2008年02月29日
東大物理'08年前期[1]
東大物理'08年前期[1]
質量mの箱が摩擦のない滑らかな水平面上に静止していたとする。この箱を、時刻0から移動させ始めてちょうど時刻Tに距離Lだけ離れた地点を通過させることを考えよう。A，B，Cの3人がそれぞれ別々の力の加え方をして箱を移動させた。Ａの箱は最初から最後まで一定の加速度で運動した。Bの箱は距離
の中間地点まで一定の加速度で加速し、中間地点以降はその時の速度で等速度運動をした。Cはばねを用いて移動させた。図1のように、ばねが自然長の状態で箱がゴール地点にあるようにセットし、そこからばねを長さLだけ縮めて初速0で離した。A，B，C全ての場合において、箱は時刻0で静止した状態から動き始め、一直線上を同じ向きに進み、時刻Tにスタート地点から同じ距離Lだけ離れた地点を通過した。
解答 簡単ですが、やることは多いので忙しい問題です。意地悪な問題文に眩惑されないように注意してください。�兇任蓮�変位・速度・加速度を参照してください。
でも、急発進を奨励しているような問題で、交通安全上は問題では？
∴
･･･��
∴
......[答]
加速度をaとして、等加速度運動の公式より、
∴
......[答]
に中間地点に至るとして、
における加速度aは、
∴
における速さ
は、
においては、この速さで等速度運動で距離
進むので、
∴
における速さは、
における速さは、
グラフは右図。
における速さ
は、
......[答]
に振動端
にいて、
に振動中心
にくるので、箱の位置xは、
グラフは右図。
における速さ
は、
......[答]
......[答]
の間、最大の力をかけるとして、
における位置
，速さ
は、
，
において、速さ
で等速度運動して進む距離は、
∴
∴
なので、複号はマイナスの方を取り、
従って、仕事が最小の場合の力の加え方は、
において、
において、
グラフは右図。
時刻tまでにした仕事Wは、
......[答]
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質量mの箱が摩擦のない滑らかな水平面上に静止していたとする。この箱を、時刻0から移動させ始めてちょうど時刻Tに距離Lだけ離れた地点を通過させることを考えよう。A，B，Cの3人がそれぞれ別々の力の加え方をして箱を移動させた。Ａの箱は最初から最後まで一定の加速度で運動した。Bの箱は距離の中間地点まで一定の加速度で加速し、中間地点以降はその時の速度で等速度運動をした。Cはばねを用いて移動させた。図1のように、ばねが自然長の状態で箱がゴール地点にあるようにセットし、そこからばねを長さLだけ縮めて初速0で離した。A，B，C全ての場合において、箱は時刻0で静止した状態から動き始め、一直線上を同じ向きに進み、時刻Tにスタート地点から同じ距離Lだけ離れた地点を通過した。�機�Cが用いたばねのばね定数kをm，Tを用いて表せ。
�供。繊�B，Cそれぞれの場合について、箱の速さ
を時刻t (
)の関数としてグラフにし、各々の場合の時刻Tにおける速さ
をT，Lを用いて表せ。
を時刻t ()の関数としてグラフにし、各々の場合の時刻Tにおける速さをT，Lを用いて表せ。�掘�A，B，Cそれぞれの場合について、時刻Tまでに箱にした仕事をm，T，Lを用いて表し、どの場合最も仕事が少なかったか答えよ。またそれぞれの場合について、箱にした仕事と�兇乃瓩瓩紳�さ
との関係を求めよ。
との関係を求めよ。�検“△鮴纏澆靴疹�態から動かし始め、最小の仕事でちょうど時刻Tに距離Lだけ離れたところを通過させるための力の加え方を求めたい。ただし、箱に加えることのできる最大の力を
とし、
はA，B，Cの加えたどの力よりも大きいとする。また運動の向きと逆向きの力を加えることはないとする。箱にする仕事が最小の場合について、箱に加えた力
の時間変化をグラフにし、時刻Tまでに箱にした仕事を答えよ。
とし、はA，B，Cの加えたどの力よりも大きいとする。また運動の向きと逆向きの力を加えることはないとする。箱にする仕事が最小の場合について、箱に加えた力の時間変化をグラフにし、時刻Tまでに箱にした仕事を答えよ。解答 簡単ですが、やることは多いので忙しい問題です。意地悪な問題文に眩惑されないように注意してください。�兇任蓮�変位・速度・加速度を参照してください。
でも、急発進を奨励しているような問題で、交通安全上は問題では？
�機，个佑�L縮めたときのばねの位置エネルギーは
