2008年12月03日
埼玉大物理'08年[2]
埼玉大物理'08年[2]
図1に示すように、起電力
の電池、抵抗値
の抵抗、電気容量
のコンデンサー、スイッチにより構成された回路がある。はじめ、スイッチは開いた状態であり、コンデンサーには電荷が蓄えられていない。このとき、以下の問いに答えよ。ただし、電池の内部抵抗は無視できるものとする。
，極板の間隔を
，極板間の誘電率を
とする平行板コンデンサーとする。スイッチを閉じて十分に時間が経過した後のコンデンサーの極板間に働く力の大きさ
を求めたい。
コンデンサーを回路に接続したままの状態で、図2に示すように、一方の極板に、極板間に働いている力Fと大きさが等しく、反対の方向を向いた外力を加え、極板の間隔を
だけわずかに増加させたとする。ただし、
は
より十分小さいものとする。このとき、外力のした仕事
とコンデンサーの静電エネルギー変化量
との間には、次の関係が成り立つ。
･･････(1)ここで、
は極板に蓄えられている電荷の変化量を
とすると、
で与えられる。このとき、以下の問いに答えよ。解答は、E，
，S，d，
のうち必要なものを用いて表せ。
解答 コンデンサーに関する標準的な頻出問題です。
......[答]
より、
......[答]
より、
......[答]
追記．コンデンサーの極板間に働く力を求めるのには、上記の(1)式を用いて、静電エネルギーの変化
と電池が供給したエネルギー
とから求める方法のほかに、極板間の電界から求める方法があります。
問題文の図1でスイッチを閉じると、コンデンサーの上側の極板に電荷
が蓄えられ、コンデンサーの下側の極板に電荷
が蓄えられます。
ガウスの法則より、電荷Qから出て行く電気力線の総本数は
本です。
電気力線の密度が電界なので、上側の極板をスッポリと覆う曲面を考えると、曲面の面積は
(極板の両面)なので、電荷
が曲面上に作る電界を
として、
同様にして、下側の極板をスッポリと覆う曲面を考えると、電荷
が曲面上に作る電界を
として、
平行板コンデンサーで、極板面積が極板間距離に対して充分に大きいとき、極板の周辺部の影響が無視できて、極板間の電界は一定になります(極板間のどこに電荷を置いても同じ大きさの力が働く)。極板間では、両極板の作る電界(
の作る電界は極板から出ていく方向、
の作る電界は極板に入っていく方向で、極板間では両電界は同じ向きになる)が重ね合わされて、大きさ
の電界ができます。
しかしながら、極板間に働く力を考える場合には、重ね合わせるのではなく、片方の極板が他方の極板の位置に作る電界が及ぼす力を考えることになります。極板は、自分で持っている電荷の作る電界からは力を受けないことに注意してください。従って、下側の極板上の電荷
は、上側の極板の作る電界
から、大きさ
の力を受けることになります。
なので、
となります。このとき、極板間の電界eを用いると、極板間に働く力は、
となり、
ではないので注意が必要です。
本問では、電池と接続したまま、つまり、極板間電圧を
に維持したまま、極板間距離を
変化させて力を求めています。このときには、コンデンサーに蓄えられる電荷は
だけ変化し、電池がエネルギー
を供給することになります(負のエネルギーを供給するので、実質的には、エネルギーが電池に戻ることになります)。
では、電池とコンデンサーの接続を切って、極板間距離を
だけ変化させて、電気容量を
にするとどうなるでしょうか？
電池はエネルギーを供給せず、コンデンサーが蓄える電荷は
のままになり、極板間電圧が電気容量の変化に伴って
になります。
極板間距離を
にしたときの静電エネルギーは、
静電エネルギーの変化(この変化は極板を移動させる外力によってもたらされます)は、
このときは、電池の供給するエネルギー
は存在しないので、
より、
となり、電池を接続したまま、極板間距離を変化させた場合と同じ値になります。
電池を接続したままのときと、接続を切ったときとで、
の符号は反対なのですが、電池の供給したエネルギーを加えると、外力のした仕事には違いがないことになります。
