2008年02月29日
東大物理'08年前期[1]
東大物理'08年前期[1]
質量mの箱が摩擦のない滑らかな水平面上に静止していたとする。この箱を、時刻0から移動させ始めてちょうど時刻Tに距離Lだけ離れた地点を通過させることを考えよう。A，B，Cの3人がそれぞれ別々の力の加え方をして箱を移動させた。Ａの箱は最初から最後まで一定の加速度で運動した。Bの箱は距離
の中間地点まで一定の加速度で加速し、中間地点以降はその時の速度で等速度運動をした。Cはばねを用いて移動させた。図1のように、ばねが自然長の状態で箱がゴール地点にあるようにセットし、そこからばねを長さLだけ縮めて初速0で離した。A，B，C全ての場合において、箱は時刻0で静止した状態から動き始め、一直線上を同じ向きに進み、時刻Tにスタート地点から同じ距離Lだけ離れた地点を通過した。
解答 簡単ですが、やることは多いので忙しい問題です。意地悪な問題文に眩惑されないように注意してください。�兇任蓮�変位・速度・加速度を参照してください。
でも、急発進を奨励しているような問題で、交通安全上は問題では？
∴
･･･��
∴
......[答]
加速度をaとして、等加速度運動の公式より、
∴
......[答]
に中間地点に至るとして、
における加速度aは、
∴
における速さ
は、
においては、この速さで等速度運動で距離
進むので、
∴
における速さは、
における速さは、
グラフは右図。
における速さ
は、
......[答]
に振動端
にいて、
に振動中心
にくるので、箱の位置xは、
グラフは右図。
における速さ
は、
......[答]
......[答]
の間、最大の力をかけるとして、
における位置
，速さ
は、
，
において、速さ
で等速度運動して進む距離は、
∴
∴
なので、複号はマイナスの方を取り、
従って、仕事が最小の場合の力の加え方は、
において、
において、
グラフは右図。
時刻tまでにした仕事Wは、
......[答]
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質量mの箱が摩擦のない滑らかな水平面上に静止していたとする。この箱を、時刻0から移動させ始めてちょうど時刻Tに距離Lだけ離れた地点を通過させることを考えよう。A，B，Cの3人がそれぞれ別々の力の加え方をして箱を移動させた。Ａの箱は最初から最後まで一定の加速度で運動した。Bの箱は距離の中間地点まで一定の加速度で加速し、中間地点以降はその時の速度で等速度運動をした。Cはばねを用いて移動させた。図1のように、ばねが自然長の状態で箱がゴール地点にあるようにセットし、そこからばねを長さLだけ縮めて初速0で離した。A，B，C全ての場合において、箱は時刻0で静止した状態から動き始め、一直線上を同じ向きに進み、時刻Tにスタート地点から同じ距離Lだけ離れた地点を通過した。�機�Cが用いたばねのばね定数kをm，Tを用いて表せ。
�供。繊�B，Cそれぞれの場合について、箱の速さ
を時刻t (
)の関数としてグラフにし、各々の場合の時刻Tにおける速さ
をT，Lを用いて表せ。
を時刻t ()の関数としてグラフにし、各々の場合の時刻Tにおける速さをT，Lを用いて表せ。�掘�A，B，Cそれぞれの場合について、時刻Tまでに箱にした仕事をm，T，Lを用いて表し、どの場合最も仕事が少なかったか答えよ。またそれぞれの場合について、箱にした仕事と�兇乃瓩瓩紳�さ
との関係を求めよ。
との関係を求めよ。�検“△鮴纏澆靴疹�態から動かし始め、最小の仕事でちょうど時刻Tに距離Lだけ離れたところを通過させるための力の加え方を求めたい。ただし、箱に加えることのできる最大の力を
とし、
はA，B，Cの加えたどの力よりも大きいとする。また運動の向きと逆向きの力を加えることはないとする。箱にする仕事が最小の場合について、箱に加えた力
の時間変化をグラフにし、時刻Tまでに箱にした仕事を答えよ。
とし、はA，B，Cの加えたどの力よりも大きいとする。また運動の向きと逆向きの力を加えることはないとする。箱にする仕事が最小の場合について、箱に加えた力の時間変化をグラフにし、時刻Tまでに箱にした仕事を答えよ。解答 簡単ですが、やることは多いので忙しい問題です。意地悪な問題文に眩惑されないように注意してください。�兇任蓮�変位・速度・加速度を参照してください。
でも、急発進を奨励しているような問題で、交通安全上は問題では？
�機，个佑�L縮めたときのばねの位置エネルギーは
，箱がゴール地点にあるときの箱の速さをvとして、箱の運動エネルギーは
，箱がゴール地点にあるときの箱の速さをvとして、箱の運動エネルギーは系のエネルギーを奪うような外力は存在せず、力学的エネルギーが保存されるので、
∴
･･･���，犯罎戮董�
単振動の周期は
で、単振動の公式より、
単振動の周期は
で、単振動の公式より、∴
......[答]�供�Aについて、
加速度をaとして、等加速度運動の公式より、∴
時刻tにおける速さ
は、
は、グラフは右図。
おける速さ
は、
おける速さは、 ......[答]Bについて、
に中間地点に至るとして、における加速度aは、∴
における速さは、においては、この速さで等速度運動で距離進むので、∴
における速さは、における速さは、グラフは右図。
における速さは、 ......[答]Cについて
に振動端にいて、に振動中心にくるので、箱の位置xは、グラフは右図。
における速さは、 ......[答]�掘�A，B，Cの3人が加える力以外に、エネルギーを奪う外力が存在しないので、時刻Tまでに箱にした仕事は全て、
の運動エネルギーとなります。従って、3つの場合のいずれにおいても、箱にした仕事Wは、
の運動エネルギーとなります。従って、3つの場合のいずれにおいても、箱にした仕事Wは、 ......[答]Aについて、
Bについて、
Cについて、
より、最も仕事が少なかったのは、B ......[答]
Bについて、
Cについて、
より、最も仕事が少なかったのは、B ......[答]�検´靴茲蝓∈能蕕忘蚤腓�力
で一気に加速して、あとは等速度運動で進む、というのが、最小の仕事で一定の時間Tの間に距離L進む、力の加え方です。
で一気に加速して、あとは等速度運動で進む、というのが、最小の仕事で一定の時間Tの間に距離L進む、力の加え方です。最大の力
をかけているとき、加速度を
として、
をかけているとき、加速度をとして、
の間、最大の力をかけるとして、における位置，速さは、，において、速さで等速度運動して進む距離は、∴
整理して、
∴
なので、複号はマイナスの方を取り、従って、仕事が最小の場合の力の加え方は、において、において、グラフは右図。
時刻tまでにした仕事Wは、
......[答]TOPに戻る CFV21 メイン・ページ 考察のぺージ
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2008年02月28日
東大理系数学'08年前期[6]
東大理系数学'08年前期[6]
座標平面において、媒介変数tを用いて
(
)
と表される曲線が囲む領域の面積を求めよ。
解答 グラフを描け、という問題だとしても充分におもしろい関数ですが、ここでは、面積を問われているだけなので、微分して増減表を調べたりすると、大きく時間をロスするので注意してください。面積を求めるのに必要な情報を得ることを優先するべきです。
この問題の解答としては不必要ですが、一応、増減を確認しておきます。
(微分の公式を参照)
(積の微分法を参照)
とすると、
となりますが、
においては、
と、
，
を満たすa，b について、
，
の3解を持っています。
結局、増減を調べても、グラフは描けません。凹凸や、
，
のときのy座標など調べ出せば、どんどん時間をロスすることになります。
実は、グラフは右図のようになります。
では、どんどん、上下に葉が連なっていく感じになります。
ここでは、グラフを描くことなく考えることにします。まず、曲線が囲む領域について調べます。
･･･��において、
です。
とすると、�，砲�いては、
このとき、
曲線は、y軸と、4点
，
，
，
で交わります。
とすると、�，砲�いては、
この3つのtの値に対して、いずれも、
とすると、�，砲�いては、
このとき、
とすると、�，砲�いては、
で、
これで、グラフは�，糧楼呂砲�いて少なくとも4本に枝分かれして、
で1点に集まっていること、x軸とは
以外の交点を持たないこと、
と逆側の
，
において、4本のうちの2本ずつが1点に集まることがわかります。
�，糧楼呂砲�いて、
は、
の範囲を2往復するので、グラフは4本に枝分かれします。4本の枝は、�，糧楼呂鯤�けて、
･･･��
･･･��
･･･��
･･･��の部分の4本に分かれますが、この4本が交差するかどうかを調べておきます。
同一のx座標におけるyの値を比較することになるので、
，
とし、�◆き�，�ぁきイ砲�けるy座標を、
，
，
，
とします。
�◆き�において
より、
，
�ぁきイ砲�いて
より、
，
として、
は�◆�
は��を動き、
におけるy座標を比較すると、
は�ぁ�
は�イ鯑阿�、
におけるy座標を比較すると、
において交差せず、上から、
，
，
，
の順に並び、曲線が囲む部分は、
と
が囲む部分、
と
が囲む部分の2つあることがわかります。微分してグラフを描く、ということをせずとも、これで、面積を求めるのには充分です。
面積を求めるにあたって、4本の枝の各範囲�◆銑イ卜消爾魎泙瓩胴佑┐襪海箸砲靴泙后�
，
，
，
が、
においてx軸と囲む面積を
，
，
，
とします。求める面積Sは、
です。
では、
と置換することにより、x：
のとき、t：
より、
同じような積分が出てくるので、
(C：積分定数) (部分積分法を参照)とおくと、
(定積分を参照)
では、x：
のとき、t：
より、
(
の中のsinの項はゼロとなり、cosのみ残ることに注意してください)
，
では、それぞれ、x：
のとき、t：
，t：
ですが、
と同様に、
においても、
，
は消えて、
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座標平面において、媒介変数tを用いて
()と表される曲線が囲む領域の面積を求めよ。
解答 グラフを描け、という問題だとしても充分におもしろい関数ですが、ここでは、面積を問われているだけなので、微分して増減表を調べたりすると、大きく時間をロスするので注意してください。面積を求めるのに必要な情報を得ることを優先するべきです。
この問題の解答としては不必要ですが、一応、増減を確認しておきます。
(微分の公式を参照)| t | 0 |  | p |  |  | ||||
 | 0 | − | 0 | ＋ | 0 | − | 0 | ＋ | 0 |
| x | 1 |  |  |  | 1 | |  | | 1 |
(積の微分法を参照)とすると、となりますが、においては、と、，を満たすa，b について、，の3解を持っています。| t | 0 | a | b |  | |||
 | 0 | ＋ | 0 | − | 0 | ＋ | ＋ |
| y | 0 | | | | 0 |
結局、増減を調べても、グラフは描けません。凹凸や、
，のときのy座標など調べ出せば、どんどん時間をロスすることになります。実は、グラフは右図のようになります。では、どんどん、上下に葉が連なっていく感じになります。ここでは、グラフを描くことなく考えることにします。まず、曲線が囲む領域について調べます。