，箱がゴール地点にあるときの箱の速さをvとして、箱の運動エネルギーは
，箱がゴール地点にあるときの箱の速さをvとして、箱の運動エネルギーは系のエネルギーを奪うような外力は存在せず、力学的エネルギーが保存されるので、
∴
･･･���，犯罎戮董�
単振動の周期は
で、単振動の公式より、
単振動の周期は
で、単振動の公式より、∴
......[答]�供�Aについて、
加速度をaとして、等加速度運動の公式より、∴
時刻tにおける速さ
は、
は、グラフは右図。
おける速さ
は、
おける速さは、 ......[答]Bについて、
に中間地点に至るとして、における加速度aは、∴
における速さは、においては、この速さで等速度運動で距離進むので、∴
における速さは、における速さは、グラフは右図。
における速さは、 ......[答]Cについて
に振動端にいて、に振動中心にくるので、箱の位置xは、グラフは右図。
における速さは、 ......[答]�掘�A，B，Cの3人が加える力以外に、エネルギーを奪う外力が存在しないので、時刻Tまでに箱にした仕事は全て、
の運動エネルギーとなります。従って、3つの場合のいずれにおいても、箱にした仕事Wは、
の運動エネルギーとなります。従って、3つの場合のいずれにおいても、箱にした仕事Wは、 ......[答]Aについて、
Bについて、
Cについて、
より、最も仕事が少なかったのは、B ......[答]
Bについて、
Cについて、
より、最も仕事が少なかったのは、B ......[答]�検´靴茲蝓∈能蕕忘蚤腓�力
で一気に加速して、あとは等速度運動で進む、というのが、最小の仕事で一定の時間Tの間に距離L進む、力の加え方です。
で一気に加速して、あとは等速度運動で進む、というのが、最小の仕事で一定の時間Tの間に距離L進む、力の加え方です。最大の力
をかけているとき、加速度を
として、
をかけているとき、加速度をとして、
の間、最大の力をかけるとして、における位置，速さは、，において、速さで等速度運動して進む距離は、∴
整理して、
∴
なので、複号はマイナスの方を取り、従って、仕事が最小の場合の力の加え方は、において、において、グラフは右図。
時刻tまでにした仕事Wは、
......[答]TOPに戻る CFV21 メイン・ページ 考察のぺージ
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2008年02月28日
東大理系数学'08年前期[6]
東大理系数学'08年前期[6]
座標平面において、媒介変数tを用いて
(
)
と表される曲線が囲む領域の面積を求めよ。
解答 グラフを描け、という問題だとしても充分におもしろい関数ですが、ここでは、面積を問われているだけなので、微分して増減表を調べたりすると、大きく時間をロスするので注意してください。面積を求めるのに必要な情報を得ることを優先するべきです。
この問題の解答としては不必要ですが、一応、増減を確認しておきます。
(微分の公式を参照)
(積の微分法を参照)
とすると、
となりますが、
においては、
と、
，
を満たすa，b について、
，
の3解を持っています。
結局、増減を調べても、グラフは描けません。凹凸や、
，
のときのy座標など調べ出せば、どんどん時間をロスすることになります。
実は、グラフは右図のようになります。
では、どんどん、上下に葉が連なっていく感じになります。
ここでは、グラフを描くことなく考えることにします。まず、曲線が囲む領域について調べます。
･･･��において、
です。
とすると、�，砲�いては、
このとき、
曲線は、y軸と、4点
，
，
，
で交わります。
とすると、�，砲�いては、
この3つのtの値に対して、いずれも、
とすると、�，砲�いては、
このとき、
とすると、�，砲�いては、
で、
これで、グラフは�，糧楼呂砲�いて少なくとも4本に枝分かれして、
で1点に集まっていること、x軸とは
以外の交点を持たないこと、
と逆側の
，
において、4本のうちの2本ずつが1点に集まることがわかります。
�，糧楼呂砲�いて、
は、
の範囲を2往復するので、グラフは4本に枝分かれします。4本の枝は、�，糧楼呂鯤�けて、
･･･��
･･･��
･･･��
･･･��の部分の4本に分かれますが、この4本が交差するかどうかを調べておきます。
同一のx座標におけるyの値を比較することになるので、
，
とし、�◆き�，�ぁきイ砲�けるy座標を、
，
，
，
とします。
�◆き�において
より、
，
�ぁきイ砲�いて
より、
