2010年09月03日
一橋大数学'10年前期[2]
一橋大数学'10年前期[2]
aを実数とする。傾きがmである2つの直線が、曲線
とそれぞれ点A，点Bで接している。
解答 数学�兇糧�分の計算問題です。
とおきます。
(微分を参照)
･･･��
，
･･･��
より、線分ABの中点Cは、曲線
上の点です。
追記．
より、曲線
は変曲点
をもちます。3次関数のグラフは変曲点に関して対称なので、傾きの等しい接線が引ける異なる2点の中点は変曲点になります。
･･･��
より、aは実数なので、
......[答]
このとき、��は、
(
)は、線分ABの中点Cの座標なので、A，Bのx座標は
です。方程式�，�2解は
であって、�△茲蝓�
......[答]
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aを実数とする。傾きがmである2つの直線が、曲線
とそれぞれ点A，点Bで接している。(1) 線分ABの中点をCとすると、Cは曲線
上にあることを示せ。
上にあることを示せ。(2) 直線ABの方程式が
であるとき、a，mの値を求めよ。
であるとき、a，mの値を求めよ。解答 数学�兇糧�分の計算問題です。
(1) 
とおきます。 (微分を参照)傾きmの接線をもつとき、
･･･��この方程式の2解をa，b として、解と係数の関係より、
， ･･･��点A，点Bの座標は、
，
，線分ABの中点Cは、
�△鰺僂い董�
，，線分ABの中点Cは、�△鰺僂い董�
より、線分ABの中点Cは、曲線上の点です。追記．
より、曲線は変曲点をもちます。3次関数のグラフは変曲点に関して対称なので、傾きの等しい接線が引ける異なる2点の中点は変曲点になります。(2) 直線ABと曲線
は、3点A，B，Cで交わります。
は、3点A，B，Cで交わります。直線AB：
と連立すると、
と連立すると、 ･･･��直線AB上の点Cが
上の点なので、��は
という解をもちます。よって、
上の点なので、��はという解をもちます。よって、より、aは実数なので、 ......[答]このとき、��は、
()は、線分ABの中点Cの座標なので、A，Bのx座標はです。方程式�，�2解はであって、�△茲蝓� ......[答]TOPに戻る CFV21 メイン・ページ 考察のぺージ
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2010年09月01日
静岡大理数学'10年[2]
静岡大理数学'10年[2]
次の問いに答えよ。
解答
として、
を既知として認めてしまえば単なる計算問題ですが、以下では、
を既知としないでやってみます。素直に考えて行くと泥縄式になってきますが、数学の勉強、とは、そういうものかも知れません。
とすると、
より
，
，よって、
∴
において
で
は増加，
において
で
は減少(関数の増減を参照)。
以上より、
，
は単調増加。
ここで、
としたときに、
が0以上の値に近づいて行けば
が言える ･･･� ，里任垢�、問題は、
です。
のとき
を既知としてもよいかも知れませんが、ここでは、確認しておくことにします。
において
で
のとき
なので、
を言うためには、
において
となり、
のとき
となる関数
を見つけてきて、はさみうちにすることになります。
の候補は、
です。
のとき、
です。
において、
であってくれればよい(元の不等式に戻ってしまいます)のですが、xで両辺を割ると、
になるので、
の最小値を調べてみます。
とすると、
において
より
は減少、
において
より
は増加。
とすると、
において
より
は減少、
において
より
は増加。
よって、
は
において最小値
(
)をとる。よって、
において、
とすると、
，
とすると、
，
のとき
，
のとき
(1)の結果より
において
，ここで、
とすると
，はさみうちの原理より
，よって、
増減表(関数の増減、関数の凹凸を参照)より、グラフは右図実線(白マルは除く)。
とすると、
において
で
は減少，
において
で
は増加。
の最小値：
より、
よって、
各辺に
をかけて、
ここで
とすると、
，はさみうちの原理より、
∴
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次の問いに答えよ。
(1) 不等式
が成り立つことを示せ。
が成り立つことを示せ。(2) 関数
の増減、グラフの凹凸を調べ、グラフの概形をかけ。
の増減、グラフの凹凸を調べ、グラフの概形をかけ。解答
として、を既知として認めてしまえば単なる計算問題ですが、以下では、を既知としないでやってみます。素直に考えて行くと泥縄式になってきますが、数学の勉強、とは、そういうものかも知れません。(1) 
(