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図1に示すように、起電力の電池、抵抗値の抵抗、電気容量のコンデンサー、スイッチにより構成された回路がある。はじめ、スイッチは開いた状態であり、コンデンサーには電荷が蓄えられていない。このとき、以下の問いに答えよ。ただし、電池の内部抵抗は無視できるものとする。問1 スイッチを閉じた瞬間に回路に流れる電流
を求めよ。
を求めよ。問2 スイッチを閉じて十分に時間が経過した後、コンデンサーに蓄えられている静電エネルギー
を求めよ。
コンデンサーに電荷が蓄えられているとき、極板間には引き合う力が働く。図1のコンデンサーを、極板の面積を求めよ。，極板の間隔を，極板間の誘電率をとする平行板コンデンサーとする。スイッチを閉じて十分に時間が経過した後のコンデンサーの極板間に働く力の大きさを求めたい。コンデンサーを回路に接続したままの状態で、図2に示すように、一方の極板に、極板間に働いている力Fと大きさが等しく、反対の方向を向いた外力を加え、極板の間隔をだけわずかに増加させたとする。ただし、はより十分小さいものとする。このとき、外力のした仕事とコンデンサーの静電エネルギー変化量との間には、次の関係が成り立つ。 ･･････(1)は極板に蓄えられている電荷の変化量をとすると、で与えられる。このとき、以下の問いに答えよ。解答は、E，，S，d，のうち必要なものを用いて表せ。問3 コンデンサーの極板の間隔を増加させた前後におけるコンデンサーの電気容量の変化量
は
に比例する。その比例係数を求めよ。ただし、
が1より十分小さいときに成り立つ近似式
を用いること。
はに比例する。その比例係数を求めよ。ただし、が1より十分小さいときに成り立つ近似式を用いること。問4 
を求めよ。
を求めよ。問5 
を求めよ。
を求めよ。問6 (1)式を用いて、コンデンサーの極板間に働く力の大きさ
を求めよ。
を求めよ。解答 コンデンサーに関する標準的な頻出問題です。
問1 スイッチを閉じた瞬間に、コンデンサーは導通したのと同様になります。オームの法則より、
......[答]問2 スイッチを閉じて十分に時間が経過した後、コンデンサー極板間は回路シンボル通りに切断された状態になり、抵抗を流れる電流はゼロで抵抗両端の電圧はゼロ、よって、コンデンサー両端の電圧は
になります(コンデンサーの過渡現象を参照)。
になります(コンデンサーの過渡現象を参照)。コンデンサーに蓄えられている電気量は、
コンデンサーに蓄えられている静電エネルギーは、
......[答]
コンデンサーに蓄えられている静電エネルギーは、
......[答]問3 極板の面積
，極板の間隔を
，極板間の誘電率を
とする平行板コンデンサーの電気容量は、
，極板の間隔を，極板間の誘電率をとする平行板コンデンサーの電気容量は、極板間隔dが
になったときの電気容量は、
問題文に与えられた近似式を用いて、
になったときの電気容量は、問題文に与えられた近似式を用いて、
比例係数は、
......[答]
......[答]問4 極板間隔dが
になったときの静電エネルギーは、
になったときの静電エネルギーは、より、 ......[答]問5 極板間隔dが
になったときに蓄えられている電気量は、
になったときに蓄えられている電気量は、より、 ......[答]問6 (1)より、
∴ 
......[答]
......[答]追記．コンデンサーの極板間に働く力を求めるのには、上記の(1)式を用いて、静電エネルギーの変化
と電池が供給したエネルギーとから求める方法のほかに、極板間の電界から求める方法があります。問題文の図1でスイッチを閉じると、コンデンサーの上側の極板に電荷
が蓄えられ、コンデンサーの下側の極板に電荷が蓄えられます。ガウスの法則より、電荷Qから出て行く電気力線の総本数は
本です。電気力線の密度が電界なので、上側の極板をスッポリと覆う曲面を考えると、曲面の面積は
(極板の両面)なので、電荷が曲面上に作る電界をとして、同様にして、下側の極板をスッポリと覆う曲面を考えると、電荷
が曲面上に作る電界をとして、平行板コンデンサーで、極板面積が極板間距離に対して充分に大きいとき、極板の周辺部の影響が無視できて、極板間の電界は一定になります(極板間のどこに電荷を置いても同じ大きさの力が働く)。極板間では、両極板の作る電界(