，
として、
は�◆�
は��を動き、
におけるy座標を比較すると、
は�ぁ�
は�イ鯑阿�、
におけるy座標を比較すると、
において交差せず、上から、
，
，
，
の順に並び、曲線が囲む部分は、
と
が囲む部分、
と
が囲む部分の2つあることがわかります。微分してグラフを描く、ということをせずとも、これで、面積を求めるのには充分です。
面積を求めるにあたって、4本の枝の各範囲�◆銑イ卜消爾魎泙瓩胴佑┐襪海箸砲靴泙后�
，
，
，
が、
においてx軸と囲む面積を
，
，
，
とします。求める面積Sは、
です。
では、
と置換することにより、x：
のとき、t：
より、
同じような積分が出てくるので、
(C：積分定数) (部分積分法を参照)とおくと、
(定積分を参照)
では、x：
のとき、t：
より、
(
の中のsinの項はゼロとなり、cosのみ残ることに注意してください)
，
では、それぞれ、x：
のとき、t：
，t：
ですが、
と同様に、
においても、
，
は消えて、
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座標平面において、媒介変数tを用いて
()と表される曲線が囲む領域の面積を求めよ。
解答 グラフを描け、という問題だとしても充分におもしろい関数ですが、ここでは、面積を問われているだけなので、微分して増減表を調べたりすると、大きく時間をロスするので注意してください。面積を求めるのに必要な情報を得ることを優先するべきです。
この問題の解答としては不必要ですが、一応、増減を確認しておきます。
(微分の公式を参照)| t | 0 |  | p |  |  | ||||
 | 0 | − | 0 | ＋ | 0 | − | 0 | ＋ | 0 |
| x | 1 |  |  |  | 1 | |  | | 1 |
(積の微分法を参照)とすると、となりますが、においては、と、，を満たすa，b について、，の3解を持っています。| t | 0 | a | b |  | |||
 | 0 | ＋ | 0 | − | 0 | ＋ | ＋ |
| y | 0 | | | | 0 |
結局、増減を調べても、グラフは描けません。凹凸や、
，のときのy座標など調べ出せば、どんどん時間をロスすることになります。実は、グラフは右図のようになります。では、どんどん、上下に葉が連なっていく感じになります。ここでは、グラフを描くことなく考えることにします。まず、曲線が囲む領域について調べます。
･･･��です。とすると、�，砲�いては、このとき、
曲線は、y軸と、4点
，，，で交わります。とすると、�，砲�いては、この3つのtの値に対して、いずれも、
とすると、�，砲�いては、このとき、
とすると、�，砲�いては、で、これで、グラフは�，糧楼呂砲�いて少なくとも4本に枝分かれして、
で1点に集まっていること、x軸とは以外の交点を持たないこと、と逆側の，において、4本のうちの2本ずつが1点に集まることがわかります。�，糧楼呂砲�いて、
は、の範囲を2往復するので、グラフは4本に枝分かれします。4本の枝は、�，糧楼呂鯤�けて、 ･･･�� ･･･�� ･･･�� ･･･��同一のx座標におけるyの値を比較することになるので、
，とし、�◆き�，�ぁきイ砲�けるy座標を、，，，とします。�◆き�において
より、，�ぁきイ砲�いて
より、，として、は�◆�は��を動き、におけるy座標を比較すると、∴ 
は�ぁ�は�イ鯑阿�、におけるy座標を比較すると、∴ 
従って、�◆き�，�ぁきイ�4本は、において交差せず、上から、，，，の順に並び、曲線が囲む部分は、とが囲む部分、とが囲む部分の2つあることがわかります。微分してグラフを描く、ということをせずとも、これで、面積を求めるのには充分です。面積を求めるにあたって、4本の枝の各範囲�◆銑イ卜消爾魎泙瓩胴佑┐襪海箸砲靴泙后�
，，，が、においてx軸と囲む面積を，，，とします。求める面積Sは、では、と置換することにより、x：のとき、t：より、同じような積分が出てくるので、
(
(積和の公式を使用、
(C：積分定数) (部分積分法を参照) (定積分を参照)では、x：のとき、t：より、 (の中のsinの項はゼロとなり、cosのみ残ることに注意してください)，では、それぞれ、x：のとき、t：，t：ですが、と同様に、においても、，は消えて、∴ 
......[答]
......[答]TOPに戻る CFV21 メイン・ページ 考察のぺージ