･･･��です。とすると、�，砲�いては、このとき、
曲線は、y軸と、4点
，，，で交わります。とすると、�，砲�いては、この3つのtの値に対して、いずれも、
とすると、�，砲�いては、このとき、
とすると、�，砲�いては、で、これで、グラフは�，糧楼呂砲�いて少なくとも4本に枝分かれして、
で1点に集まっていること、x軸とは以外の交点を持たないこと、と逆側の，において、4本のうちの2本ずつが1点に集まることがわかります。�，糧楼呂砲�いて、
は、の範囲を2往復するので、グラフは4本に枝分かれします。4本の枝は、�，糧楼呂鯤�けて、 ･･･�� ･･･�� ･･･�� ･･･��同一のx座標におけるyの値を比較することになるので、
，とし、�◆き�，�ぁきイ砲�けるy座標を、，，，とします。�◆き�において
より、，�ぁきイ砲�いて
より、，として、は�◆�は��を動き、におけるy座標を比較すると、∴ 
は�ぁ�は�イ鯑阿�、におけるy座標を比較すると、∴ 
従って、�◆き�，�ぁきイ�4本は、において交差せず、上から、，，，の順に並び、曲線が囲む部分は、とが囲む部分、とが囲む部分の2つあることがわかります。微分してグラフを描く、ということをせずとも、これで、面積を求めるのには充分です。面積を求めるにあたって、4本の枝の各範囲�◆銑イ卜消爾魎泙瓩胴佑┐襪海箸砲靴泙后�
，，，が、においてx軸と囲む面積を，，，とします。求める面積Sは、では、と置換することにより、x：のとき、t：より、同じような積分が出てくるので、
(
(積和の公式を使用、
(C：積分定数) (部分積分法を参照) (定積分を参照)では、x：のとき、t：より、 (の中のsinの項はゼロとなり、cosのみ残ることに注意してください)，では、それぞれ、x：のとき、t：，t：ですが、と同様に、においても、，は消えて、∴ 
......[答]
......[答]TOPに戻る CFV21 メイン・ページ 考察のぺージ
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2008年02月27日
東大理系数学'08年前期[5]
東大理系数学'08年前期[5]
自然数nに対し、
を
で表す。たとえば
，
，
である。
解答 今年の問題の中では一番頭を使う問題です。参考書の受験技巧をマスターしているだけでは歯が立ちません。試験会場での勇気と構想力が必要です。出題者の情熱が伝わってくる問題で、東大を志望する人は必ず考えてみて頂きたい。なお、整数を参照。
のとき、
･･･��
･･･��
のとき、
，
，･･･ が、27で割れるかどうか確かめてみよう、ということになりますが、27で割り切れない数を2個足すと27で割り切れるということがあり得るので、9で割れるか調べてみます。
÷9＝1÷9＝0あまり1
÷9＝11÷9＝1あまり2
÷9＝111÷9＝12あまり3
÷9＝1111÷9＝123あまり4
÷9＝11111÷9＝1234あまり5
÷9＝111111÷9＝12345あまり6
÷9＝1111111÷9＝123456あまり7
÷9＝11111111÷9＝1234567あまり8
は9の倍数ですが27の倍数ではなく、
は3の倍数ではなく、
は9では割り切れるが、27では割り切れません。
として、
を調べます。��を使って、
は(1)より27で割り切れるので、
は、27で割り切れます。
mを自然数、
として、
TOPに戻る CFV21 メイン・ページ 考察のぺージ
自然数nに対し、
をで表す。たとえば，，である。(1) mを0以上の整数とする。
は
で割り切れるが、
では割り切れないことを示せ。
はで割り切れるが、では割り切れないことを示せ。(2) nが27で割り切れることが、
が27で割り切れるための必要十分条件であることを示せ。
が27で割り切れるための必要十分条件であることを示せ。解答 今年の問題の中では一番頭を使う問題です。参考書の受験技巧をマスターしているだけでは歯が立ちません。試験会場での勇気と構想力が必要です。出題者の情熱が伝わってくる問題で、東大を志望する人は必ず考えてみて頂きたい。なお、整数を参照。
(1) こういうタイプの問題では、数値代入して、問題のカラクリをつかむことから始めます。
のとき、は、
で割り切れるが、
では割り切れません。･･･(＊)
のとき、
で割り切れるが、では割り切れません。･･･(＊)のとき、は、
で割り切れるが、
では割り切れません。
のとき、
で割り切れるが、では割り切れません。のとき、 ･･･��は、
で割り切れるが、
では割り切れません。
のとき、
で割り切れるが、では割り切れません。のとき、 ･･･��は、
で割り切れるが、
では割り切れません。
mのときに、
のときの項が出てくるので、数学的帰納法を利用するという方針が立ちます。あとは、
の形をしているところが3で割り切れるが9では割り切れないことを示せばよい、ということになります。
自然数nに対して、
は9の倍数なので、pを自然数として、
と置くことができます。
従って、2つの自然数m，nに対して、a，bを自然数として、
で割り切れるが、では割り切れません。mのときに、
のときの項が出てくるので、数学的帰納法を利用するという方針が立ちます。あとは、の形をしているところが3で割り切れるが9では割り切れないことを示せばよい、ということになります。自然数nに対して、
は9の倍数なので、pを自然数として、と置くことができます。従って、2つの自然数m，nに対して、a，bを自然数として、
は、3で割り切れるが9では割り切れません。･･･(＊＊)
数学的帰納法により、題意を示します。
数学的帰納法により、題意を示します。
(��) 
のとき、(＊)より、題意は成立します。
のとき、(＊)より、題意は成立します。(��) 
のとき、題意が成立するとして、
は、
で割り切れるが、
では割り切れない、と、仮定します。
のとき、題意が成立するとして、は、で割り切れるが、では割り切れない、と、仮定します。のとき、(＊＊)より、これは、
で割り切れるが、
では割り切れません。
(��)，(��)より、題意が示されました。
で割り切れるが、では割り切れません。(��)，(��)より、題意が示されました。
(2) 「nが27で割り切れる ⇒ 
が27で割り切れる」はすぐに言えます(下記)が、逆がなかなか言えません。
が27で割り切れる」はすぐに言えます(下記)が、逆がなかなか言えません。，，･･･ が、27で割れるかどうか確かめてみよう、ということになりますが、27で割り切れない数を2個足すと27で割り切れるということがあり得るので、9で割れるか調べてみます。÷9＝1÷9＝0あまり1÷9＝11÷9＝1あまり2÷9＝111÷9＝12あまり3÷9＝1111÷9＝123あまり4÷9＝11111÷9＝1234あまり5÷9＝111111÷9＝12345あまり6÷9＝1111111÷9＝123456あまり7÷9＝11111111÷9＝1234567あまり8規則性があってキレイだなあ、などと、感心している場合ではありません。ずっとやると疲れるので、やめます。
これで、
〜
は、9では割り切れないことがわかりました。
(1)で、
は、9では割り切れるが、27で割り切れないことが示されています。
として、
を調べます。
これで、
〜は、9では割り切れないことがわかりました。(1)で、
は、9では割り切れるが、27で割り切れないことが示されています。として、を調べます。�，茲蝓�
･･･�� と書けるので、
･･･�� と書けるので、第1項は9の倍数ですが、
は上記のように9の倍数ではなく、
は9で割り切れません(27で割り切れない2数の和は、27で割り切れない、とは言えないことに注意。これが、最初に9で割った理由です)。
��を用いて、
は上記のように9の倍数ではなく、は9で割り切れません(27で割り切れない2数の和は、27で割り切れない、とは言えないことに注意。これが、最初に9で割った理由です)。��を用いて、
は9の倍数ですが27の倍数ではなく、は3の倍数ではなく、は9では割り切れるが、27では割り切れません。として、を調べます。��を使って、9の倍数と9の倍数でないものの和の形なので、
は9で割り切れません。
これで、
〜
が27で割り切れないことがわかりました。
mを自然数として、�△茲蝓�
と書けるので、
は9で割り切れません。これで、
〜が27で割り切れないことがわかりました。mを自然数として、�△茲蝓�
と書けるので、
(
の
の項を中カッコ内から外に出して、
をくくりだした)
(は(1)より27で割り切れるので、は、27で割り切れます。mを自然数、
として、
は27では割り切れません。
が27で割り切れるためのTOPに戻る CFV21 メイン・ページ 考察のぺージ
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東大理系数学'08年前期[4]
東大理系数学'08年前期[4]
放物線
上に2点P，Qがある。線PQの中点のy座標をhとする。
解答 東大の数学の入試問題は、オリジナリティーあふれる問題が多いのですが、よく勉強していて技巧を数多く身につけた受験生にも敬意を払って、毎年1題は頻出パターン問題を出題しています。このタイプの問題を落とさないことが合格への早道でしょう。
，
･･･��
･･･��
･･･��
......[答]
なので、
ですが、
の方は、
のときと、
のときで分かれます。これが、相加平均・相乗平均の関係をうまく利用できるか、利用できないか、ということに対応しているわけです。
増減表より、
(
)のとき、hは最小値：
をとります(関数の増減を参照)。
(ii)
のとき、
より、
で、
は単調増加です。
よって、
においては、
，つまり、
のとき、hは最小値：
をとります。
のとき、
，
のとき、
......[答]
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放物線
上に2点P，Qがある。線PQの中点のy座標をhとする。(1) 線分PQの長さLと傾きmで、hを表せ。
(2) Lを固定したとき、hがとりうる値の最小値を求めよ。
解答 東大の数学の入試問題は、オリジナリティーあふれる問題が多いのですが、よく勉強していて技巧を数多く身につけた受験生にも敬意を払って、毎年1題は頻出パターン問題を出題しています。このタイプの問題を落とさないことが合格への早道でしょう。
(1) 直線PQの方程式を
とします。
とします。
，Q
とすると、a，b は、
と
を連立したときにできる2次方程式：
の2解です。， ･･･��線分PQの長さがLなので、�，鰺僂い董�
･･･��hも�，鰺僂い董�
･･･���△茲蝓�
両辺に
を加えて2で割ると、
を加えて2で割ると、これより、��は、
......[答](2) hの式の形を見ると、相加平均・相乗平均の利用(不等式の証明を参照)が浮かぶのですが、
として、等号成立の条件：
，つまり、
は、
のときには、満たされようがないので困ることになります。
こういうときには、微分して調べた方が安全です。
hをmの関数と見ても良いのですが、
(
，線分PQはx座標の絶対値の大きい方にいくらでも持って行けるので、
，つまりtには上限はありません)とおいて、
，つまり、は、のときには、満たされようがないので困ることになります。こういうときには、微分して調べた方が安全です。
hをmの関数と見ても良いのですが、