の作る電界は極板から出ていく方向、の作る電界は極板に入っていく方向で、極板間では両電界は同じ向きになる)が重ね合わされて、大きさの電界ができます。しかしながら、極板間に働く力を考える場合には、重ね合わせるのではなく、片方の極板が他方の極板の位置に作る電界が及ぼす力を考えることになります。極板は、自分で持っている電荷の作る電界からは力を受けないことに注意してください。従って、下側の極板上の電荷
は、上側の極板の作る電界から、大きさの力を受けることになります。なので、ではないので注意が必要です。本問では、電池と接続したまま、つまり、極板間電圧を
に維持したまま、極板間距離を変化させて力を求めています。このときには、コンデンサーに蓄えられる電荷はだけ変化し、電池がエネルギーを供給することになります(負のエネルギーを供給するので、実質的には、エネルギーが電池に戻ることになります)。では、電池とコンデンサーの接続を切って、極板間距離を
だけ変化させて、電気容量をにするとどうなるでしょうか？電池はエネルギーを供給せず、コンデンサーが蓄える電荷は
のままになり、極板間電圧が電気容量の変化に伴ってになります。極板間距離を
にしたときの静電エネルギーは、は存在しないので、より、電池を接続したままのときと、接続を切ったときとで、
の符号は反対なのですが、電池の供給したエネルギーを加えると、外力のした仕事には違いがないことになります。TOPに戻る CFV21 メイン・ページ 考察のぺージ
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2008年12月02日
筑波大数学'08年[6]
筑波大数学'08年[6]
放物線C：
上の異なる2点P
，Q
(
)における接線の交点をR
とする。
解答 (1)で基本対称式が出てくるので、(2)を対称式になるように変形して考えます。こうしたタイプの問題では、隠れた条件に注意する必要があるのですが、この問題では、注意を忘れても影響はありません(追記を参照)。
より、
�，茲蝓�
よって、� き△慮鯏世�
として、
，
......[答]
，
......[答]
追記．基本対称式を用いる問題では注意するべきことがあります。条件が隠れていることがあるのです。上記で、
，
より、s，tはxの2次方程式
の2解になりますが、s，tは実数なので、この2次方程式は実数解をもち、判別式≧0です。
なので、この問題では、R
は放物線
から下側になければならないのですが、得られた双曲線は
から下にあるので、隠れた条件が表に出てくることはありません。
ですが、
という問題では、
，
として、
より、軌跡の方程式：
が得られますが、放物線
上の点がすべて答になるわけではありません。x，yは、tの2次方程式：
の2解で、x，y実数より、この2次方程式が実数解をもつことから、判別式：
となり、
と合わせて、
∴ 
よって、点
の軌跡は、放物線：
の
の部分、ということになります。
“x，yが実数”というところに条件が隠れていて、問題文に現れていないので注意が必要です。
また、本問では、2接線のなす角が
になっていて、2接線の交点の軌跡が双曲線になりますが、2接線が直交するのであれば、傾きの積＝
(2直線の平行・垂直を参照)より、
より、
となって、2接線の交点の軌跡は放物線
の準線
になります。
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放物線C：
上の異なる2点P，Q ()における接線の交点をRとする。(1) X，Yをt，sを用いて表せ。
(2) 点P，Qが
を満たしながらC上を動くとき、点Rは双曲線上を動くことを示し、かつ、その双曲線の方程式を求めよ。
を満たしながらC上を動くとき、点Rは双曲線上を動くことを示し、かつ、その双曲線の方程式を求めよ。解答 (1)で基本対称式が出てくるので、(2)を対称式になるように変形して考えます。こうしたタイプの問題では、隠れた条件に注意する必要があるのですが、この問題では、注意を忘れても影響はありません(追記を参照)。