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2008年02月27日
東大理系数学'08年前期[5]
東大理系数学'08年前期[5]
自然数nに対し、
を
で表す。たとえば
，
，
である。
解答 今年の問題の中では一番頭を使う問題です。参考書の受験技巧をマスターしているだけでは歯が立ちません。試験会場での勇気と構想力が必要です。出題者の情熱が伝わってくる問題で、東大を志望する人は必ず考えてみて頂きたい。なお、整数を参照。
のとき、
･･･��
･･･��
のとき、
，
，･･･ が、27で割れるかどうか確かめてみよう、ということになりますが、27で割り切れない数を2個足すと27で割り切れるということがあり得るので、9で割れるか調べてみます。
÷9＝1÷9＝0あまり1
÷9＝11÷9＝1あまり2
÷9＝111÷9＝12あまり3
÷9＝1111÷9＝123あまり4
÷9＝11111÷9＝1234あまり5
÷9＝111111÷9＝12345あまり6
÷9＝1111111÷9＝123456あまり7
÷9＝11111111÷9＝1234567あまり8
は9の倍数ですが27の倍数ではなく、
は3の倍数ではなく、
は9では割り切れるが、27では割り切れません。
として、
を調べます。��を使って、
は(1)より27で割り切れるので、
は、27で割り切れます。
mを自然数、
として、
TOPに戻る CFV21 メイン・ページ 考察のぺージ
自然数nに対し、
をで表す。たとえば，，である。(1) mを0以上の整数とする。
は
で割り切れるが、
では割り切れないことを示せ。
はで割り切れるが、では割り切れないことを示せ。(2) nが27で割り切れることが、
が27で割り切れるための必要十分条件であることを示せ。
が27で割り切れるための必要十分条件であることを示せ。解答 今年の問題の中では一番頭を使う問題です。参考書の受験技巧をマスターしているだけでは歯が立ちません。試験会場での勇気と構想力が必要です。出題者の情熱が伝わってくる問題で、東大を志望する人は必ず考えてみて頂きたい。なお、整数を参照。
(1) こういうタイプの問題では、数値代入して、問題のカラクリをつかむことから始めます。
のとき、は、
で割り切れるが、
では割り切れません。･･･(＊)
のとき、
で割り切れるが、では割り切れません。･･･(＊)のとき、は、
で割り切れるが、
では割り切れません。
のとき、
で割り切れるが、では割り切れません。のとき、 ･･･��は、
で割り切れるが、
では割り切れません。
のとき、
で割り切れるが、では割り切れません。のとき、 ･･･��は、
で割り切れるが、
では割り切れません。
mのときに、
のときの項が出てくるので、数学的帰納法を利用するという方針が立ちます。あとは、
の形をしているところが3で割り切れるが9では割り切れないことを示せばよい、ということになります。
自然数nに対して、
は9の倍数なので、pを自然数として、
と置くことができます。
従って、2つの自然数m，nに対して、a，bを自然数として、
で割り切れるが、では割り切れません。mのときに、
のときの項が出てくるので、数学的帰納法を利用するという方針が立ちます。あとは、の形をしているところが3で割り切れるが9では割り切れないことを示せばよい、ということになります。自然数nに対して、
は9の倍数なので、pを自然数として、と置くことができます。従って、2つの自然数m，nに対して、a，bを自然数として、
は、3で割り切れるが9では割り切れません。･･･(＊＊)
数学的帰納法により、題意を示します。
数学的帰納法により、題意を示します。
(��) 
のとき、(＊)より、題意は成立します。
のとき、(＊)より、題意は成立します。(��) 
のとき、題意が成立するとして、
は、
で割り切れるが、
では割り切れない、と、仮定します。
のとき、題意が成立するとして、は、で割り切れるが、では割り切れない、と、仮定します。のとき、(＊＊)より、これは、
で割り切れるが、
では割り切れません。
(��)，(��)より、題意が示されました。
で割り切れるが、では割り切れません。(��)，(��)より、題意が示されました。
(2) 「nが27で割り切れる ⇒ 
が27で割り切れる」はすぐに言えます(下記)が、逆がなかなか言えません。
