2012年02月28日
東大理系数学'12年前期[3]
東大理系数学'12年前期[3]
座標平面上で2つの不等式
，
によって定まる領域をSとする。Sをx軸のまわりに回転してできる立体の体積を
とし、y軸のまわりに回転してできる立体の体積を
とする。
解答 (1)は平凡な求積問題です。(2)の数値評価も東大理系では定型パターンで大したことはありません。
∴
このとき、
�△�y軸との交点は、�△�
として、
領域Sをx軸のまわりに回転すると、�△�
の部分を回転してできる立体から�，�
の部分を回転してできる立体を取り除いた立体になります。
�，茲�
，�△茲�
よって、その体積
は、領域Sがy軸に関して対称であることから、
(x軸のまわりの回転体の体積を参照)
......[答]
(y軸のまわりの回転体の体積を参照)
......[答]
なので、
となり、
となりそうです。
⇔ 
⇔ 
⇔ 
⇔ 
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座標平面上で2つの不等式
，とし、y軸のまわりに回転してできる立体の体積をとする。(1) 
と
の値を求めよ。
との値を求めよ。(2) 
の値と1の大小を判定せよ。
の値と1の大小を判定せよ。解答 (1)は平凡な求積問題です。(2)の数値評価も東大理系では定型パターンで大したことはありません。
(1) 領域Sの境界線、
･･･��
･･･�◆�(の交点を求めます。
∴
このとき、
�△�y軸との交点は、�△�
として、領域Sをx軸のまわりに回転すると、�△�
の部分を回転してできる立体から�，�の部分を回転してできる立体を取り除いた立体になります。�，茲�
，�△茲�よって、その体積
は、領域Sがy軸に関して対称であることから、 (x軸のまわりの回転体の体積を参照) ......[答]領域Sをy軸のまわりに回転すると、�，�
の部分を回転してできる立体と、�△�
の部分を回転してできる立体を合わせたものになります。
�，茲�
，�△茲�
よって、その体積
は、
の部分を回転してできる立体と、�△�の部分を回転してできる立体を合わせたものになります。�，茲�
，�△茲�よって、その体積
は、 (y軸のまわりの回転体の体積を参照) ......[答](2) 
なので、となり、となりそうです。 ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ なので、以下のように答案を書くことになります。
より、
∴
従って、
......[答]
∴
従って、
......[答]TOPに戻る CFV21 アーカイブ 考察のぺージ
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2012年02月27日
東大理系数学'12年前期[2]
東大理系数学'12年前期[2]
図のように、正三角形を9つの部屋に辺で区切り、部屋P，Qを定める。1つの球が部屋Pを出発し、1秒ごとに、そのままその部屋にとどまることなく、辺を共有する隣の部屋に等確率で移動する。球がn秒後に部屋Qにある確率を求めよ。
解答 9部屋ありますが、うまく考えて行けば、9個の数列の連立漸化式にすることもなく、2項間漸化式で解決できます。
右図のように9部屋に名前をつけます。奇数秒後に球が部屋P，部屋Q，部屋Rにいることはなく、偶数秒後には、球は、部屋P，部屋Q，部屋Rのいずれかに来ます。また、対称性を考えると、部屋Qと部屋Rに来る確率は同じです。
秒後に球が部屋Pにある確率を
とします。最初に部屋Pにあったので、
とします。
秒後に球が部屋Qにある確率は
です。
秒後に球が部屋Pにあるとき(確率
)、
秒後にも球が部屋Pにあるのは、
秒後に部屋Aに行き(確率
)、
秒後に部屋Pに戻る(確率1)か、
秒後に部屋Bに行き(確率
)、
秒後に部屋Pに戻る(確率
)か、
秒後に部屋Cに行き(確率
)、
秒後に部屋Pに戻る(確率
)、ときで、その確率は、
秒後に球が部屋Qにあるとき(確率
)、
秒後に球が部屋Pに来るのは、
秒後に部屋Bに行き(確率
)、
秒後に部屋Pに来る(確率
)ときで、その確率は、
秒後に球が部屋Rにあるとき(確率
)、
秒後に球が部屋Pに来るのも同様に、その確率は
よって、
秒後に球が部屋Pにある確率
は、
･･･��
と
をともにαとすると、
･･･�◆ � 
� 櫚△茲蝓�
数列
は、初項：
，公比：
の等比数列です。
∴ 
球が
秒後に部屋Qにある確率は、
よって、球がn秒後に部屋Qにある確率は、
nが奇数のとき0，nが偶数のとき、
......[答]
