2010年02月07日
京大文系数学'09年[2]
京大文系数学'09年[2]
整式
と実数Cが
をみたすとき、この
とCを求めよ。
解答 定積分の上端、または下端に変数xを含むときには、
(aは定数)を利用します(定積分と微分を参照)。また、上端と下端が等しくさせて、定積分が0となる場合を調べるようにします。
･･･��
�〆己嫗�2項の定積分を変形すると、
∴ 
が整式なので、
も整式であり、この右辺の形から2次の整式です。
定積分は定数なので、a，b，cを定数として、
･･･��
･･･��
･･･��とおくと、
ここで、
とすると
となるので、
･･･��両辺をxで微分すると、
より、
･･･���△茲蝓↓イ鰺僂い董�
∴ 
･･･��
��より、
∴ 
�Г紡綟�することにより、
∴ 
，
�Δ茲蝓�
......[答]�い�
より、
......[答]
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整式
と実数CがとCを求めよ。解答 定積分の上端、または下端に変数xを含むときには、
(aは定数) ･･･���〆己嫗�2項の定積分を変形すると、
が整式なので、も整式であり、この右辺の形から2次の整式です。定積分は定数なので、a，b，cを定数として、
･･･�� ･･･�� ･･･��とするととなるので、 ･･･��より、 ･･･�� ･･･����より、
�Г紡綟�することにより、
，�Δ茲蝓�
......[答]より、 ......[答]TOPに戻る CFV21 メイン・ページ 考察のぺージ
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2010年02月06日
横国大工数学'09年[4]
横国大工数学'09年[4]
放物線
上に2点P
，Q
をとる。次の問いに答えよ。
解答 xy平面上における直線の方程式、あるいは、曲線の方程式がx，y以外の助変数を含んでいて、この助変数がいろいろな値をとる、という設定の問題があります。このとき、助変数の値が変化すると、直線や曲線がxy平面上を動き回るのですが、動き回る範囲を求めたい、という場合の対処法を、この問題で考えてみます。
(2)は、「直線PQ」の通過範囲ではなく、「線分PQ」の通過範囲なので、xの範囲、tの範囲が複雑にからんで、いろいろと検討することがあり、きちんとやろうとすると難問です。
整理して、
･･･��
の各値に対する直線PQを右図に示します。これで問題の概略はつかめます。
･･･��
......[答] (図示すると右図黄緑色着色部(境界線を含む))
･･･��
のグラフは
に関して対称なので、
の範囲に対して軸位置
がどういう位置関係にあるか、ということで以下の4通りに場合分けします(右図参照)。
，
，
，
，
以上まとめて、線分PQが通過する領域は、
(
)
(
)
(
)
かつ
かつ
かつ
･･･��
の範囲に1実数解を有するとき、
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放物線
上に2点P，Qをとる。次の問いに答えよ。(1) tがすべての実数を動くとき、直線PQが通過する領域を求めよ。
(2) tが
の範囲を動くとき、線分PQが通過する領域を求め、図示せよ。
の範囲を動くとき、線分PQが通過する領域を求め、図示せよ。解答 xy平面上における直線の方程式、あるいは、曲線の方程式がx，y以外の助変数を含んでいて、この助変数がいろいろな値をとる、という設定の問題があります。このとき、助変数の値が変化すると、直線や曲線がxy平面上を動き回るのですが、動き回る範囲を求めたい、という場合の対処法を、この問題で考えてみます。
(2)は、「直線PQ」の通過範囲ではなく、「線分PQ」の通過範囲なので、xの範囲、tの範囲が複雑にからんで、いろいろと検討することがあり、きちんとやろうとすると難問です。
整理して、
( ･･･��の各値に対する直線PQを右図に示します。これで問題の概略はつかめます。(1) tがすべての実数をとって変化するときに直線�，�通過する領域を求める、という問題なのですが、各tの値に対して直線がどう動くかを見ようとすると、概略はつかめますが、正確な議論はできません。
とおくと、 ･･･��tがすべての実数を動くとき、
は
において最大値