とすると、より，，よって、∴
においてでは増加，においてでは減少(関数の増減を参照)。以上より、
，は単調増加。ここで、
としたときに、が0以上の値に近づいて行けばが言える ･･･� ，里任垢�、問題は、です。のときを既知としてもよいかも知れませんが、ここでは、確認しておくことにします。においてでのときなので、を言うためには、においてとなり、のときとなる関数を見つけてきて、はさみうちにすることになります。の候補は、です。のとき、です。において、であってくれればよい(元の不等式に戻ってしまいます)のですが、xで両辺を割ると、になるので、の最小値を調べてみます。とすると、においてよりは減少、においてよりは増加。よって、
は
において最小値
(
)をとります。よって、
において、
はにおいて最小値 ()をとります。よって、において、両辺にxをかけて、
∴ 
目標の不等式が成り立つことを示せてしまいました。
また、
における不等式、
目標の不等式が成り立つことを示せてしまいました。
また、
における不等式、において、
とすると、
となり、はさみうちの原理より、
これより、�，砲�いて、
となるので、やはり、
とすると、となり、はさみうちの原理より、これより、�，砲�いて、
となるので、やはり、となります。ですが、この証明は
の最小値を考えることにより、既にすんでいます。(1)の答案としては、以下のようなものになるでしょう。
を考える。
の最小値を考えることにより、既にすんでいます。(1)の答案としては、以下のようなものになるでしょう。を考える。とすると、においてよりは減少、においてよりは増加。よって、
はにおいて最小値 ()をとる。よって、において、両辺にx (
)をかけて、
)をかけて、∴ 
問題文を見ただけで最初から以上のような答案を書くのは難しいと思いますが、
の増減から
を言うためには、というところから思いつけば、充分に試験会場で間に合うはずです。
問題文を見ただけで最初から以上のような答案を書くのは難しいと思いますが、
の増減からを言うためには、というところから思いつけば、充分に試験会場で間に合うはずです。(2) 
とすると、，とすると、，のとき，のとき| x | 0 |  |  | |||
 | × | ＋ | ＋ | ＋ | 0 | − |
 | × | ＋ | 0 | − | − | − |
| y | × |  |  |  |  |  |
(1)の結果よりにおいて，ここで、とすると，はさみうちの原理より，よって、増減表(関数の増減、関数の凹凸を参照)より、グラフは右図実線(白マルは除く)。
追記．上記と同様に、
が問題になることがあります。上記と同じようにやろうとして、
の各辺にxをかけて
の形ではさみうちに持ち込もうとしても、
のとき
なので、そもそも、
という不等式が成立しません。
が問題になることがあります。上記と同じようにやろうとして、の各辺にxをかけての形ではさみうちに持ち込もうとしても、のときなので、そもそも、という不等式が成立しません。そこで、
では、
の各辺に
をかけることを考えます。まず、
の最小値を調べます。
では、の各辺にをかけることを考えます。まず、の最小値を調べます。とすると、においてでは減少，においてでは増加。の最小値：より、よって、
各辺に
をかけて、ここで
とすると、，はさみうちの原理より、∴
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2010年08月30日
阪大理系数学'10年前期[3]
阪大理系数学'10年前期[3]
，m，nを3以上の整数とする。等式
を満たす
，m，nの組をすべて求めよ。
解答 手がかりのつかみにくい不定方程式です。少し、試行錯誤してみます。なお、整数を参照してください。
･･･��まず、�，�
について解いてみます。
より、
仮に、
だとして分母を払うと、
これでは、m，nに3以上であれば、どんな大きな数でも入ってしまう(
という制約はありますが)ので、有意義な条件は出てきません。
�，�nについて解いてみると、
･･･��
より、
なので、分母を払って整理すると、
なので、
これで、
に限られます。
�△茲蝓�
･･･��
，
，
，
，
......[答]
nに関する数学的帰納法：
に対して命題
が成り立つことを証明するには、次のことを示せばよい。
解答 単なるパズルです。右図を見て考えてください。
さて、上記問題(ii)の場合で、
個の凸n角形の面をもつ凸多面体をよく伸びるゴムのようなもので作って、1つの面の中に1点をとり、この点を開口部としてこの面から多面体全体を押し広げて、1つの平面上にぴったり重ねてみます(右図の例を見てください)。開口部となった点が無限遠に行ってしまったとして、このときできる平面グラフを考えると、多面体の面の数は