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図のように、正三角形を9つの部屋に辺で区切り、部屋P，Qを定める。1つの球が部屋Pを出発し、1秒ごとに、そのままその部屋にとどまることなく、辺を共有する隣の部屋に等確率で移動する。球がn秒後に部屋Qにある確率を求めよ。解答 9部屋ありますが、うまく考えて行けば、9個の数列の連立漸化式にすることもなく、2項間漸化式で解決できます。
右図のように9部屋に名前をつけます。奇数秒後に球が部屋P，部屋Q，部屋Rにいることはなく、偶数秒後には、球は、部屋P，部屋Q，部屋Rのいずれかに来ます。また、対称性を考えると、部屋Qと部屋Rに来る確率は同じです。秒後に球が部屋Pにある確率をとします。最初に部屋Pにあったので、とします。秒後に球が部屋Qにある確率はです。秒後に球が部屋Pにあるとき(確率)、秒後にも球が部屋Pにあるのは、秒後に部屋Aに行き(確率)、秒後に部屋Pに戻る(確率1)か、秒後に部屋Bに行き(確率)、秒後に部屋Pに戻る(確率)か、秒後に部屋Cに行き(確率)、秒後に部屋Pに戻る(確率)、秒後に球が部屋Qにあるとき(確率)、秒後に球が部屋Pに来るのは、秒後に部屋Bに行き(確率)、秒後に部屋Pに来る(確率)秒後に球が部屋Rにあるとき(確率)、秒後に球が部屋Pに来るのも同様に、その確率はよって、
秒後に球が部屋Pにある確率は、 ･･･��とをともにαとすると、 ･･･�◆ � � 櫚△茲蝓�
は、初項：，公比：の等比数列です。球が
秒後に部屋Qにある確率は、nが奇数のとき0，nが偶数のとき、
......[答]TOPに戻る CFV21 アーカイブ 考察のぺージ
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2012年02月26日
東大理系数学'12年前期[1]
東大理系数学'12年前期[1]
次の連立不等式で定まる座標平面上の領域Dを考える。
，
直線
は原点を通り、Dとの共通部分が線分となるものとする。その線分の長さLの最大値を求めよ。また、Lが最大値をとるとき、x軸と
のなす角θ (
)の余弦
を求めよ。
解答 x軸と
のなす角θ (
)を考えよ、というヒントがついているので、あとは計算あるのみです。
まず、領域Dの境界線について、円C：
と直線
との交点を求めると、
とおく(
より、
)と、直線
の方程式は
です。
これと円Cとの交点Pのx座標は、
∴ 
，
原点Oではない交点のx座標は、
(三角関数を参照)
より、
より、
(微分法の公式を参照)
とすると、
なので、
，
∴
∴ 
このとき、
，
，
なので、
，
より、
，
，
を、
，
，
を満たす角として、増減表は以下の通り(関数の増減を参照)。
よって、Lは、
のとき、最大値：
......[答]
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次の連立不等式で定まる座標平面上の領域Dを考える。
，は原点を通り、Dとの共通部分が線分となるものとする。その線分の長さLの最大値を求めよ。また、Lが最大値をとるとき、x軸とのなす角θ ()の余弦を求めよ。解答 x軸と
のなす角θ ()を考えよ、というヒントがついているので、あとは計算あるのみです。まず、領域Dの境界線について、円C：と直線との交点を求めると、とおく(より、)と、直線の方程式はです。これと円Cとの交点Pのx座標は、
，原点Oではない交点のx座標は、
(三角関数を参照)より、注．右図からも、
より、
より、より、 (微分法の公式を参照)とすると、なので、，∴
このとき、
，，なので、，より、，，を、，，を満たす角として、増減表は以下の通り(関数の増減を参照)。| θ |  |  |  | ||
 | ＋ | ＋ | 0 | − | − |
| L |  |  |  |
よって、Lは、
のとき、最大値： ......[答]TOPに戻る CFV21 アーカイブ 考察のぺージ
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2012年02月22日
早大理工数学'12年[5]
早大理工数学'12年[5]
xy平面上に2点A
，B
をとる。
をみたす平面上の点Pの全体と点A，Bからなる図形をFとする。次の問いに答えよ。
解答 (1)の結果は見えているので、論証することがテーマです。
として、
のとき、円周角の定理より、点Pの全体は円の一部です。円をCとします。まず、点Pが
の部分にある場合を考えます。
この円の半径をr，円の中心をDとすると、対称性からDはy軸上の点(
のときには
の部分にあり、
のときには原点O，
のときには
の部分にあります)です。