が27で割り切れる」はすぐに言えます(下記)が、逆がなかなか言えません。，，･･･ が、27で割れるかどうか確かめてみよう、ということになりますが、27で割り切れない数を2個足すと27で割り切れるということがあり得るので、9で割れるか調べてみます。÷9＝1÷9＝0あまり1÷9＝11÷9＝1あまり2÷9＝111÷9＝12あまり3÷9＝1111÷9＝123あまり4÷9＝11111÷9＝1234あまり5÷9＝111111÷9＝12345あまり6÷9＝1111111÷9＝123456あまり7÷9＝11111111÷9＝1234567あまり8規則性があってキレイだなあ、などと、感心している場合ではありません。ずっとやると疲れるので、やめます。
これで、
〜
は、9では割り切れないことがわかりました。
(1)で、
は、9では割り切れるが、27で割り切れないことが示されています。
として、
を調べます。
これで、
〜は、9では割り切れないことがわかりました。(1)で、
は、9では割り切れるが、27で割り切れないことが示されています。として、を調べます。�，茲蝓�
･･･�� と書けるので、
･･･�� と書けるので、第1項は9の倍数ですが、
は上記のように9の倍数ではなく、
は9で割り切れません(27で割り切れない2数の和は、27で割り切れない、とは言えないことに注意。これが、最初に9で割った理由です)。
��を用いて、
は上記のように9の倍数ではなく、は9で割り切れません(27で割り切れない2数の和は、27で割り切れない、とは言えないことに注意。これが、最初に9で割った理由です)。��を用いて、
は9の倍数ですが27の倍数ではなく、は3の倍数ではなく、は9では割り切れるが、27では割り切れません。として、を調べます。��を使って、9の倍数と9の倍数でないものの和の形なので、
は9で割り切れません。
これで、
〜
が27で割り切れないことがわかりました。
mを自然数として、�△茲蝓�
と書けるので、
は9で割り切れません。これで、
〜が27で割り切れないことがわかりました。mを自然数として、�△茲蝓�
と書けるので、
(
の
の項を中カッコ内から外に出して、
をくくりだした)
(は(1)より27で割り切れるので、は、27で割り切れます。mを自然数、
として、
は27では割り切れません。
が27で割り切れるためのTOPに戻る CFV21 メイン・ページ 考察のぺージ
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東大理系数学'08年前期[4]
東大理系数学'08年前期[4]
放物線
上に2点P，Qがある。線PQの中点のy座標をhとする。
解答 東大の数学の入試問題は、オリジナリティーあふれる問題が多いのですが、よく勉強していて技巧を数多く身につけた受験生にも敬意を払って、毎年1題は頻出パターン問題を出題しています。このタイプの問題を落とさないことが合格への早道でしょう。
，
･･･��
･･･��
･･･��
......[答]
なので、
ですが、
の方は、
のときと、
のときで分かれます。これが、相加平均・相乗平均の関係をうまく利用できるか、利用できないか、ということに対応しているわけです。
増減表より、
(
)のとき、hは最小値：
をとります(関数の増減を参照)。
(ii)
のとき、
より、
で、
は単調増加です。
よって、
においては、
，つまり、
のとき、hは最小値：
をとります。
のとき、
，
のとき、
......[答]
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放物線
上に2点P，Qがある。線PQの中点のy座標をhとする。(1) 線分PQの長さLと傾きmで、hを表せ。
(2) Lを固定したとき、hがとりうる値の最小値を求めよ。
解答 東大の数学の入試問題は、オリジナリティーあふれる問題が多いのですが、よく勉強していて技巧を数多く身につけた受験生にも敬意を払って、毎年1題は頻出パターン問題を出題しています。このタイプの問題を落とさないことが合格への早道でしょう。
(1) 直線PQの方程式を
とします。
とします。
，Q
とすると、a，b は、
と
を連立したときにできる2次方程式：
の2解です。， ･･･��線分PQの長さがLなので、�，鰺僂い董�
･･･��hも�，鰺僂い董�
･･･���△茲蝓�
両辺に
を加えて2で割ると、
を加えて2で割ると、これより、��は、
......[答](2) hの式の形を見ると、相加平均・相乗平均の利用(不等式の証明を参照)が浮かぶのですが、
として、等号成立の条件：
，つまり、
は、