(，線分PQはx座標の絶対値の大きい方にいくらでも持って行けるので、，つまりtには上限はありません)とおいて、なので、ですが、の方は、のときと、のときで分かれます。これが、相加平均・相乗平均の関係をうまく利用できるか、利用できないか、ということに対応しているわけです。(i) 
のとき、
のとき、| t | 0 |  | ||
 | − | 0 | ＋ | |
 |  | |  | |
増減表より、
()のとき、hは最小値：をとります(関数の増減を参照)。(ii)
のとき、より、で、は単調増加です。よって、
においては、，つまり、のとき、hは最小値：をとります。のとき、，のとき、 ......[答]TOPに戻る CFV21 メイン・ページ 考察のぺージ
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東大理系数学'08年前期[3]
東大理系数学'08年前期[3]
解答 意表を突いた出題ですが、東大理系のレベルとしては、それほどでもないかも知れません。
正八面体は、8個の正三角形をつなぎ合わせてできる立体です。試験会場で鳥瞰図を作図する場合には右図のようにすると便利です。
(i) まず、平行四辺形CDEFを描きます。(ii) DFを対角線とする平行四辺形ADBFを描きます。(iii) AC，AE，BC，BEを結びます。
より、
(2倍角の公式を参照)
，
，
：
＝
：
＝2：1です。
(このACは実際の長さではありません)
......[答]
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(1) 正八面体のひとつの面を下にして水平な台の上に置く。この八面体を真上から見た図(平面図)を描け。
(2) 正八面体の互いに平行な2つの面をとり、それぞれの面の重心を
，
とする。
，
を通る直線を軸としてこの八面体を1回転させてできる立体の体積を求めよ。ただし、八面体は内部を含むものとし、各辺の長さは1とする。
，とする。，を通る直線を軸としてこの八面体を1回転させてできる立体の体積を求めよ。ただし、八面体は内部を含むものとし、各辺の長さは1とする。解答 意表を突いた出題ですが、東大理系のレベルとしては、それほどでもないかも知れません。
正八面体は、8個の正三角形をつなぎ合わせてできる立体です。試験会場で鳥瞰図を作図する場合には右図のようにすると便利です。(i) まず、平行四辺形CDEFを描きます。(ii) DFを対角線とする平行四辺形ADBFを描きます。(iii) AC，AE，BC，BEを結びます。
(1)
右上図の正八面体で、正三角形BCFを下、正三角形ADEが上に来るように置いたとします。DE，CFの中点をM，Nとします。正三角形の1辺の長さは1なので、
，右図より、
，ABと
の交点、即ち、ABの中点をHとして、
より、
右上図の正八面体で、正三角形BCFを下、正三角形ADEが上に来るように置いたとします。DE，CFの中点をM，Nとします。正三角形の1辺の長さは1なので、，右図より、，ABとの交点、即ち、ABの中点をHとして、より、より、 (2倍角の公式を参照)従って、
は鈍角です。
真上に見える正三角形ADEから書き始めましょう。次に、各辺AD，DE，EAで隣接する正三角形CAD，BDE，FEAを考えます。
は鈍角なので、真上から見て、この3個の正三角形は、正三角形ADEから外にはみ出すように見えます。
立体の対称性から、平面図上で見て、
は鈍角です。 真上に見える正三角形ADEから書き始めましょう。次に、各辺AD，DE，EAで隣接する正三角形CAD，BDE，FEAを考えます。は鈍角なので、真上から見て、この3個の正三角形は、正三角形ADEから外にはみ出すように見えます。立体の対称性から、平面図上で見て、
，，となるように見えます。
三角形ACDと三角形BDCは同一サイズの正三角形です。反対側から見れば、この2つの三角形の位置関係は入れ替わって見えます。ということは、
従って、六角形ACDBEFは、平面図上で正六角形に見えます。正八面体の平面図は右図のようになります。
三角形ACDと三角形BDCは同一サイズの正三角形です。反対側から見れば、この2つの三角形の位置関係は入れ替わって見えます。ということは、
従って、六角形ACDBEFは、平面図上で正六角形に見えます。正八面体の平面図は右図のようになります。
(2)
三角形ADEの重心が
，三角形BCFの重心が
だとします。この正六角形を
と
の双方に垂直な方向、つまり、
に平行な方向に眺めると、右図のように見えます。
三角形ADEの重心が，三角形BCFの重心がだとします。この正六角形をとの双方に垂直な方向、つまり、に平行な方向に眺めると、右図のように見えます。：＝：＝2：1です。また、真上から見て、
，
が(正六角形の中心に)重なって見える、ということは、
は三角形ADE，三角形BCFの双方に垂直です。
右図で、NからAMに垂線NKを下ろすと、
より、
，が(正六角形の中心に)重なって見える、ということは、は三角形ADE，三角形BCFの双方に垂直です。右図で、NからAMに垂線NKを下ろすと、
より、立体の対称性より、
を軸として正八面体を回転させるとき、
の間の部分を回転させた立体と、
の間の部分を回転させ立体とは同じ体積になります。ここでは、
の間の部分を考えます。
上に点Pをとり、
(
)として、
に沿ってx軸をとり、x軸の周りに回転させるとして考えます。線分AC上の点Qを、点Qから
に垂線を下ろし、その足がPとなるようにとります。(1)の平面図上では、Pは
，
に重なって見えます。(1)の平面図上では、AQは実際の長さではありませんが、PQは、正三角形ADEに平行なので、実際の長さです。(1)の平面図上で見て、
を軸として正八面体を回転させるとき、の間の部分を回転させた立体と、の間の部分を回転させ立体とは同じ体積になります。ここでは、の間の部分を考えます。上に点Pをとり、 ()として、に沿ってx軸をとり、x軸の周りに回転させるとして考えます。線分AC上の点Qを、点Qからに垂線を下ろし、その足がPとなるようにとります。(1)の平面図上では、Pは，に重なって見えます。(1)の平面図上では、AQは実際の長さではありませんが、PQは、正三角形ADEに平行なので、実際の長さです。(1)の平面図上で見て、 (このACは実際の長さではありません)また、AQ：AC ＝ x：
より、(1)の平面図上で見て、
より、(1)の平面図上で見て、(1)の平面図上で見た三角形AQPにおいて、
(APは実際の長さではありません)だから、余弦定理より、
(APは実際の長さではありません)だから、余弦定理より、求める体積Vは(x軸のまわりの回転体を参照)、
......[答]TOPに戻る CFV21 メイン・ページ 考察のぺージ
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2008年02月26日
東大理系数学'08年前期[2]
東大理系数学'08年前期[2]
白黒2種類のカードがたくさんある。そのうちk枚のカードを手もとにもっているとき、次の操作(A)を考える。
解答 東大は、比較的、確率は取り組み易い問題が多い気がします。早合点、ケアレス、場合分けの漏れ、などに注意してください。
(1)，(2)とも、白黒が逆になっても変わりがないところをうまく考えましょう。また、「初めて」同じ色になる確率を求めるので、一度、同じ色になってしまった場合は、それ以降は考える必要がないことにも注意してください。
TOPに戻る CFV21 メイン・ページ 考察のぺージ
白黒2種類のカードがたくさんある。そのうちk枚のカードを手もとにもっているとき、次の操作(A)を考える。
(A) 手持ちのk枚の中から1枚を、等確率
で選び出し、それを違う色のカードにとりかえる。
以下の問(1)，(2)に答えよ。で選び出し、それを違う色のカードにとりかえる。(1) 最初に白2枚、黒2枚、合計4枚のカードをもっているとき、操作(A)をn回繰り返した後に初めて、4枚とも同じ色のカードになる確率を求めよ。
(2) 最初に白3枚、黒3枚、合計6枚のカードをもっているとき、操作(A)をn回繰り返した後に初めて、6枚とも同じ色のカードになる確率を求めよ。
解答 東大は、比較的、確率は取り組み易い問題が多い気がします。早合点、ケアレス、場合分けの漏れ、などに注意してください。
(1)，(2)とも、白黒が逆になっても変わりがないところをうまく考えましょう。また、「初めて」同じ色になる確率を求めるので、一度、同じ色になってしまった場合は、それ以降は考える必要がないことにも注意してください。
)と、白が黒に変わって、白1枚、黒3枚となり、さらに2回目に白を引く(確率
)と全て黒になります。この確率は、
(このとき、2回目に黒を引く(確率
)と、元の状態に戻ってしまいます。この確率は、
白と黒が逆になった場合も同じで、2回の操作で、4枚とも同じ色になる確率は、
2回の操作で元の状態に戻る確率が、
この後、同様のことが繰り返されて、mを自然数として、
回操作を行うと、4枚とも同じ色になるか、元の状態に戻ります。一度、4枚とも同じ色になってしまうと、それ以降は考える必要はありません。
回の操作で元の状態に戻る確率は、
回の操作で4枚とも同じ色になる確率は、
回目に元の状態で、その後の2回の操作で、同じ色を2回引いた場合です。その確率は、
回目には、片方が3枚で、他方が1枚となり、4枚とも同じ色になることはありません。
よって、n回の操作で、4枚とも同じ色になる確率は、
......[答]
)と、元の状態に戻ってしまいます。この確率は、白と黒が逆になった場合も同じで、2回の操作で、4枚とも同じ色になる確率は、
2回の操作で元の状態に戻る確率が、
この後、同様のことが繰り返されて、mを自然数として、
回操作を行うと、4枚とも同じ色になるか、元の状態に戻ります。一度、4枚とも同じ色になってしまうと、それ以降は考える必要はありません。回の操作で元の状態に戻る確率は、回の操作で4枚とも同じ色になる確率は、回目に元の状態で、その後の2回の操作で、同じ色を2回引いた場合です。その確率は、回目には、片方が3枚で、他方が1枚となり、4枚とも同じ色になることはありません。よって、n回の操作で、4枚とも同じ色になる確率は、
......[答](2) 1回目に白を引くと、白が2枚、黒が4枚となり、2回目に白を引くと、白が1枚、黒が5枚となり、3回目に白を引くと、6枚とも黒になります。
3回めに黒を引くと、白が2枚、黒が4枚の状態に戻ります。
2回目に黒を引くと、最初の状態に戻ります。
この状況変化の仕方は、白と黒が逆になった場合も同じです。白黒の違いはないので、白黒を区別せず、両者3枚ずつの状態を� �片方が4枚で他方が2枚の状態を�◆�片方が5枚で他方が1枚の状態を��，6枚とも同じ色のカードになる場合を�い箸靴泙后�
最初は�，任后�
1回目の操作で、無条件に、確率1で、�△砲覆蠅泙后�
2回目の操作で、��に行くか、�，北瓩蠅泙后�6枚中2枚の方を引く確率は
で��に移行し、6枚中4枚の方を引く確率は
で�，飽楾圓靴泙后�
2回目に��に移行した場合、3回目の操作で、�い帽圓�か、�△北瓩蠅泙后�6枚中1枚の方を引く確率は
で�い飽楾圓掘�6枚中5枚の方を引く確率は
で�△飽楾圓靴泙后�
2回目に�，北瓩辰疹豺隋�3回目の操作で、無条件に、確率1で、�△飽楾圓靴泙后�
�い砲覆辰討靴泙┐弌△修谿聞澆蝋佑┐詆�要がないので、以後、奇数回目の操作で、�△��い砲覆蝓�偶数回目の操作で、�，���になることが繰り返されることになります。