をとり、最大値以下のすべての値をとります。
∴
各x座標においてy座標が
という範囲の値をとりうる、ということは、x座標を動かすと、直線�，藁琉茵�
を動くということです。直線PQが通過する領域は、
はにおいて最大値をとり、最大値以下のすべての値をとります。∴
各x座標においてy座標がという範囲の値をとりうる、ということは、x座標を動かすと、直線�，藁琉茵�を動くということです。直線PQが通過する領域は、 ......[答] (図示すると右図黄緑色着色部(境界線を含む))別解．�，�tの2次方程式
･･･��と見て、tが実数であることから、これが、実数解をもつ条件、
判別式：
∴ 
として領域を求めることもできます。
として領域を求めることもできます。
(2) tが
の範囲を動くときには、直線PQの通過範囲を考えるためには、�△罵燭┐蕕譴覺愎�
が
の範囲においてとりうる値を考えることになります。
の範囲を動くときには、直線PQの通過範囲を考えるためには、�△罵燭┐蕕譴覺愎�がの範囲においてとりうる値を考えることになります。のグラフはに関して対称なので、の範囲に対して軸位置がどういう位置関係にあるか、ということで以下の4通りに場合分けします(右図参照)。(i) 
が範囲
の左側にあるとき、
，つまり、
が範囲の左側にあるとき、，つまり、(ii) 
が範囲
内の中間よりも左側にあるとき、
，つまり、
が範囲内の中間よりも左側にあるとき、，つまり、(iii) 
が範囲
内の中間よりも右側にあるとき、
，つまり、
が範囲内の中間よりも右側にあるとき、，つまり、(iv) 
が範囲
の右側にあるとき、
，つまり、
が範囲の右側にあるとき、，つまり、また、ここでは、「直線PQ」の通過範囲ではなく、「線分PQ」の通過範囲なので、線分PQ上の点のx座標の範囲
を考える必要が出てきます。
より、tに関して、
のほかに
という条件がつくので、
という範囲(範囲Aとします)と
という範囲(範囲Bとします)の共通部分を考えなければいけません。
を考える必要が出てきます。より、tに関して、のほかにという条件がつくので、という範囲(範囲Aとします)とという範囲(範囲Bとします)の共通部分を考えなければいけません。(a) 
のとき、
となるので、範囲Aと範囲Bには共通部分はありません。
のとき、となるので、範囲Aと範囲Bには共通部分はありません。(b) 
のとき、
となるので、範囲Aと範囲Bの共通部分は、
のとき、となるので、範囲Aと範囲Bの共通部分は、(c) 
のとき、
となるので、範囲Aと範囲Bの共通部分は、
のとき、となるので、範囲Aと範囲Bの共通部分は、(d) 
のとき、
となるので、範囲Aと範囲Bには共通部分はありません。
のとき、となるので、範囲Aと範囲Bには共通部分はありません。従って、(i)〜(iv)と(a)〜(d)とから、xの範囲を、
(ア) 
((i)かつ(b))
((i)かつ(b))(イ) 
((ii)かつ(b))
((ii)かつ(b))(ウ) 
((iii)かつ(c))
((iii)かつ(c))(エ) 
((iv)かつ(c))
((iv)かつ(c))の4つの範囲に分けて考えることになります。
，，，，より、各場合について、
のとり得る値の範囲は以下のようになります(2次関数の最大最小を参照)。
のとり得る値の範囲は以下のようになります(2次関数の最大最小を参照)。(ア) 
のとき、
より、
は、
，つまり、
のとき、より、は、，つまり、という範囲の値をとります。
(イ) 
のとき、
，
より、
は、
，つまり、
のとき、，より、は、，つまり、という範囲の値をとります。
(ウ) 
のとき、
，
より、
は、
，つまり、
のとき、，より、は、，つまり、という範囲の値をとります。
(エ) 
のとき、
より、
は、
，つまり、
のとき、より、は、，つまり、という範囲の値をとります。
以上まとめて、線分PQが通過する領域は、 () () ()図示すると、右図黄緑色着色部(境界線を含む) ......[答]
注．点P，Qは放物線
上を動く点なので、領域の境界線として
が出てきます。また、きちんとやれば、上記のようになるのですが、もう少し、簡単に済ませたければ、線分PQは、直線PQを放物線
で切り取ったときの弦で、直線PQのうち
を満たす部分だから、として、(i)〜(iv)の場合わけのみで、
の範囲で
のとり得る値を、