(1) C：
微分すると、
P
における接線：
∴
･･･��
Q
における接線：
∴
･･･��
� き△鯱⇔�すると、
P
における接線：∴
･･･��Q
における接線：∴
･･･��� き△鯱⇔�すると、
より、�，茲蝓�
よって、� き△慮鯏世�
として、， ......[答](2) 放物線の接線がx軸に垂直になることはなく、つねに、� き△侶垢�が存在するので、tanを考えることにします。
� き△�x軸のなす角をa，b とします。
，です。右図より2接線のなす角は
(
ですが、
ではないので注意してください)で、これが
であることから、
(ですが、ではないので注意してください)で、これがであることから、∴ 
･･･��
(1)の結果を見れば、��を、基本対称式
，
を用いて表すのだろうと思うでしょう。ですが、
は対称式ではないので、このままではうまく行きません。そこで、2乗を考えると、
は対称式です。
なので、
･･･��(1)の結果を見れば、��を、基本対称式
，を用いて表すのだろうと思うでしょう。ですが、は対称式ではないので、このままではうまく行きません。そこで、2乗を考えると、は対称式です。なので、従って��は、
ここに、(1)の結果、
，
を代入します。
，を代入します。根号部分は正なので、この式が意味をもつのは、
，つまり、
，つまり、のときです。この条件のもとに分母を払って2乗すると、
整理すると、
(ただし、
) ......[答]追記．基本対称式を用いる問題では注意するべきことがあります。条件が隠れていることがあるのです。上記で、
，は放物線から下側になければならないのですが、得られた双曲線はから下にあるので、隠れた条件が表に出てくることはありません。ですが、
が円
の周上を動くとき、点
のという問題では、
，として、が得られますが、放物線上の点がすべて答になるわけではありません。x，yは、tの2次方程式：と合わせて、よって、点
の軌跡は、放物線：のの部分、ということになります。“x，yが実数”というところに条件が隠れていて、問題文に現れていないので注意が必要です。
また、本問では、2接線のなす角が
になっていて、2接線の交点の軌跡が双曲線になりますが、2接線が直交するのであれば、傾きの積＝ (2直線の平行・垂直を参照)より、より、の準線になります。TOPに戻る CFV21 メイン・ページ 考察のぺージ
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2008年12月01日
一橋大数学'06年前期[2]
一橋大数学'06年前期[2]
座標平面上に1辺の長さが2の正三角形ABCがある。ただし、△ABCの重心は原点の位置にあり、辺BCはx軸と平行である。また、頂点Aはy軸上にあってy座標は正であり、頂点Cのx座標は正である。直線
に関して3点A，B，Cと対称な点を、それぞれ
，
，
とする。
解答 (2)では、△ABCと△
が重なる部分は、△ABCから3つの三角形を取り除いた部分で、この3つの三角形が合同であることは図を描けば正三角形の対称性より明らかですが、ここでは、一応確かめておくことにします。
であり、原点Oは、AMを2：1に内分する点なので、
，
従って、Aのy座標は
，B，C，Mのy座標は
です。
Cの座標は
となり、
に関してCと対称な点
の座標はCのx座標とy座標を入れ替えて、
......[答]
以上より、
△BFIの面積
は、
......[答]
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座標平面上に1辺の長さが2の正三角形ABCがある。ただし、△ABCの重心は原点の位置にあり、辺BCはx軸と平行である。また、頂点Aはy軸上にあってy座標は正であり、頂点Cのx座標は正である。直線
に関して3点A，B，Cと対称な点を、それぞれ，，とする。(1) 
の座標を求めよ。
の座標を求めよ。(2) △ABCと△
が重なる部分の面積を求めよ。
が重なる部分の面積を求めよ。解答 (2)では、△ABCと△