のときには、満たされようがないので困ることになります。
こういうときには、微分して調べた方が安全です。
hをmの関数と見ても良いのですが、
(
，線分PQはx座標の絶対値の大きい方にいくらでも持って行けるので、
，つまりtには上限はありません)とおいて、
，つまり、は、のときには、満たされようがないので困ることになります。こういうときには、微分して調べた方が安全です。
hをmの関数と見ても良いのですが、
(，線分PQはx座標の絶対値の大きい方にいくらでも持って行けるので、，つまりtには上限はありません)とおいて、なので、ですが、の方は、のときと、のときで分かれます。これが、相加平均・相乗平均の関係をうまく利用できるか、利用できないか、ということに対応しているわけです。(i) 
のとき、
のとき、| t | 0 |  | ||
 | − | 0 | ＋ | |
 |  | |  | |
増減表より、
()のとき、hは最小値：をとります(関数の増減を参照)。(ii)
のとき、より、で、は単調増加です。よって、
においては、，つまり、のとき、hは最小値：をとります。のとき、，のとき、 ......[答]TOPに戻る CFV21 メイン・ページ 考察のぺージ
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東大理系数学'08年前期[3]
東大理系数学'08年前期[3]
解答 意表を突いた出題ですが、東大理系のレベルとしては、それほどでもないかも知れません。
正八面体は、8個の正三角形をつなぎ合わせてできる立体です。試験会場で鳥瞰図を作図する場合には右図のようにすると便利です。
(i) まず、平行四辺形CDEFを描きます。(ii) DFを対角線とする平行四辺形ADBFを描きます。(iii) AC，AE，BC，BEを結びます。
より、
(2倍角の公式を参照)
，
，
：
＝
：
＝2：1です。
(このACは実際の長さではありません)
......[答]
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(1) 正八面体のひとつの面を下にして水平な台の上に置く。この八面体を真上から見た図(平面図)を描け。
(2) 正八面体の互いに平行な2つの面をとり、それぞれの面の重心を
，
とする。
，
を通る直線を軸としてこの八面体を1回転させてできる立体の体積を求めよ。ただし、八面体は内部を含むものとし、各辺の長さは1とする。
，とする。，を通る直線を軸としてこの八面体を1回転させてできる立体の体積を求めよ。ただし、八面体は内部を含むものとし、各辺の長さは1とする。解答 意表を突いた出題ですが、東大理系のレベルとしては、それほどでもないかも知れません。
正八面体は、8個の正三角形をつなぎ合わせてできる立体です。試験会場で鳥瞰図を作図する場合には右図のようにすると便利です。(i) まず、平行四辺形CDEFを描きます。(ii) DFを対角線とする平行四辺形ADBFを描きます。(iii) AC，AE，BC，BEを結びます。
(1)
右上図の正八面体で、正三角形BCFを下、正三角形ADEが上に来るように置いたとします。DE，CFの中点をM，Nとします。正三角形の1辺の長さは1なので、
，右図より、
，ABと
の交点、即ち、ABの中点をHとして、
より、
右上図の正八面体で、正三角形BCFを下、正三角形ADEが上に来るように置いたとします。DE，CFの中点をM，Nとします。正三角形の1辺の長さは1なので、，右図より、，ABとの交点、即ち、ABの中点をHとして、より、より、 (2倍角の公式を参照)従って、
は鈍角です。
真上に見える正三角形ADEから書き始めましょう。次に、各辺AD，DE，EAで隣接する正三角形CAD，BDE，FEAを考えます。
は鈍角なので、真上から見て、この3個の正三角形は、正三角形ADEから外にはみ出すように見えます。
立体の対称性から、平面図上で見て、
は鈍角です。 真上に見える正三角形ADEから書き始めましょう。次に、各辺AD，DE，EAで隣接する正三角形CAD，BDE，FEAを考えます。は鈍角なので、真上から見て、この3個の正三角形は、正三角形ADEから外にはみ出すように見えます。立体の対称性から、平面図上で見て、
，，となるように見えます。
三角形ACDと三角形BDCは同一サイズの正三角形です。反対側から見れば、この2つの三角形の位置関係は入れ替わって見えます。ということは、
