格子点を取ってみれば「広い」「狭い」で判断することができます。なお、条件と命題を参照してください。
，
，
，
，
，
，
，
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[1](1) 不等式
の解は
である。
の解はである。以下、aを自然数とする。
(2) 不等式
･･･��の解は
である。
である。(3) 不等式�，鯔�たす整数xの個数をNとする。
のとき、
である。また、aが4，5，6，･･･と増加するとき、Nが初めて
より大きくなるのは、
のときである。
のとき、である。また、aが4，5，6，･･･と増加するとき、Nが初めてより大きくなるのは、のときである。解答 不等式を満たす整数解の個数の問題です。なお、1次方程式・1次不等式を参照してください。
(1) 
(ア) − (イ) 2 (ウ) 1 ......[答]
(2) 
･･･��
･･･�� ･･･��(エ) 1 (オ) 2 ......[答]
(3) 
のとき、
を満たす整数xは、
，
，0，1の4個で、
のとき、を満たす整数xは、，，0，1の4個で、(カ) 4 ......[答]
�△蓮�
のとき、
，これを満たす整数xは、
，
，0，1の4個で、
�△蓮�
のとき、
，これを満たす整数xは、
，
，
，0，1，2の6個で、
Nが初めて4より大きくなるのは、
のときです。
(キ) 5 ......[答]
�△蓮�
のとき、，これを満たす整数xは、，，0，1の4個で、�△蓮�
のとき、，これを満たす整数xは、，，，0，1，2の6個で、Nが初めて4より大きくなるのは、
のときです。(キ) 5 ......[答]
[2] kを定数とする。自然数m，nに関する条件p，q，rを次のように定める。
p：
または
q：
r：
またはq：
r：
(1) 次の
に当てはまるものを、下の〜のうちから一つ選べ。
に当てはまるものを、下の〜のうちから一つ選べ。pの否定
は
である。
または
かつ
かつ
または
はである。 または かつ かつ または(2) 次の
〜
に当てはまるものを、下の〜のうちから一つずつ選べ。ただし、同じものを繰り返し選んでもよい。
〜に当てはまるものを、下の〜のうちから一つずつ選べ。ただし、同じものを繰り返し選んでもよい。(i) 
とする。
とする。pはqであるための
。
。(ii) 
とする。
とする。pはrであるための
。
pはqであるための
。
。pはqであるための
。 必要十分条件である 必要条件であるが、十分条件でない 十分条件であるが、必要条件でない 必要条件でも十分条件でもない解答 相手の条件に対して「広い」方が必要条件、「狭い」方が十分条件、と、機械的に判断させないように、自然数、という指定をつけていますが、xy平面上で格子点を取ってみれば「広い」「狭い」で判断することができます。なお、条件と命題を参照してください。
または
の否定は、
かつ
」となります。(ク) 2 ......[答]
(2)(i) 
のとき、p：
または
，q：
となりますが、pを満たす整数の組
の集合
は、
のとき、p：または，q：となりますが、pを満たす整数の組の集合は、qを満たす整数の組
の集合もこれに一致します。従って、pはqであるための必要十分条件です。
(ケ) ......[答]
の集合もこれに一致します。従って、pはqであるための必要十分条件です。(ケ)
......[答](ii) 
のとき、
のとき、p：
または
q：
r：
またはq：
r：
rを満たす整数の組
の集合を
とすると、
の集合をとすると、，，pを満たす整数の組
の集合を
とすると、
の集合をとすると、，qを満たす整数の組
の集合を
とすると、
の集合をとすると、，，，，よって、
即ち、q ⇒ p ⇒ r
pはrであるための十分条件であるが必要条件ではなく、
pはqであるための必要条件であるが十分条件ではない、ということになります。
(コ) (サ) ......[答]
即ち、q ⇒ p ⇒ r
pはrであるための十分条件であるが必要条件ではなく、
pはqであるための必要条件であるが十分条件ではない、ということになります。
(コ)
(サ) ......[答]TOPに戻る CFV21 アーカイブ 考察のぺージ
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2012年01月15日
山形大医数学'11年[1]
山形大医数学'11年[1]
座標平面において、点
を中心とする半径2の円をCとする。点
を通る直線
と円Cとの交点をA，Bとし、点
を通る直線
と円Cとの交点をP，Qとする。さらに、
と
は垂直に交わるとする。ただし、
は座標軸とは一致しない。
の傾きをkで表す。このとき、次の問いに答えよ。
解答 (2)，(3)は、半径rの円が直線から切り取る弦の長さが、円の中心と直線との距離をdとして、
(∵ 三平方の定理)となることを使って求めます。なお、円と直線の位置関係を参照してください。
(点と直線の距離を参照)
......[答]
......[答]