・mを0以上の整数として、
回目の操作後に�△世辰燭箸靴董�
回目の操作で�△北瓩襪里蓮↓□���→�△箸覆襪�、�□��、��△箸覆訃豺腓任后�
�□���→�△箸覆覲領┐蓮�
，�□��、��△箸覆覲領┐蓮�
よって、
回目の操作後に�△�
回目の操作で�△北瓩覲領┐蓮�
(和事象・積事象・余事象を参照)
・
回目の操作後に�△世辰燭箸靴董�
回目の操作で�い忙蠅襪里蓮↓□���→�い箸覆訃豺腓如△修粒領┐蓮�
mを自然数として、
回目の操作で�△砲覆辰討い覲領┐蓮�
回の操作で�ぁい弔泙蝓�6枚とも同じ色のカードになるのは、
回目に�△両�態で、その後、2回続けて、少ない方の色を引いた場合で、
回の操作では、�，���の状態にあり、6枚とも同じ色になることはありません。
よって、n回の操作で、6枚とも同じ色になる確率は、
......[答]
2回目に黒を引くと、最初の状態に戻ります。
この状況変化の仕方は、白と黒が逆になった場合も同じです。白黒の違いはないので、白黒を区別せず、両者3枚ずつの状態を� �片方が4枚で他方が2枚の状態を�◆�片方が5枚で他方が1枚の状態を��，6枚とも同じ色のカードになる場合を�い箸靴泙后�
最初は�，任后�
1回目の操作で、無条件に、確率1で、�△砲覆蠅泙后�2回目の操作で、��に行くか、�，北瓩蠅泙后�6枚中2枚の方を引く確率は
で��に移行し、6枚中4枚の方を引く確率はで�，飽楾圓靴泙后�2回目に��に移行した場合、3回目の操作で、�い帽圓�か、�△北瓩蠅泙后�6枚中1枚の方を引く確率は
で�い飽楾圓掘�6枚中5枚の方を引く確率はで�△飽楾圓靴泙后�2回目に�，北瓩辰疹豺隋�3回目の操作で、無条件に、確率1で、�△飽楾圓靴泙后�
�い砲覆辰討靴泙┐弌△修谿聞澆蝋佑┐詆�要がないので、以後、奇数回目の操作で、�△��い砲覆蝓�偶数回目の操作で、�，���になることが繰り返されることになります。
・mを0以上の整数として、
回目の操作後に�△世辰燭箸靴董�回目の操作で�△北瓩襪里蓮↓□���→�△箸覆襪�、�□��、��△箸覆訃豺腓任后��□���→�△箸覆覲領┐蓮�
，�□��、��△箸覆覲領┐蓮�よって、
回目の操作後に�△�回目の操作で�△北瓩覲領┐蓮� (和事象・積事象・余事象を参照)・
回目の操作後に�△世辰燭箸靴董�回目の操作で�い忙蠅襪里蓮↓□���→�い箸覆訃豺腓如△修粒領┐蓮�mを自然数として、
回目の操作で�△砲覆辰討い覲領┐蓮�回の操作で�ぁい弔泙蝓�6枚とも同じ色のカードになるのは、回目に�△両�態で、その後、2回続けて、少ない方の色を引いた場合で、回の操作では、�，���の状態にあり、6枚とも同じ色になることはありません。よって、n回の操作で、6枚とも同じ色になる確率は、
......[答]TOPに戻る CFV21 メイン・ページ 考察のぺージ
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2008年02月25日
東大理系数学'08年前期[1]
東大理系数学'08年前期[1]
座標平面の点
を
へ移す移動fを考え、点Pの移る行き先を
と表す。fを用いて直線
，
，
，･･･ を以下のように定める。
を1次式用いて
と表す。
解答 (2)は、もしかして無限角形？と思いきや、やや拍子抜けでした。
：
上の点が移動fによって、どういう点に移動するのかを考え、移動先の点が乗っている直線
を求めてみます。
とか
とおくことになりますが、
か
が0の場合には困ることが起きるので、別扱いにして考えることにします。
まず、
では、
が直線になりません。
か
のどちらか一方は0になりません。そこで、
：
：
，つまり、
，
：
，つまり、
直線
の傾きは、
は単調増加な数列で、
また、
のとき、
，
，
で、
は直線：
に近づきます。近づきますが、
が
に一致するわけではないので、
であっても、
かつ
の部分は、
という領域に含まれます。
より、
，
，
，･･･ すべてに含まれるような点の範囲は、右図で黄緑色に着色した部分(直線
上(点線、及び、白マル)を含まず、直線
上の
の部分(太線)を含む)。
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座標平面の点
をへ移す移動fを考え、点Pの移る行き先をと表す。fを用いて直線，，，･･･ を以下のように定める。・
は直線
である。
は直線である。・点Pが
上を動くとき、
が描く直線を
とする(
)。
以下上を動くとき、が描く直線をとする()。を1次式用いてと表す。(1) 
，
を
，
で表せ。
，を，で表せ。(2) 不等式
が定める領域を
とする。
，
，
，･･･ すべてに含まれるような点の範囲を図示せよ。
が定める領域をとする。，，，･･･ すべてに含まれるような点の範囲を図示せよ。解答 (2)は、もしかして無限角形？と思いきや、やや拍子抜けでした。
(1) 
：
より、
，
です。
：より、，です。： 上の点が移動fによって、どういう点に移動するのかを考え、移動先の点が乗っている直線を求めてみます。とかとおくことになりますが、かが0の場合には困ることが起きるので、別扱いにして考えることにします。まず、
では、が直線になりません。かのどちらか一方は0になりません。そこで、(i) 
のとき、
，
，
とおき、P
として、実数tがいろいろな値をとるとき、
は、直線
を描きます。
のとき、，，とおき、Pとして、実数tがいろいろな値をとるとき、は、直線を描きます。：より、
，
･･･��
， ･･･��(ii) 
のとき、
で
とすると、
，
，
として、
のとき、でとすると、，，として、あらためて
として、
，
として、，
：
，
(ここで、
とすると、�，醗戝廚垢襪里如�(i)，(ii)合わせて、
，
......[答]
とすると、�，醗戝廚垢襪里如�(i)，(ii)合わせて、， ......[答](2) (1)より、
，
，：，つまり、，：，つまり、こうして、たくさんの直線ができるわけですが、無限に存在する直線で囲む図形だとすると、
が無限角形になりかねません。
そこで、これらの直線がどのように交点を作るかを調べます。
：
と、
：
を連立すると、
，
となります。
がfによって、どこに移るかを調べます。
が無限角形になりかねません。そこで、これらの直線がどのように交点を作るかを調べます。
：と、：を連立すると、，となります。がfによって、どこに移るかを調べます。となって、自分自身に移ります。
ということは、
は
と
の交点であるとともに、
上の点でもあり、繰り返しfによって移動させると、全てのnについて、
上の点だということです。
言い換えると、
は全て
を通る、ということです。
であれば、領域を求めるためには、
，
，
，･･･ の中で、傾きが最大の直線と最小の直線を求めればよいことになります(不等式と領域を参照)。
(1)の結果より、
ということは、
はとの交点であるとともに、上の点でもあり、繰り返しfによって移動させると、全てのnについて、上の点だということです。言い換えると、
は全てを通る、ということです。であれば、領域を求めるためには、
，，，･･･ の中で、傾きが最大の直線と最小の直線を求めればよいことになります(不等式と領域を参照)。(1)の結果より、
∴ 
･･･�◆�(3項間漸化式を参照)
･･･�◆�(3項間漸化式を参照)特性方程式は、
∴ 
�� ⇔
･･･��
�� ⇔
�� ⇔
･･･���� ⇔
は、初項：
，公比：
の∴ 
･･･��
･･･����−�い茲蝓�
∴ 
より、
(
のときもこれでよい)
より、 (のときもこれでよい)直線の傾きは、は単調増加な数列で、また、
のとき、，，で、は直線：に近づきます。近づきますが、がに一致するわけではないので、であっても、かつの部分は、という領域に含まれます。より、，，，･･･ すべてに含まれるような点の範囲は、右図で黄緑色に着色した部分(直線上(点線、及び、白マル)を含まず、直線上のの部分(太線)を含む)。TOPに戻る CFV21 メイン・ページ 考察のぺージ
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慶大理工数学'08年[A4](その2)
として、
，
とすると、
，または、
とおくと、
より、
は単調増加な関数(3次関数の増減を参照)で、
，
より、方程式
は
の範囲に解をもっています。これをaとします。
増減表より(関数の増減を参照)、tを
から次第に大きくしてくると、それに伴ってxは、
までは増大し、曲線は左から右に進みますが、
においてはxは減少し、曲線は、右から左に引き返す感じになります。
においてはxは増大し、再び、左から右に進みます。
は単調増加な関数(3次関数の増減を参照)で、，より、方程式はの範囲に解をもっています。これをaとします。| t | a | 1 | |||
 | ＋ | 0 | − | 0 | ＋ |
| x | | | 1 | |
増減表より(関数の増減を参照)、tを
から次第に大きくしてくると、それに伴ってxは、までは増大し、曲線は左から右に進みますが、においてはxは減少し、曲線は、右から左に引き返す感じになります。においてはxは増大し、再び、左から右に進みます。
| t |  | 1 | |||
 | − | 0 | ＋ | 0 | − |
| y | |  | | 1 | |
2つの増減表からグラフの概形は右上図のようになります。
において、
のとき、
より、(ハ)は
グラフの概形より、
は曲線Cと(微分法の方程式への応用(2)を参照)、
のとき、第4象限でのみ1交点をもち、
のとき、1交点
をもち、
のとき、第3象限で1交点、第1象限で、曲線の
の部分、また、曲線の
の部分で、計3交点をもち、
のとき、第3象限で1交点、第1象限で1交点
，合わせて、2交点をもち、
のとき、第3象限で1交点をもつ、従って、曲線Cと直線
が異なる3点で交わるための必要十分条件は、
これで、(ヒ)が0，(フ)が1，ということになります。
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慶大理工数学'08年[A4](その1)
慶大理工数学'08年[A4]
解答 「必要十分条件」と書かれているから、きちんと証明しておかなければ(ヒ)(フ)の解答を書いてはならないと思い込んでしまうと、「合格」が遠くなってしまいます。
くらいを調べれば、曲線Cの大体の姿はわかるので、試験場では、一々微分せずに(ハ)(ヒ)(フ)を埋めてしまうのが利口だと思います。
(ナ) 
のとき、
：
となるので、
は、
になります(右図水色)。
のとき、
：
は、
......[答] (右図黄緑色)
は、
......[答] (右図橙色)
(1) tを実数とする。座標平面内の2点
，
を結ぶ線分の垂直2等分線
の傾きは テ で、方程式はy＝ テ x＋ ト である。
，を結ぶ線分の垂直2等分線の傾きは テ で、方程式はy＝ テ x＋ ト である。直線
に関して点
と対称な位置にある点を
とする。座標であらわすと、
は
，
は ナ ，
は ニ である。また
の座標をtを用いてあらわすと
である。
のとき
は直線y＝ ノ に限りなく近づく。
に関して点と対称な位置にある点をとする。座標であらわすと、は，は ナ ，は ニ である。またの座標をtを用いてあらわすとである。のときは直線y＝ ノ に限りなく近づく。(2) tがすべての実数をとるときに