，辺の数は
，頂点の数は
となります。
凸多面体を各面ごとにバラバラにしたとき各面が
個の凸n角形になり、凸多面体の1つの頂点にm個の凸n角形がつながっているとします。
バラバラにしたときの辺2本が重なって凸多面体の辺1本となるので、凸多面体の辺の本数は
です。
バラバラにしたときの頂点m個が重なって凸多面体の頂点1個となるので、凸多面体の頂点の個数は
です。
上記(ii)のオイラーの公式：
に代入すると、
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，m，nを3以上の整数とする。等式，m，nの組をすべて求めよ。解答 手がかりのつかみにくい不定方程式です。少し、試行錯誤してみます。なお、整数を参照してください。
･･･��について解いてみます。より、だとして分母を払うと、という制約はありますが)ので、有意義な条件は出てきません。�，�nについて解いてみると、
･･･��より、なので、分母を払って整理すると、なので、これで、
に限られます。�△茲蝓�
･･･��(i) 
のとき、��より、
のとき、��より、これが3以上の整数となるのは、
のときで、各一に対応して、
のときで、各一に対応して、(ii) 
のとき、��より、
のとき、��より、これが3以上の整数となるのは、
のときで、このとき、
のときで、このとき、(iii) 
のとき、��より、
のとき、��より、これが3以上の整数となるのは、
のときで、このとき、
(i)〜(iii)より、のときで、このとき、，，，， ......[答]追記．本問は平面グラフに関する「オイラーの公式」をネタにした問題です。各面が正n角形になっている正
面体の1頂点にm個の正n角形がつながっているとき、�，�成立します。以下のように、「オイラーの公式」そのものが入試問題となったこともあります。
面体の1頂点にm個の正n角形がつながっているとき、�，�成立します。以下のように、「オイラーの公式」そのものが入試問題となったこともあります。慶大環境情報'97年[5]
nに関する数学的帰納法：
に対して命題が成り立つことを証明するには、次のことを示せばよい。(��) 
のとき成り立つ。
のとき成り立つ。(��) 
のとき成り立つとすると、
のときも成り立つ。
のとき成り立つとすると、のときも成り立つ。(i) このことを用いて次のオイラーの公式の証明を完成させなさい。
平面上にある有限個の点とそれらを結ぶ互いに交わらない平面上の曲線からなる図形を平面グラフという。点を頂点、点を結ぶ曲線を辺と呼び、いくつかの辺によって囲まれた平面の有限領域であって、他の辺によって区切られていないものを面と呼ぶ。また平面グラフの任意の2点に対して、それらをそのグラフのいくつかの辺を用いて結ぶことができるとき、そのグラフは連結であるといい、そうでないとき非連結と呼ぶ。平面グラフGに対して、その頂点の個数を
，辺の個数を
，面の個数を
と書く。このとき連結な平面グラフFに対してオイラーの公式
が成立する。この公式は
に関する数学的帰納法を用いて証明できる。
，辺の個数を，面の個数をと書く。このとき連結な平面グラフFに対してオイラーの公式が成立する。この公式はに関する数学的帰納法を用いて証明できる。(��) 
，すなわち、Gが一点からなるとき、
，
，
より公式は成立する。
，すなわち、Gが一点からなるとき、，，より公式は成立する。(��) 
のとき公式が成り立つとすると、
のときも成り立つことを示す。Gから任意の一辺を消去したグラフ
を考える。このとき
は連結となる場合と、二つの廉潔な部分
と
に分かれる場合が考えられる。前者を場合(A)，後者を場合(B)とする。
のとき公式が成り立つとすると、のときも成り立つことを示す。Gから任意の一辺を消去したグラフを考える。このときは連結となる場合と、二つの廉潔な部分とに分かれる場合が考えられる。前者を場合(A)，後者を場合(B)とする。場合(A)：このとき、
，
，
である。
，，である。場合(B)：このとき、
，
，
である。
，，である。ここで、
，
，
の辺の数がk以下であることに注意すれば、
，
となる。このことから場合(A)および場合(B)とも
を導くことができる。よって数学的帰納法より求める公式が示される。
，，の辺の数がk以下であることに注意すれば、，となる。このことから場合(A)および場合(B)ともを導くことができる。よって数学的帰納法より求める公式が示される。(ii) 連結な平面グラフGの外側の無限領域も一つの面として数えれば、オイラーの公式は
となる。Gの各面が3辺以上からなるとすれば
である、オイラーの公式に代入すれば
を得る。いま、平面上に5点を置く。各点から残りの4点へ互いに交わらない曲線で結べる平面グラフが存在したとすると、