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座標平面において、点
を中心とする半径2の円をCとする。点を通る直線と円Cとの交点をA，Bとし、点を通る直線と円Cとの交点をP，Qとする。さらに、とは垂直に交わるとする。ただし、は座標軸とは一致しない。の傾きをkで表す。このとき、次の問いに答えよ。(1) 
と
の交点Dは円Cの内部にあることを示せ。
との交点Dは円Cの内部にあることを示せ。(2) 弦ABの長さをkを用いて表せ。
(3) 弦PQの長さをkを用いて表せ。
(4) 四角形APBQの面積の最大値を求めよ。
解答 (2)，(3)は、半径rの円が直線から切り取る弦の長さが、円の中心と直線との距離をdとして、
(∵ 三平方の定理)となることを使って求めます。なお、円と直線の位置関係を参照してください。
，
は、それぞれ
，
を直径の両端とする円周
上にあります。
は円Cの内部に位置するので、
，
の交点Dは円Cの内部の点です。(2) 円の中心
と直線
：
，つまり、
との距離
は、
と直線：，つまり、との距離は、 (点と直線の距離を参照)弦ABの長さは、
......[答](3) 
と直線
：
，つまり、
との距離
は、
と直線：，つまり、との距離は、弦PQの長さは、
......[答](4) 四角形APBQの面積Sは、
(Sは、
、つまり、
のとき、最大値：7 ......[答]
、つまり、のとき、最大値：7 ......[答]TOPに戻る CFV21 アーカイブ 考察のぺージ
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2012年01月14日
大分大医数学'11年[1]
大分大医数学'11年[1]
実数
，
，
に対して次の不等式を証明せよ。ただし、nは自然数である。
解答 コーシー・シュワルツの不等式を一般的な場合で証明する問題です。試験会場で安全確実に答案を書くなら以下のように数学的帰納法で証明するのでしょうが、もっとラクに証明する方法があります。
かつ 
の場合には、
かつ 
の場合には、
かつ 
の場合、または、
かつ
の場合には、
よってすべての場合において、
与式は成立します。
より、
が成立します。
(2次方程式の一般論を参照)
より、
積分形式のコーシー･シュワルツの不等式：
(等号成立は、
のとき)
以下のような類題もあります。
東大理系'95年前期[1]
すべての正の実数x，yに対し、
が成り立つような実数kの最小値を求めよ。
の場合のコーシー・シュワルツの不等式において、
，
，
，
として、
TOPに戻る CFV21 アーカイブ 考察のぺージ
実数
，，に対して次の不等式を証明せよ。ただし、nは自然数である。解答 コーシー・シュワルツの不等式を一般的な場合で証明する問題です。試験会場で安全確実に答案を書くなら以下のように数学的帰納法で証明するのでしょうが、もっとラクに証明する方法があります。
(��) 
のとき、
のとき、 かつ の場合には、 かつ の場合には、 かつ の場合、または、 かつの場合には、よってすべての場合において、
与式は成立します。
(��) 
のとき、
が成立すると仮定します。
のとき、が成立すると仮定します。両辺を2乗した不等式の両辺に、
を加えると、
を加えると、よって、
より、よって、
のときにも、与不等式は成立します。
(��)，(��)より、のときにも、与不等式は成立します。が成立します。追記．コーシー・シュワルツの不等式を利用する問題は、例えば、東工大'08年前期[3]のような問題があります。この解答でも書きましたが、本問では以下のような解答が可能です。
実数
，
(
)について、
， ()について、が成立します。
(
)であれば、等号は、
となるときに成立します。
左辺を変形して、
()であれば、等号は、となるときに成立します。左辺を変形して、
これより、t の2次方程式：
は、重解をもつか、虚数解をもち、判別式Dについて、
(2次方程式の一般論を参照)より、積分形式のコーシー･シュワルツの不等式：
でも、同様の証明が可能です。任意の関数
，
について、
，について、となりますが、左辺を変形して、
これより、t の2次方程式：
は、重解をもつか、虚数解をもち、判別式Dについて、
∴ 
本問で
の場合には、式変形だけで証明できます。
本問で
の場合には、式変形だけで証明できます。右辺から左辺を引いて、
(等号成立は、のとき)∴ 
以下の
の場合には、内積を使って簡単に証明することができます。
福岡教育大'11年[1]
a，b，c，x，y，zを実数とする。
以下の
の場合には、内積を使って簡単に証明することができます。福岡教育大'11年[1]
a，b，c，x，y，zを実数とする。
(ア) 
(イ) 
のとき、
の最小値を求めよ。
のとき、の最小値を求めよ。(ア) 
，
として、
より、
，として、より、等号は、
のとき、つまり、tを実数として
のときに成立します。
成分を入れて、
のとき、つまり、tを実数としてのときに成立します。成分を入れて、