右図より、
，
，Dのy座標は
(正負は
の正負と一致します)
円Cの方程式は、
(
)の場合を除いて、
，
の場合も含めて
より、
以上より、
のとき、
∴ 
，点Pの全体は、
を中心とする半径
の円から内側です。
点Pが
の部分にある場合、上記で、円Cの半径は
のままですが、中心のy座標が
となり、円Cの方程式は、
，
，
(∵ 
)
⇔
･･･��
(円
から内側)
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xy平面上に2点A
，Bをとる。をみたす平面上の点Pの全体と点A，Bからなる図形をFとする。次の問いに答えよ。(1) Fを図示せよ。
(2) Fをx軸のまわりに1回転して得られる立体の体積を求めよ。
解答 (1)の結果は見えているので、論証することがテーマです。
(1) 
のとき、点Pの全体は線分ABです。
のとき、点Pの全体は線分ABです。として、のとき、円周角の定理より、点Pの全体は円の一部です。円をCとします。まず、点Pがの部分にある場合を考えます。この円の半径をr，円の中心をDとすると、対称性からDはy軸上の点(
のときにはの部分にあり、のときには原点O，のときにはの部分にあります)です。右図より、，，Dのy座標は (正負はの正負と一致します)円Cの方程式は、
(
円Cは、2点A，Bを通るので、
のとき、当然、
です。
のとき、
のとき、当然、です。のとき、 ()の場合を除いて、，の場合も含めてより、以上より、のとき、 ∴ ，点Pの全体は、を中心とする半径の円から内側です。点Pが
の部分にある場合、上記で、円Cの半径はのままですが、中心のy座標がとなり、円Cの方程式は、
のとき、
より、
∴ 
，点Pの全体は、
を中心とする半径
の円から内側です。注．結論は見えているので、上記で
のときの円だけを考え、
のときの点Pはその円の内側に来ることを示す、という方針も考えられます。
のときの円だけを考え、のときの点Pはその円の内側に来ることを示す、という方針も考えられます。(2) Fはx軸に関して対称な図形です。Fをx軸のまわりに1回転して得られる立体は、Fの境界線
をx軸のまわりに1回転して得られる立体で、yについて解くと、
をx軸のまわりに1回転して得られる立体で、yについて解くと、となることから、求める体積Vは、
の
，
の部分をx軸のまわりに1回転して得られる立体の体積から、
の
，
の部分をx軸のまわりに1回転して得られる立体の体積を除いて2倍したものです(x軸のまわりの回転体を参照)。
の，の部分をx軸のまわりに1回転して得られる立体の体積から、の，の部分をx軸のまわりに1回転して得られる立体の体積を除いて2倍したものです(x軸のまわりの回転体を参照)。
(
......[答](1)の別解．
をみたすxy平面上の点Pの座標を
とします。
をみたすxy平面上の点Pの座標をとします。，，余弦定理より、
(∵ )これより、
⇔
ここで、
を、素直に展開してしまうと、
･･･��ここで行き詰まってしまいます。
結論は見えているので、結論の方から考えます。点PがFの境界線となりそうな
のとき、円周角の定理から、点Pの全体は円の一部となります。この円は、2点A，Bを通るので、その半径は
，中心は、点Pがx軸から上にあるときには
，点Pがx軸から下にあるときには
で、円の方程式は、
結論は見えているので、結論の方から考えます。点PがFの境界線となりそうな
のとき、円周角の定理から、点Pの全体は円の一部となります。この円は、2点A，Bを通るので、その半径は，中心は、点Pがx軸から上にあるときには，点Pがx軸から下にあるときにはで、円の方程式は、となり、�，虜己佞魄�数分解すると、
という形が出てくることが予想できます。これを展開してみると、
となって、�，虜己佞飽戝廚靴泙后�
従って、�，茲蝓�
従って、�，茲蝓�
よって、
”
かつ 
”
かつ ”または、
”
かつ 
”
かつ ”これより、図形Fは、
(円から内側)または
”
かつ 
” (円
から内側、かつ、円
から外側)
かつ ” (円から内側、かつ、円から外側)または、
”
かつ 
” (円
から外側、かつ、円
から内側)
かつ ” (円から外側、かつ、円から内側) となります。
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2012年02月21日
早大理工数学'12年[4]
早大理工数学'12年[4]
関数
(
)について、次の問いに答えよ。
解答 問題文の式だけ見ると、膝がガクガク震えそうですが、題材は、早大理工'96年[5]でも取り上げられている「追跡線」と呼ばれる関数です。やってみると意外と大したことはありません。昨年の東大理系前期[3]の積分の問題にも類似の関数が登場します。