が描く曲線をCとする。点
(
)におけるCの接線の傾きは、
のとき ハ に近づく。曲線Cと直線
が異なる3点で交わるための必要十分条件は ヒ ＜ a ＜ フ である。
が描く曲線をCとする。点 ()におけるCの接線の傾きは、のとき ハ に近づく。曲線Cと直線が異なる3点で交わるための必要十分条件は ヒ ＜ a ＜ フ である。解答 「必要十分条件」と書かれているから、きちんと証明しておかなければ(ヒ)(フ)の解答を書いてはならないと思い込んでしまうと、「合格」が遠くなってしまいます。
くらいを調べれば、曲線Cの大体の姿はわかるので、試験場では、一々微分せずに(ハ)(ヒ)(フ)を埋めてしまうのが利口だと思います。(1)(テ) 2点
，
を結ぶ線分の傾きは、
のとき、
，
の傾きはt ......[答] (
のときもこれでよい)
，を結ぶ線分の傾きは、のとき、，の傾きはt ......[答] (のときもこれでよい)(ト) 2点
，
の中点は、
，この点を通って、傾きtの直線
は、
，の中点は、，この点を通って、傾きtの直線は、
(
(
のときもこれでよい)
......[答](ナ) のとき、： となるので、は、になります(右図水色)。のとき、：は、 ......[答] (右図黄緑色)(ニ) 
のとき、
：
のとき、：は、 ......[答] (右図橙色)
を
とすると、
とQ
が直線
に関して対称、ということは(直線
と
が垂直：
･･･��
線分
の中点は
上：
･･･��
�，茲蝓�
･･･��
�△紡綟�して、
とが垂直： ･･･��線分
の中点は上： ･･･���，茲蝓�
･･･���△紡綟�して、
∴ 
��に代入して、
��に代入して、
よって、(ヌ)は、2，(ネ)は、
......[答]
試験場では、
が
，
が
，
が
となることを確認してください。それと、
と
のx座標はともに1です。
のとき
がどこに行ってしまうのか、ということが気になります。
も確認しましょう。
のとき、
，
は、
です。
なので、
の軌跡は、
のときに
を通過した後、一旦、
の部分に出っ張ってから、
のときに
まで引き返してくるらしい、ということがつかめます。･･･(＊)
......[答]試験場では、
が，が，がとなることを確認してください。それと、とのx座標はともに1です。のときがどこに行ってしまうのか、ということが気になります。も確認しましょう。のとき、，は、です。なので、の軌跡は、のときにを通過した後、一旦、の部分に出っ張ってから、のときにまで引き返してくるらしい、ということがつかめます。･･･(＊)
のとき
が近づく直線、というのは、
のとき、
というだけで、(ノ)を0としてしまっても良いと思います。きちんと確認するのなら、
のとき、
のとき、より、漸近線の傾きは0 (実は、空所の形からわかってしまう)で、
より、漸近線のy切片も0
よって、漸近線は
......[答]
漸近線がx軸であることと、(＊)から、(2)の(ハ)(ヒ)(フ)は微分計算しなくても、答がわかってしまいます。微分計算をやってしまうと時間的ロスが大きくなるので、試験場では充分に注意してください。
よって、漸近線は
......[答]漸近線がx軸であることと、(＊)から、(2)の(ハ)(ヒ)(フ)は微分計算しなくても、答がわかってしまいます。微分計算をやってしまうと時間的ロスが大きくなるので、試験場では充分に注意してください。
(2)(ハ)
試験場では以下のようにするのが実用的です。
試験場では以下のようにするのが実用的です。
でとがっていて(尖点と言います)、
のときの接線は、
のときの
(傾き：1)に垂直になりそうです。従って、
のとき、
......[答] に近づくことがわかります。
が異なる3点で交わるための
慶大理工数学'08年[A3]
慶大理工数学'08年[A3]
このように、aを固定したとき、直線
と曲線
が共有点を持つようなbの最小値が存在することがある。この最小値の符号を換えたものを
と書くことにする。たとえば
ならば
＝−( ス )である。
解答 記号の定義を与えて、その記号を使って考えさせるタイプの問題ですが、手の付けやすい題材で、決して無理でなく、柔軟な思考力を見る良い問題だと思います。
･･･��
のとき、
のとき、��
なので、(ス)と同じ条件で良いのは、��が
の範囲に解をもつ場合です。これは、��の左辺をxの2次関数と見るとき、そのグラフの軸の位置
が
という範囲に入るということです(2次方程式の解の配置を参照)。つまり、
......[答]
∴
･･･��
∴
･･･��
......[答]
･･･��
TOPに戻る CFV21 メイン・ページ 考察のぺージ
(1) 実数aを固定したとき、直線
と曲線
が共有点を持つための切片bの条件をaを用いてあらわすと
ス である。
と曲線が共有点を持つための切片bの条件をaを用いてあらわすと ス である。(2) 実数aを固定したとき、直線
と曲線
が共有点を持つための切片bの条件は、
セ のとき
ス であり、
セ のとき
ソ となる。
と曲線が共有点を持つための切片bの条件は、 セ のとき ス であり、 セ のとき ソ となる。このように、aを固定したとき、直線
と曲線が共有点を持つようなbの最小値が存在することがある。この最小値の符号を換えたものをと書くことにする。たとえばならば＝−( ス )である。(3) 
とする。
と定めて、aを変数xで書き換えた関数
に対して
を考える。
タ のとき
＝ チ であり、
タ のとき
＝ ツ である。
とする。と定めて、aを変数xで書き換えた関数に対してを考える。 タ のとき＝ チ であり、 タ のとき＝ ツ である。解答 記号の定義を与えて、その記号を使って考えさせるタイプの問題ですが、手の付けやすい題材で、決して無理でなく、柔軟な思考力を見る良い問題だと思います。
(1)(ス) 直線
･･･� ，函�曲線
･･･�◆，�共有点をもつとき、� き△鯱⇔�して、
･･･� ，函�曲線 ･･･�◆，�共有点をもつとき、� き△鯱⇔�して、 ･･･��の判別式
について(2次方程式の一般論を参照)、
について(2次方程式の一般論を参照)、∴ 
......[答] ･･･��
......[答] ･･･��(2)(セ) 直線�，閥弊�
･･･�ァ，龍ν�点を考えますが、�イ蓮�
･･･�ァ，龍ν�点を考えますが、�イ蓮�のとき、のとき、��なので、(ス)と同じ条件で良いのは、��が
の範囲に解をもつ場合です。これは、��の左辺をxの2次関数と見るとき、そのグラフの軸の位置がという範囲に入るということです(2次方程式の解の配置を参照)。つまり、 ......[答]これは、直線�，侶垢�の絶対値が大きい場合には、直線のy切片bが�い�(ス)の条件を満たせば、�，鉢イ鯱⇔�するときに、
の範囲に解をもつことを意味します。
の範囲に解をもつことを意味します。(ソ) 
のときには、直線�，侶垢�が緩やかで、曲線�△�
の部分と共有点をもたないことがあり得ます。
のときには、直線�，侶垢�が緩やかで、曲線�△�の部分と共有点をもたないことがあり得ます。・
のときは、右図(橙色の線)より、直線�，�点
から上を通過すれば、直線�，閥弊��イ�共有点をもちます。よって、
のときは、右図(橙色の線)より、直線�，�点から上を通過すれば、直線�，閥弊��イ�共有点をもちます。よって、∴
･･･��・
のときは、右図(水色の線)より、直線�，�点
から上を通過すれば、直線�，閥弊��イ�共有点をもちます。よって、
のときは、右図(水色の線)より、直線�，�点から上を通過すれば、直線�，閥弊��イ�共有点をもちます。よって、∴
･･･���ΑきГ鮃腓錣擦董�aの正負に限らず、
......[答](3)(タチ) 
のときに、
ということは、
のときには、問題文より、
のときに、ということは、のときには、問題文より、即ち、
�，�
を連立すると、
を連立すると、 ･･･���┐蓮�判別式
，つまり、
であれば実数解をもちます。
�┐虜己佞�xの2次関数と見るとき、その軸の位置
が
の範囲にある、つまり、
であれば、直線�，�
は、
の範囲に共有点をもちます。このとき、bの最小値は
であり、
，つまり、であれば実数解をもちます。�┐虜己佞�xの2次関数と見るとき、その軸の位置
がの範囲にある、つまり、であれば、直線�，�は、の範囲に共有点をもちます。このとき、bの最小値はであり、よって、(タ)が
，(チ)が
......[答]
，(チ)が ......[答](ツ) 
のときは、右図より、直線�，�原点
から上を通過すれば、直線�，�
が共有点をもちます。よって、
のときは、右図より、直線�，�原点から上を通過すれば、直線�，�が共有点をもちます。よって、∴ 
このとき、
......[答]
このとき、
......[答]TOPに戻る CFV21 メイン・ページ 考察のぺージ
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2008年02月24日
慶大理工数学'08年[A2]
慶大理工数学'08年[A2]
解答 この問題も[A1]と同様、平凡な頻出パターンの問題です。(コ)はk回出る確率と
回出る確率の比を考えます。
......[答]
......[答] ･･･� �(2項間漸化式を参照)
･･･��
･･･��
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(1) さいころを続けてn回投げるとき、6の約数の目が奇数回出る確率を
とする。たとえば、
＝
，
＝ カ である。
のとき
と
の間には
＝ キ という関係式が成り立つ。これよりnを用いて
をあらわすと
＝
である。
とする。たとえば、＝，＝ カ である。のときとの間には＝ キ という関係式が成り立つ。これよりnを用いてをあらわすと＝である。(2) さいころを続けて100回投げるとき、1の目がちょうどk回 (
)出る確率は
であり、この確率が最大になるのはk＝ コ のときである。
)出る確率はであり、この確率が最大になるのはk＝ コ のときである。次に、さいころを続けてn回投げるとき、1の目がちょうどk回 (
)出る確率を考える。nを固定したとき、この確率を最大にするようなkの値が2個存在するための必要十分条件は、nを サ で割ったときの余りが シ となることである。
)出る確率を考える。nを固定したとき、この確率を最大にするようなkの値が2個存在するための必要十分条件は、nを サ で割ったときの余りが シ となることである。解答 この問題も[A1]と同様、平凡な頻出パターンの問題です。(コ)はk回出る確率と
回出る確率の比を考えます。(1)(カ) さいころを2回投げて、6の約数の目が奇数回出るのは、1回目に1，2，3，6が出て、2回目に4，5が出るか、1回目に4，5が出て、2回目に1，2，3，6が出る場合で、その確率は、
......[答](キ) n回目までで、6の約数の目が奇数回出るのは、
(i) 
回目までで、6の約数の目が奇数回出て、n回目に4，5が出る、か、
回目までで、6の約数の目が奇数回出て、n回目に4，5が出る、か、(ii) 
回目までで、6の約数の目が偶数回出て、n回目に1，2，3，6が出る、
回目までで、6の約数の目が偶数回出て、n回目に1，2，3，6が出る、場合です。
(i)の確率は、
(独立事象の確率を参照)
(独立事象の確率を参照)(ii)の確率は、
(i)と(ii)は排反なので、
∴、