，
となり、これは上の不等式に矛盾する。したがってこのような平面グラフは存在しない。
となる。Gの各面が3辺以上からなるとすればである、オイラーの公式に代入すればを得る。いま、平面上に5点を置く。各点から残りの4点へ互いに交わらない曲線で結べる平面グラフが存在したとすると、，となり、これは上の不等式に矛盾する。したがってこのような平面グラフは存在しない。解答 単なるパズルです。右図を見て考えてください。(1) 1 (2) 0 (3) 0 (4) 
(5) 
(6) 0 (7) 
(8) 0 ......[答]
(5) (6) 0 (7) (8) 0 ......[答](9) Gの各面をバラバラにしてしまうと、多角形が
個できるので、
個の3角形の辺の個数
個以上の辺ができます。実際には、2個の多角形が接して1本の辺ができているので、辺の個数は少なくとも
だけあります。多角形が4本以上の辺で囲まれていることも考慮すると、辺の個数
は
以上です。∴ 
個できるので、個の3角形の辺の個数個以上の辺ができます。実際には、2個の多角形が接して1本の辺ができているので、辺の個数は少なくともだけあります。多角形が4本以上の辺で囲まれていることも考慮すると、辺の個数は以上です。∴ 2 ......[答]
(10)(11) オイラーの公式より、
(9)の結果に代入すると、
∴ 
(10) 3 (11) 6 ......[答]
(10) 3 (11) 6 ......[答]
(12) 各点から残りの4点に線分を引くと、重複を考慮して、
本引けます。
本引けます。10 ......[答] (このとき、
となり不等式が成立しません)
となり不等式が成立しません)さて、上記問題(ii)の場合で、個の凸n角形の面をもつ凸多面体をよく伸びるゴムのようなもので作って、1つの面の中に1点をとり、この点を開口部としてこの面から多面体全体を押し広げて、1つの平面上にぴったり重ねてみます(右図の例を見てください)。開口部となった点が無限遠に行ってしまったとして、このときできる平面グラフを考えると、多面体の面の数は，辺の数は，頂点の数はとなります。凸多面体を各面ごとにバラバラにしたとき各面が
個の凸n角形になり、凸多面体の1つの頂点にm個の凸n角形がつながっているとします。バラバラにしたときの辺2本が重なって凸多面体の辺1本となるので、凸多面体の辺の本数は
です。バラバラにしたときの頂点m個が重なって凸多面体の頂点1個となるので、凸多面体の頂点の個数は
です。上記(ii)のオイラーの公式：
に代入すると、となり、本問の不定方程式になります。
詳しくは、講座・数学の考え方15「代数的トポロジー」(枡田幹也著、朝倉書店)の冒頭部分などを参照してください。
詳しくは、講座・数学の考え方15「代数的トポロジー」(枡田幹也著、朝倉書店)の冒頭部分などを参照してください。
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2010年08月29日
名大物理'10年[2]
名大物理'10年[2]
図1のように、電池(起電力V)，抵抗1 (抵抗値
)，抵抗2 (抵抗値
)，抵抗3 (抵抗値
)，抵抗4 (抵抗値R)，コンデンサー(電気容量C)，コイル(自己インダクタンスL)，スイッチ
，
，
，
，
からなる回路がある。はじめ、すべてのスイッチは開いており、コンデンサーに電荷はたくわえられていない。電池の内部抵抗、導線およびコイルの抵抗は無視できる。以下の手順にしたがい、スイッチを開閉していく。各設問に答えよ。ただし、設問(1)〜(5)には、V，R，C，Lから適切なものを用いて答えよ。
コンデンサーを充電するために、スイッチ
と
を閉じ、充分に長い時間をおいた。
次に、スイッチ
を閉じたまま、
を開き、さらに
，
，
を閉じ、充分に長い時間をおいた。
最後に、スイッチ
，
，
を閉じたまま、
を開いた。なお、
は開いたままであった。
解答 設問(3)の
は0ではありません。0だとすると設問(6)の答の書きようがなくなります。スイッチを切り換えて充分に時間が経過したとき、コイルは導線と同じ状況になるのですが、これは、コイル両端の電圧が0になる(
なので、コイルを流れる電流が一定になる。自己誘導を参照)、ということであって、コイルを流れる電流が0になる、ということではないことに注意してください。
･･･��
(4) 充分長い時間の後、コイルは導線と同じ状態になり、コイル両端の電圧は0になります。
∴ 
∴ 
(6) 
を開いて電池との接続を切ってしまうと、電池から流れ出す電流はなくなりますが、コイルは電流
を流し続けようとします。
，