......[答]
(3) 点Pのx座標を
(
)とすると、y座標は
です。
(
とおきます)
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関数
()(1) 
を求めよ。
を求めよ。(2) 
のグラフの概形を描け。
のグラフの概形を描け。(3) 曲線
上を動く点をPとする。点Qは、曲線
のPにおける接線上にあり、Pとの距離が1で、そのx座標がPのx座標より小さいものとする。Qの軌跡を求めよ。
上を動く点をPとする。点Qは、曲線のPにおける接線上にあり、Pとの距離が1で、そのx座標がPのx座標より小さいものとする。Qの軌跡を求めよ。解答 問題文の式だけ見ると、膝がガクガク震えそうですが、題材は、早大理工'96年[5]でも取り上げられている「追跡線」と呼ばれる関数です。やってみると意外と大したことはありません。昨年の東大理系前期[3]の積分の問題にも類似の関数が登場します。
(1) 
(合成関数の微分法を参照)
(合成関数の微分法を参照) ......[答]
(2) (1)より、
において
で、
は
，
より、
のグラフの概形は右図。(3) 点Pのx座標を ()とすると、y座標はです。
y座標は、
(とおきます)(1)と同様にして、
は
において減少関数で、
，
より、
の部分 ......[答]TOPに戻る CFV21 アーカイブ 考察のぺージ
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2012年02月20日
早大理工数学'12年[3]
早大理工数学'12年[3]
表が出る確率がa (
)，裏が出る確率が
のコインを1枚投げる試行をn回行う。ただし
とする。このn回の試行の結果、表が2回以上出る事象を
で表す。また1回目からn回目の試行が終わるまでに、「裏→表」の順で出ない事象を
で表す。次の問いに答えよ。
解答 極限をとるあたりがややこしいのですが、等比数列の極限の基本に従って丁寧に解答しましょう。
(等比数列を参照)
......[答]
......[答]
(
で分母・分子を割る)
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表が出る確率がa (
)，裏が出る確率がのコインを1枚投げる試行をn回行う。ただしとする。このn回の試行の結果、表が2回以上出る事象をで表す。また1回目からn回目の試行が終わるまでに、「裏→表」の順で出ない事象をで表す。次の問いに答えよ。(1) 確率
，
を求めよ。
，を求めよ。(2) 確率
を求めよ。
を求めよ。(3) 極限
を求めよ。ただし、
をみたすrに対して、
となることを証明なしに用いてよい。
をみたすrに対して、となることを証明なしに用いてよい。解答 極限をとるあたりがややこしいのですが、等比数列の極限の基本に従って丁寧に解答しましょう。
の
は、n回の試行の結果、表が1回も出ない(裏ばかりn回、確率
)か、あるいは、表が1回だけ出てかつ裏が
回出る(確率
)事象です。その確率
は、∴ 
......[答]
事象
は、表が1回も出ない、か、または、表が1回目からk回目(
)まで連続して出た後、裏が
回目からn回目まで連続して出る、か、または、表ばかりn回連続して出る事象で、その確率
は、
......[答]事象
は、表が1回も出ない、か、または、表が1回目からk回目()まで連続して出た後、裏が回目からn回目まで連続して出る、か、または、表ばかりn回連続して出る事象で、その確率は、 (等比数列を参照) ......[答](2) 事象
は、事象
から、表が1回も出ない(確率
)事象と、1回目に表が出て2回目からn回目まで裏が連続して出る(確率
)事象を除いた事象で、
は、事象から、表が1回も出ない(確率)事象と、1回目に表が出て2回目からn回目まで裏が連続して出る(確率)事象を除いた事象で、より、その確率
は、
は、 ......[答](3) 
(で分母・分子を割る)
より
，よって、
のとき、
(
∴ 
......[答]
......[答]TOPに戻る CFV21 アーカイブ 考察のぺージ
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2012年02月19日
早大理工数学'12年[2]
早大理工数学'12年[2]
初項を
とし、以下の漸化式で定まる数列
を考える。
(
)ただし、
はxを越えない最大の整数を表す。次の問いに答えよ。
解答 漸化式の問題ですが、漸化式の知識を必要としない難問です。