......[答] ･･･� �(2項間漸化式を参照)(ク) �，�
と
をaと置き換えると、
とをaと置き換えると、 ･･･��∴ 
� 櫚△茲蝓�
� 櫚△茲蝓�
は、初項：
，公比：
の
......[答](2)(ケ) さいころを100回投げて、1の目がちょうどk回(
)出る確率
は、
)出る確率は、
(
......[答](コ) 
･･･��とすると、
∴
��において等号成立は
のとき(kは自然数なので、こういうことは起こらない)だけで、
だから、
∴
��において等号成立は
のとき(kは自然数なので、こういうことは起こらない)だけで、だから、これより、
が最大になるのは、
......[答] のとき。
が最大になるのは、 ......[答] のとき。(サシ) さいころをn回投げて、1の目がちょうどk回(
)出る確率
は、
)出る確率は、とすると、
∴
･･･��
�い療�号が成り立つkの値が存在しない場合、
として、
∴
･･･���い療�号が成り立つkの値が存在しない場合、
として、このときは、
を最大にするkの値は1個しかありません。
�い療�号が成り立つkの値が存在する場合、
として、
を最大にするkの値は1個しかありません。�い療�号が成り立つkの値が存在する場合、
として、このときは、
を最大にするkの値は、
の2個あります。
従って、
を最大にするkの値が2個存在するための必要十分条件は、
，つまり、nを6で割ったときの余りが5となることです。
よって、(サ)は6，(シ)は5 ......[答]
を最大にするkの値は、の2個あります。従って、
を最大にするkの値が2個存在するための必要十分条件は、，つまり、nを6で割ったときの余りが5となることです。よって、(サ)は6，(シ)は5 ......[答]
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2008年02月23日
慶大理工数学'08年[A1]
慶大理工数学'08年[A1]
，
，
により定められる部分Aの面積は ア である。また空間内でx軸のまわりにAを1回転させてできる回転体の体積は イ である。この体積はa＝ ウ のときに最大となる。
解答 素直な微積の計算問題です。(1)も(2)も曲線はx軸と交差しないので、積分区間を分けるというような心配もありません。
(x軸のまわりの回転体を参照)
......[答]
(3次関数の最大最小を参照)
増減表より、Vは、
......[答] のときに最大です。
とすると、
(
)
......[答]
のとき、
です。
求める面積Sは、
......[答]
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(1) 
とする。xy平面上で
とする。xy平面上で，，により定められる部分Aの面積は ア である。また空間内でx軸のまわりにAを1回転させてできる回転体の体積は イ である。この体積はa＝ ウ のときに最大となる。
(2) t を実数とする。空間内の2点P
，Q
を通る直線とxy平面との交点はR (t， エ ，0)である。t が
の範囲を動くときに点Rが描く曲線をCとする。xy平面上で、x軸，y軸とCとにより囲まれた部分の面積は オ である。
，Qを通る直線とxy平面との交点はR (t， エ ，0)である。t がの範囲を動くときに点Rが描く曲線をCとする。xy平面上で、x軸，y軸とCとにより囲まれた部分の面積は オ である。解答 素直な微積の計算問題です。(1)も(2)も曲線はx軸と交差しないので、積分区間を分けるというような心配もありません。
(1)(ア) 部分Aの境界線：
は、
は、と書き直せます。
なので、Aの面積は(定積分と面積を参照)、
なので、Aの面積は(定積分と面積を参照)、
(
......[答](イ) 回転体の体積Vは、
(x軸のまわりの回転体を参照)
とおく(
，
より、
のとき、u：
......[答](ウ) 
とおくと、
とおくと、 (3次関数の最大最小を参照)| a | 0 |  | 1 | ||
 | ＋ | 0 | − | 0 | |
 | | |
増減表より、Vは、
......[答] のときに最大です。(2)(エ) 
とすると、 () ......[答](オ) 
より、
より、のとき、です。求める面積Sは、
とおきます(
，x：
のとき、u：
∴ 
......[答]TOPに戻る CFV21 メイン・ページ 考察のぺージ
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2008年02月22日
早大理工数学'08年[5]
早大理工数学'08年[5]
xyz-座標空間において、原点を中心とする半径1の球面S上に点N
をとる。また
をみたすq に対し、次の2つの条件
解答 「hのとりうる値の範囲に注意して」という注意がないと、
としてしまいそうです。出題者は親切な人らしい。
･･･� �(
の場合もこれで良い)
(
の場合もこれで良い)
......[答] (
の場合もこれで良い)
･･･��
これと�，茲蝓�不等式�△虜己佞髪κ佞�MH，PHは、P，Qの位置に依存しません。
これより、Tの断面の概形は、半径
の円と半径
の円にはさまれた部分(右図で、黄緑色に着色した部分、境界線を含む)になります。
断面の面積
は、�い�(2)のPMを利用して、
......[答] (
の場合もこれで良い)
......[答]
とおくと(
)、
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xyz-座標空間において、原点を中心とする半径1の球面S上に点N
をとる。またをみたすq に対し、次の2つの条件(a) 
(b)
をみたすS上の動点P，Qについて、線分PQが通過してできる立体図形Tを考える。以下の問に答えよ。(b)
(1) 点Pと点Qのz座標は等しいことを示せ。
(2) 点Pが平面
上にあるとき、線分PQの長さをq とhで表せ。
上にあるとき、線分PQの長さをq とhで表せ。(3) Tを平面
で切ったときの断面の概形を描き、その面積をq とhで表せ。
で切ったときの断面の概形を描き、その面積をq とhで表せ。(4) hのとりうる値の範囲に注意して、Tの体積Vをq で表し、q を動かしたときのVの最大値を求めよ。
解答 「hのとりうる値の範囲に注意して」という注意がないと、
としてしまいそうです。出題者は親切な人らしい。(1)
原点をOとします。
原点をOとします。△NPOと△NQOにおいて、
，
，ON共通、より、△NPO≡△NQO
よって、P，QからON (z軸)に下ろした垂線の足は一致します。この点をH，Hのz座標をhとすると、P，Qのz座標はともにhで等しくなります。
注．
という場合もあるので注意してください。
，，ON共通、より、△NPO≡△NQOよって、P，QからON (z軸)に下ろした垂線の足は一致します。この点をH，Hのz座標をhとすると、P，Qのz座標はともにhで等しくなります。
注．
という場合もあるので注意してください。(2)
三平方の定理より、
三平方の定理より、 ･･･� �(の場合もこれで良い) (の場合もこれで良い)PQの中点、即ち、HからPQに下ろした垂線の足をMとします。
......[答] (の場合もこれで良い)(3) P，Qが、球面Sと平面
の交わりとしてできる円周上を動くとき、線分PQ上の点RとHとの距離HRは、
･･･�◆，鯔�たします。
の交わりとしてできる円周上を動くとき、線分PQ上の点RとHとの距離HRは、 ･･･�◆，鯔�たします。 ･･･��
(
･･･��これと�，茲蝓�不等式�△虜己佞髪κ佞�MH，PHは、P，Qの位置に依存しません。これより、Tの断面の概形は、半径
の円と半径の円にはさまれた部分(右図で、黄緑色に着色した部分、境界線を含む)になります。断面の面積
は、�い�(2)のPMを利用して、 ......[答] (の場合もこれで良い)(4) �い砲�いて、
より、
です。
より、です。∴ 
(定積分と体積を参照)
(定積分と体積を参照) ......[答]とおくと()、
(
のとき、
のとき、最大値：
......[答]TOPに戻る CFV21 メイン・ページ 考察のぺージ
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早大理工数学'08年[4]
早大理工数学'08年[4]
n個の球とn個の箱がある。各球を無作為にどれかの箱に入れる。すなわち各球を独立に確率
でどれか1つの箱に入れるものとする。
のとき2箱のみが空となる確率を
とする。以下の問に答えよ。
解答 2箱のみ空と言っても、3球入る箱が1箱できる場合と、2球入る箱が2箱できる場合とがあります。いきなり
を求めろと言うのではなく、2つの場合に分けて考えることを促しているのが(2)なのですが、それを意識しないと、(3)は難しいかも知れません。なお、確率、独立試行の確率を参照してください。
通り
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n個の球とn個の箱がある。各球を無作為にどれかの箱に入れる。すなわち各球を独立に確率
でどれか1つの箱に入れるものとする。のとき2箱のみが空となる確率をとする。以下の問に答えよ。(1) 
，
を求めよ。
，を求めよ。(2) 
とする。2箱のみが空で、1箱に3個の球が入り、その他の
箱のそれぞれに1個の球が入る確率
を求めよ。
とする。2箱のみが空で、1箱に3個の球が入り、その他の箱のそれぞれに1個の球が入る確率を求めよ。(3) 
に対し
を求めよ。
に対しを求めよ。(4) (2)で求めた
について、
を求めよ。
について、を求めよ。解答 2箱のみ空と言っても、3球入る箱が1箱できる場合と、2球入る箱が2箱できる場合とがあります。いきなり
を求めろと言うのではなく、2つの場合に分けて考えることを促しているのが(2)なのですが、それを意識しないと、(3)は難しいかも知れません。なお、確率、独立試行の確率を参照してください。(1) 
のとき、3球を、3個の箱の中のある1箱に入れることになります。
のとき、3球を、3個の箱の中のある1箱に入れることになります。3球を入れるのが3箱のどの箱かが3通り、全事象は、
通り。
∴
......[答]
のとき、4球を、4個の箱のうちの2箱に入れることになります。(i) 2箱に2球ずつ入れる場合と、(ii) 1箱に3球、もう1箱に１球入れる場合、の、2通りあります。
通り。∴
......[答]のとき、4球を、4個の箱のうちの2箱に入れることになります。(i) 2箱に2球ずつ入れる場合と、(ii) 1箱に3球、もう1箱に１球入れる場合、の、2通りあります。
通り、4球から2球を選ぶのが、
通りで、
通りあります((ii)の場合、3球入る箱を4箱から1箱選ぶのが4通り、1球入る箱を残る3箱から1箱を選ぶのが3通り、4球から3球選ぶのが、
通りで、
通りあります。
通りで、通りあります。全事象は、
通り。
∴
......[答]
通り。∴
......[答]注．上記では、2箱をA，B，4球に1，2，3，4の番号を付けるとして、
(i)では、箱を組合せで考えていて、
1，2を選んで、Aに1，2を入れてBに3，4を入れる場合と、
3，4を選んで、Bに3，4を入れてAに1，2を入れる場合を、
区別せずに1通りと考え、
(ii)では、3球入る箱と、1球入る箱を区別して考え、箱の選び方を順列として、