が重なる部分は、△ABCから3つの三角形を取り除いた部分で、この3つの三角形が合同であることは図を描けば正三角形の対称性より明らかですが、ここでは、一応確かめておくことにします。(1) BCの中点をMとすると、
より、B，Cのx座標は
，1です。
より、B，Cのx座標は，1です。であり、原点Oは、AMを2：1に内分する点なので、，従って、Aのy座標は
，B，C，Mのy座標はです。Cの座標は
となり、に関してCと対称な点の座標はCのx座標とy座標を入れ替えて、 ......[答](2) 求める面積は、右図の黄色着色部分の面積で、正三角形ABCの面積から3つの水色着色部分の三角形の面積を引いたものになります。
ABと
，
の交点をH，F，BCと
，
の交点をI，D，CAと
，
の交点をJ，Eとします。
直線ABは、2点
，
を通るので、
，の交点をH，F，BCと，の交点をI，D，CAと，の交点をJ，Eとします。直線ABは、2点
，を通るので、
･･･� �(
は、2点
，
を通るので、∴ 
･･･��
�，鉢△鯱⇔�して、
･･･���，鉢△鯱⇔�して、
∴ 
�，紡綟�すると、
�，紡綟�すると、
よって、H
です。
です。また、Iのx座標は
，
のx座標と同じで、
，のx座標と同じで、
とは、傾きの積が、
となるので、直交しています(BCがx軸に平行で
がy軸に平行なことから
さらに、
△ABCと△
が
に関して対称なことから、
がy軸に平行なことからさらに、
△ABCと△
がに関して対称なことから、△AEH ≡ △
△CDJ ≡ △
△BFI ≡ △
△CDJ ≡ △
△BFI ≡ △
以上より、
△AEH ≡ △BFI ≡ △CDJ
△BFIの面積
は、正三角形ABCの面積
は、
は、求める面積は、
......[答]TOPに戻る CFV21 メイン・ページ 考察のぺージ
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2008年11月29日
東北大理系数学'08年前期[1]
東北大理系数学'08年前期[1]
多項式
について、次の条件(i)，(ii)，(iii)を考える。
(1) 条件(i)をみたす多項式
の次数は4以下であることを示せ。
(2) 条件(i)，(ii)，(iii)をすべてみたす多項式
を求めよ。
解答 多項式というのは、文字をかけ合わせたり足し合わせたりしてできる式であって、「次数」は文字を何個かけているか、という数、つまり、0以上の整数になります。単に“多項式
”と言う場合は、各項で文字を2個かけているので、2次の多項式ですが、“
”と言う場合は、xに着目しているので、
の中に
という項があるときには、かけれらているxの個数の4を次数とします。
がxの多項式であるためには、
内の各項のxの指数は0以上の整数でなければなりません。
∴
即ち、
には4次までの項しか含まれないので、
の次数は4以下です。
，
･･･��
......[答]
追記．上記の�イ�
は求まるのですが、ここで即、「答え」とやってはいけません。
上記では、条件(i)についてはすべてのx，(iii)については
の場合について確認できていますが、条件(ii)は、そうではありません。bを求めるために、条件(ii)において、
，
としてみただけで、他のxの値について、本当に
が満たされるのか、確認されていないのです。
言い換えると、条件(ii)をみたすための必要条件が“
”となった(条件(ii)⇒“
”)だけであって、“
”が条件(ii)のための十分条件であること(“
”⇒条件(ii))が確認されていません。そこで、�グ焚爾納尊櫃�
を計算して確認する必要がありました。
必要性、十分性は、センター試験の頻出テーマですが、理解不十分なために、センター試験会場で鉛筆を倒して解答した、という話をよく聞きます。
「必要条件」というのは、要求を満たすために最低限必要な条件(ゆるい条件)であり、「十分条件」というのは、これであれば要求は完全に満たされるという条件(厳しい条件)です。