などとして、
，
，･･･ を求めていけば、結果が見えてくるのですが、(3)がなかなかうまく説明ができず苦労させられます。
(
)，
より、
，
∴
から
，
を求めるときと同様にして、
，
，
(
，
)より、
......[答]
(
，
)のとき、
より、
より、
･･･��
･･･��
･･･��
･･･��
∴
となり、
以外に、
という場合が出てくるのですが、
なので、
(等号は、
のとき)
となり、
は、
という条件を満たしません。
また、�い如�
とすると、
の他に、
という場合が出てきますが、やはり、
という条件を満たしません。
TOPに戻る CFV21 アーカイブ 考察のぺージ
初項を
とし、以下の漸化式で定まる数列を考える。 ()はxを越えない最大の整数を表す。次の問いに答えよ。(1) 
とする。このとき、
となる最小のnを求めよ。
とする。このとき、となる最小のnを求めよ。(2) mを2以上の整数とし、
とする。このとき、
をみたすjに対して
，
をjとmで表せ。
とする。このとき、をみたすjに対して，をjとmで表せ。(3) mを2以上の整数、pを
をみたす整数とし、
とする。このとき、
となるkを求めよ。さらに、
となる最小のnを求めよ。
をみたす整数とし、とする。このとき、となるkを求めよ。さらに、となる最小のnを求めよ。解答 漸化式の問題ですが、漸化式の知識を必要としない難問です。
などとして、，，･･･ を求めていけば、結果が見えてくるのですが、(3)がなかなかうまく説明ができず苦労させられます。(1) 
のとき、
のとき、よって、
となる最小のnは、
......[答]
となる最小のnは、 ......[答](2) 
のとき、
のとき、 ()，より、，∴
から，を求めるときと同様にして、，これより、
と予測できます。以下、数学的帰納法により、予測が成立することを示します。
(��) 
のとき、
のとき、，より、予測は成り立ちます。
(��) 
(
)のとき、予測が成り立つと仮定すると、
，
となります。
()のとき、予測が成り立つと仮定すると、，となります。 (，)より、よって、
(
)のときも予測は成立します。
()のときも予測は成立します。(��)，(��)より、予測は、
を満たすjについて成立します。よって、
を満たすjについて
を満たすjについて成立します。よって、を満たすjについて ......[答](3) (2)までと同様にして数列の各項を計算してみると、
(，)のとき、より、より、 ･･･��となり、
としたときの
と比べると、
同士の差pが、
同士の差では
になり、1小さくなります。このまま、
，･･･，
と続けていくと、この差が1ずつ小さくなり、
としたときの
が、
としたときの
に近づいて行きそうです。�，汎瑛佑砲靴董⊆尊檗�
としたときのと比べると、同士の差pが、同士の差ではになり、1小さくなります。このまま、，･･･，と続けていくと、この差が1ずつ小さくなり、としたときのが、としたときのに近づいて行きそうです。�，汎瑛佑砲靴董⊆尊檗�・・・・・・
･･･��となるので、
となったとき、
となったとき、 ･･･��となります。よって、
となるkは、
......[答]
以後の項については、(2)と同様に、
とした場合を考えると、
となるkは、 ......[答]以後の項については、(2)と同様に、とした場合を考えると、となります。従って、
のときには、��より、
として、
のときには、��より、として、 ･･･��となります。但し、数列
の各項は、第n項で
になってしまうと、
の各項は、第n項でになってしまうと、となり、
となる全ての第
項は
となってしまい、�い�意味を持たなくなります。�い�意味を持つのは、
，つまり、(
)
のときです。
においては、
，
ですが、
のとき、
となる全ての第項はとなってしまい、�い�意味を持たなくなります。�い�意味を持つのは、，つまり、()のときです。においては、，ですが、のとき、となります。これより、
となる最小のnは、
......[答]
となる最小のnは、 ......[答]注．�△如�
とすると、
とすると、∴
となり、
以外に、という場合が出てくるのですが、なので、 (等号は、のとき)となり、
は、という条件を満たしません。また、�い如�
とすると、の他に、という場合が出てきますが、やはり、という条件を満たしません。TOPに戻る CFV21 アーカイブ 考察のぺージ
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2012年02月18日
早大理工数学'12年[1]
早大理工数学'12年[1]