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図1のように、電池(起電力V)，抵抗1 (抵抗値)，抵抗2 (抵抗値)，抵抗3 (抵抗値)，抵抗4 (抵抗値R)，コンデンサー(電気容量C)，コイル(自己インダクタンスL)，スイッチ，，，，からなる回路がある。はじめ、すべてのスイッチは開いており、コンデンサーに電荷はたくわえられていない。電池の内部抵抗、導線およびコイルの抵抗は無視できる。以下の手順にしたがい、スイッチを開閉していく。各設問に答えよ。ただし、設問(1)〜(5)には、V，R，C，Lから適切なものを用いて答えよ。コンデンサーを充電するために、スイッチ
とを閉じ、充分に長い時間をおいた。設問(1)：コンデンサーに蓄えられているエネルギーを求めよ。
設問(2)：電池のした仕事を求めよ。
設問(3)：抵抗1で発生したジュール熱を求めよ。
次に、スイッチ
を閉じたまま、を開き、さらに，，を閉じ、充分に長い時間をおいた。設問(4)：コイルに流れる電流
を求めよ。ただし、
は図1において、下向きを正とする。
を求めよ。ただし、は図1において、下向きを正とする。設問(5)：コイルに蓄えられているエネルギーを求めよ。
最後に、スイッチ
，，を閉じたまま、を開いた。なお、は開いたままであった。設問(6)：
を開いた直後に抵抗1に流れる電流
および抵抗2に流れる電流
を求めよ。ただし、
，
は図1において、右向きを正とする。この設問には
を用いて答えよ。
を開いた直後に抵抗1に流れる電流および抵抗2に流れる電流を求めよ。ただし、，は図1において、右向きを正とする。この設問にはを用いて答えよ。解答 設問(3)の
は0ではありません。0だとすると設問(6)の答の書きようがなくなります。スイッチを切り換えて充分に時間が経過したとき、コイルは導線と同じ状況になるのですが、これは、コイル両端の電圧が0になる(なので、コイルを流れる電流が一定になる。自己誘導を参照)、ということであって、コイルを流れる電流が0になる、ということではないことに注意してください。コンデンサーの電圧は電池の電圧と等しくなり、コンデンサーは電荷
を蓄え、静電エネルギーは、
......[答]
を蓄え、静電エネルギーは、 ......[答]
です。電池の電圧はVで一定なので、電池のした仕事は、
......[答] (公式
については、(3) (2)で求めた電池の仕事と(1)の静電エネルギーの差は、
･･･��これが、抵抗で消費されたジュール熱になります。抵抗1と抵抗4には常に等しい電流Iが流れるので、抵抗1で発生するジュール熱
と、抵抗4で発生するジュール熱
の比は、2：1になります。
抵抗1で発生するジュール熱は、�，�
で、
......[答]
と、抵抗4で発生するジュール熱の比は、2：1になります。抵抗1で発生するジュール熱は、�，�
で、 ......[答](4) 充分長い時間の後、コイルは導線と同じ状態になり、コイル両端の電圧は0になります。
と、抵抗2と抵抗4を並列接続させた合成抵抗
の ∴ ∴ よって、電池から流れ出す電流は、
･･･��
抵抗1，抵抗3両端の電圧は等しく、抵抗を流れる電流は抵抗値に反比例するので、抵抗1に流れる電流は、�△�
で、
(右向き)
同様に、抵抗2に流れる電流は、�△�
で、
(右向き)
よってコイルに流入する電流
は、
(下向き) ......[答]
･･･��抵抗1，抵抗3両端の電圧は等しく、抵抗を流れる電流は抵抗値に反比例するので、抵抗1に流れる電流は、�△�
で、 (右向き)同様に、抵抗2に流れる電流は、�△�
で、 (右向き)よってコイルに流入する電流
は、 (下向き) ......[答](5) コイルに蓄えられているエネルギーは、
......[答]
......[答](6) を開いて電池との接続を切ってしまうと、電池から流れ出す電流はなくなりますが、コイルは電流を流し続けようとします。このとき、右図のように、コイルから左の分枝と右の分枝に電流が分けて流れる状況になります。
左の分枝の抵抗値は
，右の分枝の抵抗値は
です。コイル両端、つまり、左の分枝、右の分枝両端の電圧は等しいので、左の分枝を流れる電流
，右の分枝を流れる電流
(右向きを正としているのでマイナスがつきます)は、抵抗値に反比例して、その比は、1：2となり、
を1：2に分けて、
左の分枝の抵抗値は
，右の分枝の抵抗値はです。コイル両端、つまり、左の分枝、右の分枝両端の電圧は等しいので、左の分枝を流れる電流，右の分枝を流れる電流 (右向きを正としているのでマイナスがつきます)は、抵抗値に反比例して、その比は、1：2となり、を1：2に分けて、，∴ 
，
......[答]
， ......[答]TOPに戻る CFV21 メイン・ページ 考察のぺージ
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