通りと考えている点に注意してください。
通りと考えている点に注意してください。(2) 
のときの(1)(ii)の場合から考えます。
のときの(1)(ii)の場合から考えます。n箱から
箱を選んで並べる順列は、
通り、n球から3球を選ぶのが、
通り、全事象は、
通り。
∴
......[答]
箱を選んで並べる順列は、通り、n球から3球を選ぶのが、通り、全事象は、通り。∴
......[答]注．3球を1箱に入れてしまった後、1箱に1球ずつ入れていくところを、上記では、3箱がA，B，C，3球が1，2，3だとして、Aに1，Bに2，Cに3が入る場合と、Aに2，Bに3，Cに1が入る場合(全部で6通りある)を区別するのに、箱を、ABC，CAB，･･･と並べておいて、1箱に入れる3球選んだ残りの求を、自動的に123と一通りに並べ、場合の数を数えています。
(3) n個の箱とn個の球があるときに、
のときの(1)(i)に相当する場合を考えます。
のときの(1)(i)に相当する場合を考えます。n箱から
箱を選んで並べる順列は、
通り、n球から2個の球を2組選ぶのが、
箱を選んで並べる順列は、通り、n球から2個の球を2組選ぶのが、通り2重にカウントしている場合を考慮(下記の注．参照)して場合の数を2で割ります。
全事象は
通り。
よって、2球入る箱が2箱で、残りの
箱に1球ずつ入る確率は、
全事象は
通り。よって、2球入る箱が2箱で、残りの
箱に1球ずつ入る確率は、これと(2)の
と合わせたものが
となります。
∴
......[答]
と合わせたものがとなります。∴
......[答]注．箱の選び方を順列で考えてしまうと、2球入っている2箱で同一の場合ができます。つまり、箱をABと並べ、選んだ2球が1，2でAに1，2を入れてBに3，4を入れる場合と、箱をBAと並べ、選んだ2球が3，4でBに3，4を入れてAに1，2を入れる場合を二重に数える場合が出てくるので注意してください。上記では2で割っています。
のとき、
(∴ 
......[答]
......[答]TOPに戻る CFV21 メイン・ページ 考察のぺージ
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2008年02月21日
早大理工数学'08年[3]
早大理工数学'08年[3]
はすべての実数xにおいて微分可能な関数で、関係式
解答 関数方程式の問題かと思うとそうでもなく、(4)では、(2)をどう料理するか、ということを考えましょう。
･･･��
の代わりにxを代入すると、
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はすべての実数xにおいて微分可能な関数で、関係式をみたしているとする。以下の問に答えよ。
(1) 
を示せ。
を示せ。(2) 
に対して
に対してが成り立つことを示せ。
(3) 微分の定義を用いて
を示せ。
を示せ。(4) 
が成り立つことを示せ。
が成り立つことを示せ。解答 関数方程式の問題かと思うとそうでもなく、(4)では、(2)をどう料理するか、ということを考えましょう。
･･･��(1) �，砲�いて、
とすると、
とすると、∴ 
(2) 
として、�，領省佞髻�
(
)で割ります。
として、�，領省佞髻� ()で割ります。の代わりにxを代入すると、
が存在して、(1)より
なので、また、
より、
より、∴ 
(4) 要は、
が定数になることが言えれば良いのですが、�，犯�分の定義を使って微分方程式を引っ張り出そうとしてもうまく行きません。そこで、(2)の形をにらんで、数列の極限から言えないか、と、考えることにします。
が定数になることが言えれば良いのですが、�，犯�分の定義を使って微分方程式を引っ張り出そうとしてもうまく行きません。そこで、(2)の形をにらんで、数列の極限から言えないか、と、考えることにします。任意の実数xに対して、数列
の各項(
)を、
の各項()を、
(
)を代入すると、
，つまり、ここで、
とすると、
(3)より、
∴
とすると、(3)より、
∴
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早大理工数学'08年[2]
早大理工数学'08年[2]
解答 私は意地の悪い人間なので、私なら、(1)は、
にしますが、難問というわけでもなく、それでいて、実験をさせながらメカニズムを発見させ、論理的構想力も見ようという問題で、私は、良問だと思います。なお、整数を参照してください。
，
，
･･･��
･･･��
は整数なので、
�，茲蝓�
，
，
，
は連続2整数の積なので偶数であって、
，
は整数です。従って、m，nは整数です。ここで、
，
であるためには、
，
･･･��
･･･��
･･･��
，
，
∴
全く同様にして、
∴
，
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自然数m，nに対して
を
をで定める。以下の問に答えよ。
(1) 
をみたすm，nを1組求めよ。
をみたすm，nを1組求めよ。(2) a，b，c，dは整数で、等式
をみたすとする。不等式
，
が成り立つならば、
，
となることを示せ。
をみたすとする。不等式，が成り立つならば、，となることを示せ。(3) 任意の自然数kに対し、
をみたすm，nがただ1組だけ存在することを示せ。
をみたすm，nがただ1組だけ存在することを示せ。解答 私は意地の悪い人間なので、私なら、(1)は、
にしますが、難問というわけでもなく、それでいて、実験をさせながらメカニズムを発見させ、論理的構想力も見ようという問題で、私は、良問だと思います。なお、整数を参照してください。(1) 
ここで、平方数：
が200から大きく異なると、
が大きく、つまり、m，nの差が大きくなり、m，nのどちらかが大きな自然数になってしまい、平方数：
がさらに大きな値になってしまって、等式を満たしにくくなる、ということに、まず、気づかないといけません。
このことに気づけず、機械的に小さい方、m＝n＝1から代入していくのであれば、時間的に大きくロスをすることになります。
従って、
が200に近いものから、候補を順次代入していくべきです。m＝n＝1からではない、というところがこの問題のよく工夫されている点です。200に一番近い平方数は、
です。そこで、
が200から大きく異なると、が大きく、つまり、m，nの差が大きくなり、m，nのどちらかが大きな自然数になってしまい、平方数：がさらに大きな値になってしまって、等式を満たしにくくなる、ということに、まず、気づかないといけません。このことに気づけず、機械的に小さい方、m＝n＝1から代入していくのであれば、時間的に大きくロスをすることになります。
従って、
が200に近いものから、候補を順次代入していくべきです。m＝n＝1からではない、というところがこの問題のよく工夫されている点です。200に一番近い平方数は、です。そこで、，つまり、
，とすると、
となり、条件を満たすので、
，
......[答]
， ......[答](2) 
･･･��
･･･��より、
問題文に与えられている条件：
･･･�� ･･･��
(
，つまり、
です。また、��より、
です。従って、
(
)で各辺を割ると、は整数なので、�，茲蝓�
(3) まず、任意の自然数kに対し、
，つまり、
，つまり、として、
，となる整数
が見つかったとします。
この2式を連立してm，nについて解くと、
が見つかったとします。この2式を連立してm，nについて解くと、
，，は連続2整数の積なので偶数であって、，は整数です。従って、m，nは整数です。ここで、，であるためには、，でなければなりません。2番目の方の不等式は、k，
が整数であることから、
が整数であることから、と同値で、結局、
･･･��が満たされればよいことになります。従って、m，nが少なくとも1組存在することを言うためには、�い鯔�たす
が存在することを言えばよいことになります。
�い虜犬良堙�号から、
が存在することを言えばよいことになります。�い虜犬良堙�号から、
∴ 
･･･��
�い留Δ良堙�号から、
･･･���い留Δ良堙�号から、
∴ 
，
･･･��
�� かつ �Δ茲蝓�
を自然数とすれば、
， ･･･���� かつ �Δ茲蝓�
を自然数とすれば、 ･･･��この区間の幅は1なので�Г鬚澆燭梗�然数は必ず存在します。
結局、証明のストーリーは以下のようになります。
任意の自然数kに対して、
より、
結局、証明のストーリーは以下のようになります。
任意の自然数kに対して、
より、 ･･･��を満たす自然数
が必ず存在します。
�Г虜犬良堙�号より、
が必ず存在します。�Г虜犬良堙�号より、
両辺を2乗して、
∴ 
�Г留Δ良堙�号より、
�Г留Δ良堙�号より、
2乗して整理すると、
従って、任意の自然数kに対して、
を満たす自然数
が必ず存在します。このとき、
が必ず存在します。このとき、，とおけば、
，を満たします。
次に、任意の自然数kに対し、2組の自然数m，nと
，
を持ってきたときに、
次に、任意の自然数kに対し、2組の自然数m，nと
，を持ってきたときに、つまり、
とします。
，
，
，
とおくと、�，鯔�たします。
m，nは自然数なので、
，，，とおくと、�，鯔�たします。m，nは自然数なので、
∴
全く同様にして、
よって、�◆き�も満たされるので、(2)より、
，
つまり、
，つまり、
∴
，よって、任意の自然数kに対し、
をみたすm，nがただ1組だけ存在します。
をみたすm，nがただ1組だけ存在します。TOPに戻る CFV21 メイン・ページ 考察のぺージ
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2008年02月19日
早大理工数学'08年[1]
早大理工数学'08年[1]
aを正の定数とする。xy-座標平面において、曲線
と、直線
とで囲まれた部分をDとおく。以下の問に答えよ。
解答 気力が必要な微積分の計算問題ですが、(1)は、Dの概形を捉えるのに凹凸まで考える必要があるので、陰関数で扱うよりも陽関数にしてしまう方がやり易いと思います(陰関数の微分法を参照)。(2)は、定型問題ですが、正答するのはなかなか容易ではありません。ここでは、2通りの扱いでやってみたいと思います。但し、必ずしも、座標回転でラクになるとも言えません(極形式を参照)。
･･･��
(
)
(
)
(定積分と面積を参照)
......[答]
･･･�ぁ�(斜回転体を参照)
･･･�ァ�(点と直線の距離を参照)
･･･��
∴
はこのx座標の
倍で、
･･･��
∴
......[答]
別解 面積と回転体の体積を座標回転でやってみます(極形式を参照)。
複素数
を時計回り(負方向)に
回転して、
になるとすると、
2乗すると、
∴
従って、曲線�，鯣浸�計回り(正方向)に
回転すると、放物線：
･･･��となります。
�┐鬮△紡綟�すると、
∴
従って、直線�△鯣浸�計回りに
回転すると、直線：
となります。
��と連立すると、
∴
(1)の面積Sは、
......[答] (定積分の公式を参照)(2)の体積Vは、
......[答]注 
です。
曲線と直線の式を変換する必要がありますが、積分計算はラクになります。
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aを正の定数とする。xy-座標平面において、曲線