(イ) (ア)で
として、
として、∴ 
(等号は、
のときに成立)
よって、
の最小値は
......[答]
(等号は、のときに成立)よって、
の最小値は ......[答]以下のような類題もあります。
東大理系'95年前期[1]
すべての正の実数x，yに対し、
が成り立つような実数kの最小値を求めよ。の場合のコーシー・シュワルツの不等式において、，，，として、∴ 
等号は、
，つまり、
のときに成立します。
よって、求めるkの最小値は、
......[答]
等号は、
，つまり、のときに成立します。よって、求めるkの最小値は、
......[答]TOPに戻る CFV21 アーカイブ 考察のぺージ
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2012年01月10日
東北大理系数学'11年前期[3]
東北大理系数学'11年前期[3]
先生と3人の生徒A，B，Cがおり、玉の入った箱がある。箱の中には最初、赤玉3個、白玉7個、全部で10個の玉が入っている。先生がサイコロをふって、1の目が出たらAが、2または3の目が出たらBが、その他の目が出たらCが箱の中から1つだけ玉を取り出す操作を行う。取り出した玉は箱の中に戻さず、取り出した生徒のものとする。この操作を続けて行うものとして以下の問いに答えよ。
ただし、サイコロの1から6の目の出る確率は等しいものとし、また、箱の中のそれぞれの玉の取り出される確率は等しいものとする。
解答 簡単そうに見えますが、(2)は慎重に考える必要があります。
......[答]
......[答]
......[答]
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先生と3人の生徒A，B，Cがおり、玉の入った箱がある。箱の中には最初、赤玉3個、白玉7個、全部で10個の玉が入っている。先生がサイコロをふって、1の目が出たらAが、2または3の目が出たらBが、その他の目が出たらCが箱の中から1つだけ玉を取り出す操作を行う。取り出した玉は箱の中に戻さず、取り出した生徒のものとする。この操作を続けて行うものとして以下の問いに答えよ。
ただし、サイコロの1から6の目の出る確率は等しいものとし、また、箱の中のそれぞれの玉の取り出される確率は等しいものとする。
(1) 2回目の操作が終わったとき、Aが2個の赤玉を手に入れている確率を求めよ。
(2) 2回目の操作が終わったとき、Bが少なくとも1個の赤玉を手に入れている確率を求めよ。
(3) 3回目の操作で、Cが赤玉を取り出す確率を求めよ。
解答 簡単そうに見えますが、(2)は慎重に考える必要があります。
(1) 2回目の操作が終わったとき、Aが2個の赤玉を手に入れている、ということは、2回の操作とも、サイコロの1の目が出て、Aが赤玉を取る、ということです。1回目では、10個中3個の赤玉のいずれかを取り、玉を元に戻さないので、2回目では、9個中2個の赤玉のいずれかを取ることになります。求める確率は、
......[答](2) 2回目の操作が終わったとき、Bが少なくとも1個の赤玉を手に入れている、ということは、1回目に、サイコロの2または3の目が出て、Bが赤玉を取る、あるいは、それ以外の場合において、2回目にサイコロの2または3の目が出て、Bが赤玉を取る、ということです。
1回目に、サイコロの2または3の目が出て、Bが箱から玉を取り出す確率は
，ここで、さらにBが赤玉を取り出す確率は、
1回目に、A，B，C誰であっても白を取り出す確率は
，ここでさらに、2回目に、サイコロの2または3の目が出て、Bが9個中3個の赤玉のいずれかを取る確率は、
1回目に、サイコロの1または4または5または6の目が出て、AまたはCが赤玉を取り、2回目に、サイコロの2または3の目が出て、Bが9個中2個の赤玉のいずれかを取る確率は、
求める確率は、
，ここで、さらにBが赤玉を取り出す確率は、1回目に、A，B，C誰であっても白を取り出す確率は
，ここでさらに、2回目に、サイコロの2または3の目が出て、Bが9個中3個の赤玉のいずれかを取る確率は、1回目に、サイコロの1または4または5または6の目が出て、AまたはCが赤玉を取り、2回目に、サイコロの2または3の目が出て、Bが9個中2個の赤玉のいずれかを取る確率は、
求める確率は、
......[答](3) 1回目、2回目で、A，B，C誰であっても、
・赤、赤と取り出すと、3回目にCが8個中1個の赤玉を取り出す確率は、
・赤、白、または、白、赤と取り出すと、3回目にCが8個中2個の赤玉のいずれかを取り出す確率は、
・白、白と取り出すと、3回目にCが8個中3個の赤玉のいずれかを取り出す確率は、
求める確率は、
......[答]注．この結果は、サイコロの4または5または6の目が出て、Cが10個中3個の赤玉のいずれかを取る確率、
に一致します。
に一致します。TOPに戻る CFV21 アーカイブ 考察のぺージ
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