以下の問いに答えよ。
解答 現過程では意表を突く問題と言えないこともありませんが、かつて複素数平面が入試範囲だった頃であれば易問です。
以下、iを虚数単位(
)とします。
⇔ 
⇔ 
または 
⇔
または 
は正の実数 ⇔ 
かつ 
だとすると、
を満たす実数qが存在しないので、
，つまり、
です。
よって、αは実数です。
∴ 
のときは、
かつ 
より、
つまり、
同様に、
であれば、
また、
であれば、
これより、
である整数kに対して、
が正の実数であることから、
(
は整数)
のときは、
が正の実数であることから、
(
は整数)
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以下の問いに答えよ。
(1) 複素数α，β に対して
ならば、
または
であることを示せ。
ならば、またはであることを示せ。(2) 複素数αに対して
が正の実数ならば、αは実数であることを示せ。
が正の実数ならば、αは実数であることを示せ。(3) 複素数
，
，･･･，
(nは自然数)に対して、
，･･･，
，･･･，
および
がすべて正の実数であるとする。このとき、
，
，･･･，
はすべて実数であることを示せ。
，，･･･， (nは自然数)に対して、，･･･，，･･･，およびがすべて正の実数であるとする。このとき、，，･･･，はすべて実数であることを示せ。解答 現過程では意表を突く問題と言えないこともありませんが、かつて複素数平面が入試範囲だった頃であれば易問です。
以下、iを虚数単位(
)とします。(1) p，q，r，sを実数として、
，
とします。
，とします。
(
⇔ 
または 
または 
別解．上記と実質的に同じですが、絶対値を用いれば以下のように書けます。
⇔ ⇔ または ⇔
または (2) p，qを実数として、
とします。
とします。は正の実数 ⇔ かつ だとすると、を満たす実数qが存在しないので、，つまり、です。よって、αは実数です。
(
)と表すと、
の偏角は、
(偏角argにはlogのような性質があります)です。
が正の実数だとすると、
として、 ∴ よって、αは実数です。
(3) 
となる、ある整数kに対して、
，
を実数として、
として、
と仮定します。
となる、ある整数kに対して、，を実数として、として、と仮定します。のときは、これが、正の実数であるとき、
かつ より、つまり、
同様に、
であれば、また、
であれば、これより、
∴ 
だとしても、
となるので、
となります。
いずれにしても、
とした仮定と矛盾します。よって、仮定は誤りで、
，
，･･･，
はいずれも0であって、
，
，･･･，
はすべて実数です。
だとしても、となるので、となります。いずれにしても、
とした仮定と矛盾します。よって、仮定は誤りで、，，･･･，はいずれも0であって、，，･･･，はすべて実数です。別解．上記と実質的に同じですが、偏角を用いて以下のように解答することができます。
である整数kに対して、が正の実数であることから、 (は整数)のときは、が正の実数であることから、 (は整数)これより、
・・・・・・
∴ 
よって、
，･･･，
はすべてπの整数倍となり、
，
，･･･，
は実数です。
よって、
，･･･，はすべてπの整数倍となり、，，･･･，は実数です。TOPに戻る CFV21 アーカイブ 考察のぺージ
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2012年02月17日
鳥取大医数学'11年[4]
鳥取大医数学'11年[4]
xの関数
と
を
，
により定める。このとき、次の問いに答えよ。
解答
は
の逆関数、つまり、
となるθ を意味します。(4)の
では、
となるθ を求めよ、ということなので、どうしようか、と、思いますが、(3)がヒントになります。
とすると、
とすると、
，
......[答]
として、
......[答]
TOPに戻る CFV21 アーカイブ 考察のぺージ
xの関数
とを，(1) 関数
の増減、凹凸を調べ、
のグラフの概形を描け。
の増減、凹凸を調べ、のグラフの概形を描け。(2) 
の値を求めよ。
の値を求めよ。(3) 実数x，yが
，
を満たすとき
，を満たすときが成り立つことを示せ。
(4) 
の値を求めよ。
の値を求めよ。解答
はの逆関数、つまり、となるθ を意味します。(4)のでは、となるθ を求めよ、ということなので、どうしようか、と、思いますが、(3)がヒントになります。
(1) 
(とすると、とすると、，
(2) 
とおくと、
，
のときθ：
( ......[答](3) (2)と同様に、
として、
として、として、