上を動く点なので、領域の境界線としてが出てきます。また、きちんとやれば、上記のようになるのですが、もう少し、簡単に済ませたければ、線分PQは、直線PQを放物線で切り取ったときの弦で、直線PQのうちを満たす部分だから、として、(i)〜(iv)の場合わけのみで、の範囲でのとり得る値を、(i) 
のとき、
のとき、(ii) 
のとき、
のとき、(iii) 
のとき、
のとき、(iv) 
のとき、
のとき、として求め、
との共通部分、とすることになります。
との共通部分、とすることになります。
を考えるのであれば、��が
の範囲に解をもつ条件を考えます(まず、重解を含めて2解を有するとき、
(い) 判別式：
(ろ) 軸：
(は) 端：
，
，(い)かつ(ろ)かつ(は)より、
かつかつかつ ･･･��の範囲に1実数解を有するとき、∴ 
または
･･･��
または ･･･���い泙燭廊イ任蓮崢樟�PQ」の通過範囲になってしまうため、上記の注．のようにして、「線分PQ」の通過範囲は、“�い泙燭廊ァ匹�つ
である、とすることになります。
である、とすることになります。TOPに戻る CFV21 メイン・ページ 考察のぺージ
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2010年01月30日
センター数学IIB '10年第4問
センター数学IIB '10年第4問
二つずつ平行な三組の平面で囲まれた立体を平行六面体という。辺の長さがすべて1の平行六面体ABCD-EFGHがあり、
，
である。
，
，
とおく。
，
とする。辺ABをa：
の比に内分する点をX，辺BFをb：
の比に内分する点をYとする。点Xを通り直線AHに平行な直線と辺GHとの交点をZとする。三角形XYZを含む平面をaとする。
である。
解答 空間ベクトルの問題ですが、問題文の誘導が意図していることを意識しつつ、想定されている状況の中で自分を見失わないようにすることが大切です。
より、
より、
･･･��
，
，
･･･��
･･･��
(∵ � き�)
(∵ � き◆き�)
･･･��
･･･��
･･･��
，
，
これらより、
，
(∵ � き◆き�)
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二つずつ平行な三組の平面で囲まれた立体を平行六面体という。辺の長さがすべて1の平行六面体ABCD-EFGHがあり、，である。，，とおく。，とする。辺ABをa：の比に内分する点をX，辺BFをb：の比に内分する点をYとする。点Xを通り直線AHに平行な直線と辺GHとの交点をZとする。三角形XYZを含む平面をaとする。(1) 
，
である。ベクトル
は、a，b，
，
を用いて
と表される。
，である。ベクトルは、a，b，，を用いてと表される。である。(2) 直線ECと平面aが垂直に交わるとし、交点をKとする。
が三角形XYZの2辺と垂直であることから、
が成り立つ。
が三角形XYZの2辺と垂直であることから、が成り立つ。以下では、
とする。このとき
である。
を実数cを用いて
と表すと、
である。一方、点Kは平面a上にあるから、
は実数s，tを用いて
とする。このときである。を実数cを用いてと表すと、である。一方、点Kは平面a上にあるから、は実数s，tを用いてと表される。これらより、
である。よって、点Eと平面aとの距離
は
となる。
である。よって、点Eと平面aとの距離はとなる。解答 空間ベクトルの問題ですが、問題文の誘導が意図していることを意識しつつ、想定されている状況の中で自分を見失わないようにすることが大切です。
(1) 平行六面体の各辺の長さは1なので、
･･･��
･･･��より、
，
･･･�◆�(より、 ･･･��(ア) 0 (イ) 1 (ウ) 2 ......[答]
，， ･･･�� ･･･�� (∵ � き�)(エ) a (オ) b (カ) 0 ......[答]
(2) 
より、
は三角形XYZの2辺と垂直になりますが、(1)で
は確認されているので、
です。よって、�ぁきイ�
より、
より、は三角形XYZの2辺と垂直になりますが、(1)では確認されているので、です。よって、�ぁきイ�より、 (∵ � き◆き�)∴ 
･･･��
�Δ�
とすると、
(キ) 2 (ク) 2 (ケ) 3 (コ) 4 ......[答]
･･･���Δ�
とすると、(キ) 2 (ク) 2 (ケ) 3 (コ) 4 ......[答]
･･･��と表すと、
･･･���い茲蝓�
，
，よって、
，，よって、 ･･･��
，
，
の係数を比較して(，，これらより、
，∴ 
(サ) 4 (シ) 2 (ス) 5 (セ) 8 ......[答]
(サ) 4 (シ) 2 (ス) 5 (セ) 8 ......[答]
(∵ � き◆き�)∴ 
∴
(ソ) 5 (タ) 2 (チ) 8 ......[答]
∴
(ソ) 5 (タ) 2 (チ) 8 ......[答]
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2010年01月29日
センター数学IIB '10年第3問
センター数学IIB '10年第3問
自然数の列1，2，3，4，･･･ を、次のように群に分ける。
個の項からなるものとする。第n群の最後の項を
で表す。
(
)
(
)
(
)
解答 階差数列や数列の和をテーマとした問題です。教科書の例題に準拠した問題で、第2問と同様、受験生の基礎学力を調べるのに適切な問題だと思います。昨年の数列の問題と比べれば、センター数学の内容が大きく改善されたように感じます。
(
)
(Σの公式を参照)
･･･��
とすると
なので、
付近の
の値を調べます。
のとき、
のとき、
よって、
･･･��
･･･��
(数列の求和技法を参照)
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自然数の列1，2，3，4，･･･ を、次のように群に分ける。
1 | 2，3，4，5 | 6，7，8，9，10，11，12 | ･･･
ここで、一般に第n群は個の項からなるものとする。第n群の最後の項をで表す。(1) 
，
，
，
である。
，，，である。 ()が成り立ち
()である。
よって、600は、第
群の小さい方から
番目の項である。
よって、600は、第
群の小さい方から番目の項である。(2) 
に対し、第
群の小さい方から
番目の項を
で表すと
に対し、第群の小さい方から番目の項をで表すとであり
が成り立つ。これより
()となる。
解答 階差数列や数列の和をテーマとした問題です。教科書の例題に準拠した問題で、第2問と同様、受験生の基礎学力を調べるのに適切な問題だと思います。昨年の数列の問題と比べれば、センター数学の内容が大きく改善されたように感じます。
(1) 第4群には、
項あるので、
項あるので、(ア) 2 (イ) 2 ......[答]
第n群の末尾
から第
群の末尾
を引いたものは、第n群の項の数になります。
第n群の末尾
から第群の末尾を引いたものは、第n群の項の数になります。 ()(ウ) 3 (エ) 2 ......[答]
階差数列の公式より、
階差数列の公式より、
(Σの公式を参照)(オ) 3 (カ) 2 (キ) 2 (ク) 1 (ケ) 2 ......[答]
600が第n群に属するのであれば、
600が第n群に属するのであれば、
整理すると、
･･･��とするとなので、付近のの値を調べます。のとき、のとき、よって、
より、�，鯔�たすnは、
で、600は第21群に属します。
で、600は第21群に属します。より、第20群の末尾は590で、第21群の先頭は591です。600は、591から10番目の自然数で、第21群の10番目の項です。
(コ) 2 (サ) 1 (シ) 1 (ス) 0 ......[答]
(コ) 2 (サ) 1 (シ) 1 (ス) 0 ......[答]
注．上記の解答では、十分条件を求めたに過ぎませんが、空所補充式のセンター試験では、これで解答できてしまいます。�，鬚�ちんと考えるのであれば、�，留βΔ良堙�号と
より、
より、 ･･･���，虜限Δ良堙�号と
より、
より、 ･･･���△�つ��より、
となります。
となります。(2) 第n群の末尾は、
なので、第
群の先頭は、
で、第
群の小さい方から
番目の項
は、
なので、第群の先頭は、で、第群の小さい方から番目の項は、(セ) 3 (ソ) 2 (タ) 2 (チ) 3 (ツ) 2 (テ) 2 (ト) 3 (ナ) 1 ......[答]
(数列の求和技法を参照)(ニ) 2 (ヌ) 3 (ネ) 3 ......[答]
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