従って、六角形ACDBEFは、平面図上で正六角形に見えます。正八面体の平面図は右図のようになります。
三角形ACDと三角形BDCは同一サイズの正三角形です。反対側から見れば、この2つの三角形の位置関係は入れ替わって見えます。ということは、
従って、六角形ACDBEFは、平面図上で正六角形に見えます。正八面体の平面図は右図のようになります。
(2)
三角形ADEの重心が
，三角形BCFの重心が
だとします。この正六角形を
と
の双方に垂直な方向、つまり、
に平行な方向に眺めると、右図のように見えます。
三角形ADEの重心が，三角形BCFの重心がだとします。この正六角形をとの双方に垂直な方向、つまり、に平行な方向に眺めると、右図のように見えます。：＝：＝2：1です。また、真上から見て、
，
が(正六角形の中心に)重なって見える、ということは、
は三角形ADE，三角形BCFの双方に垂直です。
右図で、NからAMに垂線NKを下ろすと、
より、
，が(正六角形の中心に)重なって見える、ということは、は三角形ADE，三角形BCFの双方に垂直です。右図で、NからAMに垂線NKを下ろすと、
より、立体の対称性より、
を軸として正八面体を回転させるとき、
の間の部分を回転させた立体と、
の間の部分を回転させ立体とは同じ体積になります。ここでは、
の間の部分を考えます。
上に点Pをとり、
(
)として、
に沿ってx軸をとり、x軸の周りに回転させるとして考えます。線分AC上の点Qを、点Qから
に垂線を下ろし、その足がPとなるようにとります。(1)の平面図上では、Pは
，
に重なって見えます。(1)の平面図上では、AQは実際の長さではありませんが、PQは、正三角形ADEに平行なので、実際の長さです。(1)の平面図上で見て、
を軸として正八面体を回転させるとき、の間の部分を回転させた立体と、の間の部分を回転させ立体とは同じ体積になります。ここでは、の間の部分を考えます。上に点Pをとり、 ()として、に沿ってx軸をとり、x軸の周りに回転させるとして考えます。線分AC上の点Qを、点Qからに垂線を下ろし、その足がPとなるようにとります。(1)の平面図上では、Pは，に重なって見えます。(1)の平面図上では、AQは実際の長さではありませんが、PQは、正三角形ADEに平行なので、実際の長さです。(1)の平面図上で見て、 (このACは実際の長さではありません)また、AQ：AC ＝ x：
より、(1)の平面図上で見て、
より、(1)の平面図上で見て、(1)の平面図上で見た三角形AQPにおいて、
(APは実際の長さではありません)だから、余弦定理より、
(APは実際の長さではありません)だから、余弦定理より、求める体積Vは(x軸のまわりの回転体を参照)、
......[答]TOPに戻る CFV21 メイン・ページ 考察のぺージ
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2008年02月26日
東大理系数学'08年前期[2]
東大理系数学'08年前期[2]
白黒2種類のカードがたくさんある。そのうちk枚のカードを手もとにもっているとき、次の操作(A)を考える。
解答 東大は、比較的、確率は取り組み易い問題が多い気がします。早合点、ケアレス、場合分けの漏れ、などに注意してください。
(1)，(2)とも、白黒が逆になっても変わりがないところをうまく考えましょう。また、「初めて」同じ色になる確率を求めるので、一度、同じ色になってしまった場合は、それ以降は考える必要がないことにも注意してください。
白黒2種類のカードがたくさんある。そのうちk枚のカードを手もとにもっているとき、次の操作(A)を考える。
(A) 手持ちのk枚の中から1枚を、等確率
で選び出し、それを違う色のカードにとりかえる。
以下の問(1)，(2)に答えよ。で選び出し、それを違う色のカードにとりかえる。(1) 最初に白2枚、黒2枚、合計4枚のカードをもっているとき、操作(A)をn回繰り返した後に初めて、4枚とも同じ色のカードになる確率を求めよ。
(2) 最初に白3枚、黒3枚、合計6枚のカードをもっているとき、操作(A)をn回繰り返した後に初めて、6枚とも同じ色のカードになる確率を求めよ。
解答 東大は、比較的、確率は取り組み易い問題が多い気がします。早合点、ケアレス、場合分けの漏れ、などに注意してください。
(1)，(2)とも、白黒が逆になっても変わりがないところをうまく考えましょう。また、「初めて」同じ色になる確率を求めるので、一度、同じ色になってしまった場合は、それ以降は考える必要がないことにも注意してください。