(∴ 
注．
は、
より、
の逆関数です。
注．
は、より、の逆関数です。(4) (2)と同様に考えると、
を求める、ということは、
と満たすθ を求める、ということです。、そのままでは無理なので、(3)を利用します。
を求める、ということは、と満たすθ を求める、ということです。、そのままでは無理なので、(3)を利用します。二重根号
を外すときと同様にして、
を外すときと同様にして、より、(3)において、
，
，
，
として、
より、
，，，として、より、 ......[答]TOPに戻る CFV21 アーカイブ 考察のぺージ
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2012年02月12日
名古屋市大芸工数学'11年[4]
名古屋市大芸工数学'11年[4]
xy平面上において、媒介変数t (
)によって
，
と表される右図の曲線について次の問いに答えよ。
解答 曲線はカージオイドです。媒介変数表示された曲線を回転させたときの回転体体積の問題です。大変な計算になりそうに見えますが、やってみると意外と簡単です。
(2次関数の最大最小を参照)
より、
，つまり、
のときに、最小値：
......[答]
，つまり、
のときに、最大値：4 ......[答]
......[答]
とおくと、
，t：
のとき、u：
，t：
のとき、u：
(積分区間を1つにまとめた)
......[答]
TOPに戻る CFV21 アーカイブ 考察のぺージ
xy平面上において、媒介変数t ()によって，と表される右図の曲線について次の問いに答えよ。(1) xの最大値、最小値を求めよ。
(2) 
を求めよ。
を求めよ。(3) この曲線で囲まれる図形をx軸のまわりに1回転してできる立体の体積を求めよ。
解答 曲線はカージオイドです。媒介変数表示された曲線を回転させたときの回転体体積の問題です。大変な計算になりそうに見えますが、やってみると意外と簡単です。
(1) 
(2次関数の最大最小を参照)より、，つまり、のときに、最小値： ......[答]，つまり、のときに、最大値：4 ......[答](2) 
(積の微分法を参照)
(積の微分法を参照) ......[答]
(
)における曲線のy座標を
，
(
)における曲線のy座標を
とします。立体の体積Vは、
を回転させた回転体の体積から、
を回転させた回転体の体積を引いたものです(
とおくと、(2)より
では、x：
のときt：
，
では、x：
のときt：
(とおくと、，t：のとき、u：，t：のとき、u： (積分区間を1つにまとめた) ......[答]TOPに戻る CFV21 アーカイブ 考察のぺージ
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2012年02月11日
筑波大数学'11年[2]
筑波大数学'11年[2]
自然数nに対し、関数
(
)を考える。
解答 (1)では、
(定積分と微分(その2)を参照)を用いて導関数を考えます。(2)は見慣れない極限ですが、はさみうちで解決できます。
......[答]
TOPに戻る CFV21 アーカイブ 考察のぺージ
自然数nに対し、関数
()(1) 関数
(
)はただ一つの点で最大値をとることを示し、
が最大となるようなxの値
を求めよ。
()はただ一つの点で最大値をとることを示し、が最大となるようなxの値を求めよ。(2) (1)で求めた
に対し、極限値
を求めよ。
に対し、極限値を求めよ。解答 (1)では、
(定積分と微分(その2)を参照)を用いて導関数を考えます。(2)は見慣れない極限ですが、はさみうちで解決できます。(1) 
(
とすると、
，
においては、
・
において、
，
，
において、，，
より、
において
は増加関数(・
において、
において、よって、
より、
において
は減少関数。
より、においては減少関数。従って、関数
(
)はただ一つの点で最大値をとり、
が最大となるようなxの値
は、
......[答]
()はただ一つの点で最大値をとり、が最大となるようなxの値は、 ......[答](2) 
より、
より、
，
より、各辺の対数を考え、ここで、
とすると、
とすると、
，
(はさみうちの原理より、
......[答]TOPに戻る CFV21 アーカイブ 考察のぺージ
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2012年02月08日
センター数学IIB '12年第4問
センター数学IIB '12年第4問
空間に異なる4点O，A，B，Cを
，
，
となるようにとり、
，
，
とおく。さらに、3点D，E，Fを、