「必要条件」を求めただけでは、得られた答が全部条件に適しているか怪しい、「十分条件」を求めただけでは、得られた答は確かに条件を満たすが他にも答があるかも知れない、と思うようにしましょう。「必要十分条件」を求める、ということは、これらの答はすべて要求を満たしていて、他には答はない、という解答を求める、ということです。
「必要条件」、「十分条件」という言葉の意味をしっかり理解しておきましょう。なお、条件・命題を参照してください。
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多項式
について、次の条件(i)，(ii)，(iii)を考える。(i) 
(ii)
(iii)
このとき、以下の問いに答えよ。(ii)
(iii)
(1) 条件(i)をみたす多項式
の次数は4以下であることを示せ。(2) 条件(i)，(ii)，(iii)をすべてみたす多項式
を求めよ。解答 多項式というのは、文字をかけ合わせたり足し合わせたりしてできる式であって、「次数」は文字を何個かけているか、という数、つまり、0以上の整数になります。単に“多項式
”と言う場合は、各項で文字を2個かけているので、2次の多項式ですが、“”と言う場合は、xに着目しているので、の中にという項があるときには、かけれらているxの個数の4を次数とします。(1) nを0以上の整数とし、
の中にn次の項があって、
が含まれるとします。この
のxに
を代入すると、
の中に
が出てきます。また、
には
という項が出てきます。
の中にn次の項があって、が含まれるとします。こののxにを代入すると、の中にが出てきます。また、にはという項が出てきます。がxの多項式であるためには、内の各項のxの指数は0以上の整数でなければなりません。∴
即ち、
には4次までの項しか含まれないので、の次数は4以下です。(2) (1)より
は4次の多項式なので、
は4次の多項式なので、とおけます。
条件(i)より、
これが恒等式となるために、
， ･･･��これと、条件(iii)より、
∴ 
･･･��
条件(ii)において、
とすると、
�，茲蝓�
･･･��
�△紡綟�して、
･･･��
条件(ii)において、
とすると、
� き�，�い茲蝓�
･･･��条件(ii)において、
とすると、�，茲蝓�
･･･���△紡綟�して、
･･･��条件(ii)において、
とすると、� き�，�い茲蝓�
∴ 
∴
�い茲蝓�
�，茲蝓�
これらと��より、
･･･��
この
は、
∴
�い茲蝓�
�，茲蝓�
これらと��より、
･･･��この
は、より、条件(ii)をみたします。
......[答]追記．上記の�イ�
は求まるのですが、ここで即、「答え」とやってはいけません。上記では、条件(i)についてはすべてのx，(iii)については
の場合について確認できていますが、条件(ii)は、そうではありません。bを求めるために、条件(ii)において、，としてみただけで、他のxの値について、本当にが満たされるのか、確認されていないのです。言い換えると、条件(ii)をみたすための必要条件が“
”となった(条件(ii)⇒“”)だけであって、“”が条件(ii)のための十分条件であること(“”⇒条件(ii))が確認されていません。そこで、�グ焚爾納尊櫃�を計算して確認する必要がありました。必要性、十分性は、センター試験の頻出テーマですが、理解不十分なために、センター試験会場で鉛筆を倒して解答した、という話をよく聞きます。
「必要条件」というのは、要求を満たすために最低限必要な条件(ゆるい条件)であり、「十分条件」というのは、これであれば要求は完全に満たされるという条件(厳しい条件)です。
「必要条件」を求めただけでは、得られた答が全部条件に適しているか怪しい、「十分条件」を求めただけでは、得られた答は確かに条件を満たすが他にも答があるかも知れない、と思うようにしましょう。「必要十分条件」を求める、ということは、これらの答はすべて要求を満たしていて、他には答はない、という解答を求める、ということです。
「必要条件」、「十分条件」という言葉の意味をしっかり理解しておきましょう。なお、条件・命題を参照してください。
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