)と、白が黒に変わって、白1枚、黒3枚となり、さらに2回目に白を引く(確率
)と全て黒になります。この確率は、
(このとき、2回目に黒を引く(確率
)と、元の状態に戻ってしまいます。この確率は、
白と黒が逆になった場合も同じで、2回の操作で、4枚とも同じ色になる確率は、
2回の操作で元の状態に戻る確率が、
この後、同様のことが繰り返されて、mを自然数として、
回操作を行うと、4枚とも同じ色になるか、元の状態に戻ります。一度、4枚とも同じ色になってしまうと、それ以降は考える必要はありません。
回の操作で元の状態に戻る確率は、
回の操作で4枚とも同じ色になる確率は、
回目に元の状態で、その後の2回の操作で、同じ色を2回引いた場合です。その確率は、
回目には、片方が3枚で、他方が1枚となり、4枚とも同じ色になることはありません。
よって、n回の操作で、4枚とも同じ色になる確率は、
......[答]
)と、元の状態に戻ってしまいます。この確率は、白と黒が逆になった場合も同じで、2回の操作で、4枚とも同じ色になる確率は、
2回の操作で元の状態に戻る確率が、
この後、同様のことが繰り返されて、mを自然数として、
回操作を行うと、4枚とも同じ色になるか、元の状態に戻ります。一度、4枚とも同じ色になってしまうと、それ以降は考える必要はありません。回の操作で元の状態に戻る確率は、回の操作で4枚とも同じ色になる確率は、回目に元の状態で、その後の2回の操作で、同じ色を2回引いた場合です。その確率は、回目には、片方が3枚で、他方が1枚となり、4枚とも同じ色になることはありません。よって、n回の操作で、4枚とも同じ色になる確率は、
......[答](2) 1回目に白を引くと、白が2枚、黒が4枚となり、2回目に白を引くと、白が1枚、黒が5枚となり、3回目に白を引くと、6枚とも黒になります。
3回めに黒を引くと、白が2枚、黒が4枚の状態に戻ります。
2回目に黒を引くと、最初の状態に戻ります。
この状況変化の仕方は、白と黒が逆になった場合も同じです。白黒の違いはないので、白黒を区別せず、両者3枚ずつの状態を� �片方が4枚で他方が2枚の状態を�◆�片方が5枚で他方が1枚の状態を��，6枚とも同じ色のカードになる場合を�い箸靴泙后�
最初は�，任后�
1回目の操作で、無条件に、確率1で、�△砲覆蠅泙后�
2回目の操作で、��に行くか、�，北瓩蠅泙后�6枚中2枚の方を引く確率は
で��に移行し、6枚中4枚の方を引く確率は
で�，飽楾圓靴泙后�
2回目に��に移行した場合、3回目の操作で、�い帽圓�か、�△北瓩蠅泙后�6枚中1枚の方を引く確率は
で�い飽楾圓掘�6枚中5枚の方を引く確率は
で�△飽楾圓靴泙后�
2回目に�，北瓩辰疹豺隋�3回目の操作で、無条件に、確率1で、�△飽楾圓靴泙后�
�い砲覆辰討靴泙┐弌△修谿聞澆蝋佑┐詆�要がないので、以後、奇数回目の操作で、�△��い砲覆蝓�偶数回目の操作で、�，���になることが繰り返されることになります。
・mを0以上の整数として、
回目の操作後に�△世辰燭箸靴董�
回目の操作で�△北瓩襪里蓮↓□���→�△箸覆襪�、�□��、��△箸覆訃豺腓任后�
�□���→�△箸覆覲領┐蓮�
，�□��、��△箸覆覲領┐蓮�
よって、
回目の操作後に�△�
回目の操作で�△北瓩覲領┐蓮�
(和事象・積事象・余事象を参照)
・
回目の操作後に�△世辰燭箸靴董�
回目の操作で�い忙蠅襪里蓮↓□���→�い箸覆訃豺腓如△修粒領┐蓮�
mを自然数として、
回目の操作で�△砲覆辰討い覲領┐蓮�
2回目に黒を引くと、最初の状態に戻ります。
この状況変化の仕方は、白と黒が逆になった場合も同じです。白黒の違いはないので、白黒を区別せず、両者3枚ずつの状態を� �片方が4枚で他方が2枚の状態を�◆�片方が5枚で他方が1枚の状態を��，6枚とも同じ色のカードになる場合を�い箸靴泙后�
最初は�，任后�
1回目の操作で、無条件に、確率1で、�△砲覆蠅泙后�2回目の操作で、��に行くか、�，北瓩蠅泙后�6枚中2枚の方を引く確率は
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・mを0以上の整数として、
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回目の操作後に�△世辰燭箸靴董�回目の操作で�い忙蠅襪里蓮↓□���→�い箸覆訃豺腓如△修粒領┐蓮�mを自然数として、
回目の操作で�△砲覆辰討い覲領┐蓮