と、直線とで囲まれた部分をDとおく。以下の問に答えよ。(1) Dの概形を描き、その面積を求めよ。
(2) 直線
を軸として、Dを1回転してできる図形の体積を求めよ。
を軸として、Dを1回転してできる図形の体積を求めよ。解答 気力が必要な微積分の計算問題ですが、(1)は、Dの概形を捉えるのに凹凸まで考える必要があるので、陰関数で扱うよりも陽関数にしてしまう方がやり易いと思います(陰関数の微分法を参照)。(2)は、定型問題ですが、正答するのはなかなか容易ではありません。ここでは、2通りの扱いでやってみたいと思います。但し、必ずしも、座標回転でラクになるとも言えません(極形式を参照)。
(1)
曲線：
･･･��
曲線： ･･･��は、
，
より、
を定義域とします。また、�，蓮�
直線：
･･･��
とは、
，
を共有します。�，茲蝓�
，より、を定義域とします。また、�，蓮�直線：
･･･��とは、
，を共有します。�，茲蝓� ･･･�� ()よって、�，�yは単調減少です(関数の増減を参照)。
()
において、�，諒�が�△硫爾僕茲襦�
と変形できるので、Dの面積Sは、 (定積分と面積を参照) ......[答](2) 右上図において、曲線�‐紊療�Q
から直線�△鵬爾蹐靴真眄�の足をR，点P
から直線�△鳳茲けΣ爾妨�かってu軸をとり、
とします。
から直線�△鵬爾蹐靴真眄�の足をR，点Pから直線�△鳳茲けΣ爾妨�かってu軸をとり、とします。このとき、点Rの存在範囲：
を考えて、Dを直線�△鮗瓦箸靴堂鹽召気擦討任�る図形の体積Vは、
を考えて、Dを直線�△鮗瓦箸靴堂鹽召気擦討任�る図形の体積Vは、 ･･･�ぁ�(斜回転体を参照)と表されます。点Q
と直線：
との距離を考えることにより、
と直線：との距離を考えることにより、 ･･･�ァ�(点と直線の距離を参照)また、点Qを通って、直線�△某眥召閉樟�は(2直線の平行・垂直を参照)、
･･･���△鉢Δ鯱⇔�することにより、交点Rのx座標は、
∴
はこのx座標の倍で、 ･･･��∴
のとき、t：
......[答](uの積分のままでもできますが、上端が
となって
がつく分だけ若干面倒です)
となってがつく分だけ若干面倒です)別解 面積と回転体の体積を座標回転でやってみます(極形式を参照)。
複素数
を時計回り(負方向)に回転して、になるとすると、∴ 
，
･･･��
��に代入すると、， ･･･��∴
回転すると、放物線： ･･･���┐鬮△紡綟�すると、
∴
回転すると、直線：となります。��と連立すると、
∴
......[答] (定積分の公式を参照) ......[答]です。曲線と直線の式を変換する必要がありますが、積分計算はラクになります。
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2008年02月18日
波動現象
波動現象
空間内のある点で起きた変化が一瞬のうちに全宇宙に広がるとします。こういう宇宙では、ビッグ・バンが起きて宇宙が始まっても、一瞬のうちに宇宙の寿命が尽きてしまいます。
この宇宙が今なお続いている、ということは、空間内の一点Pで起きた変化が別の一点Qに伝わるのに時間がかかるということです。
空間内の一点で起きた変化が有限の時間をかけて別の点に伝わる現象を波動と言います。変化を伝える物質(もしくは、電界、または、磁界)を媒質と言います。また、変化を最初に起こした点を波源と言います。この宇宙は波動現象を基本としてできているのです。
水面に小石を投げ込むと、小石が水没した点から円形の波が周囲に広がります。この波を水面波と言います。しかし、水そのものが周囲に広がるわけではありません。波だけが広がるのです。こうした現象が波動です。水面波では、媒質は水であり、小石が水没した点が波源です。光、電磁波では、媒質は電界、磁界です。世界の中心で「愛」と叫ぶときには、波動は音波で媒質は空気、波源は世界の中心ということになります。
高校の範囲では、波源に単振動している物体があり、この波源から波動が広がる場合を想定して波動を考えます。波源の往復運動の1回分の振動に要する時間、つまり、単振動の周期が、この波動の周期になります。また、1秒間に振動する回数、つまり、単振動の振動数が、この波動の振動数になります(但し、波源と観測者の位置関係によって、変化します。ドップラー効果を参照)。
高校で取り扱う波動現象においては、媒質の各点は単振動をしています。この単振動の変位を波動としての変位と考えます。媒質中のある点において横軸に時間tを縦軸に変位yをとったときのグラフを右図に示します。yとtの関係は、
のように表せます。振動数をfとして、
は角振動数です。dは初期位相、Aは振幅です。�ー阿蓮⊆�期をTとして、
とも書けます。
縄の一端(波源)を持って単振動させると、縄を波が伝わっていきます。この状況を、横軸に波源からの距離x、縦軸に変位yをとったときのグラフを右図に示します。yとxの関係は、
･･･��のように表せます。このグラフが波動を目で見たときの状況を表します。グラフの形を波形と言います。右図のように波形が正弦のグラフになっている波動を正弦波と言います。変位が最大になる点を山、変位が最小になる点を谷と言います。隣り合う山から山までの距離を波長と言います。
を満たす位置
に山ができますが、その右隣にある山は、
を満たす位置
にできます。このとき、波長lは、
より、
と書けて、波長がlのとき、�⊆阿蓮�
と書けます。
山が1つしかないような波をパルス波と言い、山、谷が連続して続く波を連続波と言います。
波形が正弦波であるような波動では、媒質中の各点における単振動の方向と波の進む方向とは直交しています。こうした波を横波と言います。それに対して、右図のように、媒質の疎密が伝わっていくような波動があります。こうした波動では、媒質中の各点における単振動の方向と波の進む方向は同一です。こうした波を縦波、または、疎密波と言います。縦波では、波動の状況がわかりにくいので、右図のように変位を波の進行方向に対して垂直になるように横波に直して考える場合があります。つまり、縦波の正変位を横波の正変位に直し、縦波の負変位を横波の負変位に直して、縦波から横波の正弦波を書き、正弦波で考えます。
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空間内のある点で起きた変化が一瞬のうちに全宇宙に広がるとします。こういう宇宙では、ビッグ・バンが起きて宇宙が始まっても、一瞬のうちに宇宙の寿命が尽きてしまいます。
この宇宙が今なお続いている、ということは、空間内の一点Pで起きた変化が別の一点Qに伝わるのに時間がかかるということです。
空間内の一点で起きた変化が有限の時間をかけて別の点に伝わる現象を波動と言います。変化を伝える物質(もしくは、電界、または、磁界)を媒質と言います。また、変化を最初に起こした点を波源と言います。この宇宙は波動現象を基本としてできているのです。
水面に小石を投げ込むと、小石が水没した点から円形の波が周囲に広がります。この波を水面波と言います。しかし、水そのものが周囲に広がるわけではありません。波だけが広がるのです。こうした現象が波動です。水面波では、媒質は水であり、小石が水没した点が波源です。光、電磁波では、媒質は電界、磁界です。世界の中心で「愛」と叫ぶときには、波動は音波で媒質は空気、波源は世界の中心ということになります。
高校の範囲では、波源に単振動している物体があり、この波源から波動が広がる場合を想定して波動を考えます。波源の往復運動の1回分の振動に要する時間、つまり、単振動の周期が、この波動の周期になります。また、1秒間に振動する回数、つまり、単振動の振動数が、この波動の振動数になります(但し、波源と観測者の位置関係によって、変化します。ドップラー効果を参照)。
高校で取り扱う波動現象においては、媒質の各点は単振動をしています。この単振動の変位を波動としての変位と考えます。媒質中のある点において横軸に時間tを縦軸に変位yをとったときのグラフを右図に示します。yとtの関係は、は角振動数です。dは初期位相、Aは振幅です。�ー阿蓮⊆�期をTとして、縄の一端(波源)を持って単振動させると、縄を波が伝わっていきます。この状況を、横軸に波源からの距離x、縦軸に変位yをとったときのグラフを右図に示します。yとxの関係は、 ･･･��を満たす位置に山ができますが、その右隣にある山は、を満たす位置にできます。このとき、波長lは、と書けて、波長がlのとき、�⊆阿蓮�山が1つしかないような波をパルス波と言い、山、谷が連続して続く波を連続波と言います。
波形が正弦波であるような波動では、媒質中の各点における単振動の方向と波の進む方向とは直交しています。こうした波を横波と言います。それに対して、右図のように、媒質の疎密が伝わっていくような波動があります。こうした波動では、媒質中の各点における単振動の方向と波の進む方向は同一です。こうした波を縦波、または、疎密波と言います。縦波では、波動の状況がわかりにくいので、右図のように変位を波の進行方向に対して垂直になるように横波に直して考える場合があります。つまり、縦波の正変位を横波の正変位に直し、縦波の負変位を横波の負変位に直して、縦波から横波の正弦波を書き、正弦波で考えます。TOPに戻る CFV21 メイン・ページ 考察のぺージ
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波動分野
波動分野
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各項目の文字列をクリックすると、解説ページに飛びます。
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(1) 波動現象
(2) 波の公式
(3) 正弦波の式
(4) 波の位相
(5) 重ね合わせの原理
(6) 波の干渉
(7) ホイヘンスの原理
(8) 波の反射
(9) 定常波
(10) 波の回折
(11) 音波
(12) 弦の振動
(13) 管の振動
(14) ドップラー効果
(15) 光波
(16) 光の屈折
(17) レンズ
(18) 光の干渉
(19) 二重スリット
(20) 回折格子
(21) ニュートン・リング
(22) 単スリット
(23) 光の分散
(24) 偏光
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力学分野
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(1) 変位・速度・加速度
(2) 等加速度運動
(3) 力
(4) 重力
(5) 垂直抗力
(6) 摩擦力
(7) 張力
(8) フックの法則
(9) 力のつり合い
(10) 力のモーメント
(11) 重心
(12) 運動方程式
(13) 作用反作用の法則
(14) 抵抗力
(15) 運動量
(16) 運動量の原理
(17) 運動量保存則
(18) 反発係数の式
(19) 衝突・合体・分裂の問題
(20) 運動エネルギー
(21) 保存力
(22) 位置エネルギー
(23) 仕事
(24) エネルギーの原理
(25) 力学的エネルギー保存則
(26) 相対速度
(27) 慣性力
(28) 等速円運動
(29) 遠心力
(30) 不等速円運動
(31) 単振動
(32) 単振り子
(33) ばね振り子
(34) 万有引力
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