，
，
となるようにとり、線分BDの中点をL，線分CEの中点をMとし、線分ADを3：1に内分する点をNとする。
，
･･･��
･･･��
･･･��
解答 よく前後を見渡していないと何をやっているのかわからなくなりそうな空間ベクトルの問題ですが、難解なわけではありません。計算するだけなので、落ち着いて解答しましょう。なお、空間ベクトルを参照してください。
･･･��
，
，
の係数が等しいから、
，
，
･･･��
(�イ鰺僂い�)
(�Δ鰺僂い�)
･･･��
･･･��
，
TOPに戻る CFV21 アーカイブ 考察のぺージ
空間に異なる4点O，A，B，Cを
，，となるようにとり、，，とおく。さらに、3点D，E，Fを、，，となるようにとり、線分BDの中点をL，線分CEの中点をMとし、線分ADを3：1に内分する点をNとする。(1) 
，
は
，
，
を用いて
，は，，を用いて，と表される。
(2) 2直線FL，MNが交わることを確かめよう。
とし、線分FLをs：
に内分する点をPとする。
は、sと
，
，
を用いて
とし、線分FLをs：に内分する点をPとする。は、sと，，を用いてと表される。
のとき、
となるので、M，N，Pは一直線上にある。よって、2直線FL，MNは交わることがわかる。
のとき、となるので、M，N，Pは一直線上にある。よって、2直線FL，MNは交わることがわかる。(3) 2直線FL，MNの交点をGとする。
，
は、
，
，
を用いて
，は、，，を用いてと表される。
，
，
とする。このとき、
，
となる。
次に、直線OC上に点Hをとり、実数t を用いて、
と表す。
，
は、t を用いて
，，とする。このとき、，となる。次に、直線OC上に点Hをとり、実数t を用いて、
と表す。，は、t を用いて ･･･�� ･･･��と表される。
さらに、
とする。このときのt の値を求めよう。
，
と
であることから
さらに、
とする。このときのt の値を求めよう。，とであることから ･･･��が成り立つ。� き◆き�から、
である。
である。解答 よく前後を見渡していないと何をやっているのかわからなくなりそうな空間ベクトルの問題ですが、難解なわけではありません。計算するだけなので、落ち着いて解答しましょう。なお、空間ベクトルを参照してください。
(1) 
，
，(ア) 2 (イ) 3 (ウ) 4 ......[答]
(2) 
･･･��(エ) 1 (オ) 2 (カ) 1 ......[答]
M，N，Pが一直線上にあるとき、
より、
より、，，の係数が等しいから、，，∴ 
のとき、
となります。
(キ) 2 (ク) 3 (ケ) 2 (コ) 3 ......[答]
のとき、となります。(キ) 2 (ク) 3 (ケ) 2 (コ) 3 ......[答]
(3) (2)の点Pが点Gです。�い�
として、
として、(サ) 1 (シ) 3 (ス) 2 (セ) 2 ......[答]
･･･��(ソ) 2 ......[答]
より、
より、∴ 
･･･��
(タ) 3 ......[答]
･･･��(タ) 3 ......[答]
(�イ鰺僂い�) (�Δ鰺僂い�) ･･･��(チ) 2 (ツ) 1 (テ) 6 (ト) 3 ......[答]
･･･���Α�
を用いると、
として、
を用いると、として、，∴ 
･･･��
(ナ) 3 (ニ) 2 ......[答]
� き◆き�より、
･･･��(ナ) 3 (ニ) 2 ......[答]
� き◆き�より、
∴ 
(ヌ) 1 (ネ) 3 ......[答]
(ヌ) 1 (ネ) 3 ......[答]
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2012年02月07日
センター数学IIB '12年第3問
センター数学IIB '12年第3問
を
，
である等差数列とし、自然数nに対して、
とおく。
であり、
の公差は
である。したがって
(
)
(
)である。
次に、数列
は
(
) ･･･��を満たすとする。数列
の一般項を求めよう。�，�ら
である。さらに、
に注意して、�，鰺�用すると
(
)が成り立ち、この等式は
(
)と変形できる。ここで
(
) ･･･��とおくと、
は、
，公比が
の等比数列であるから、�△砲茲�
(
)
である。ただし、
については、当てはまるものを、次の
〜
のうちから一つ選べ。
n 
解答 2次試験としても珍しいタイプの2項間漸化式が出てくる問題です。�⊆阿鯏�比数列漸化式の後に書く誘導もわかりにくく、受験生は苦労させられたことでしょう。
等差数列の公差は、
初項は、
(ア) − (イ) 1 (ウ) 3 (エ) − (オ) 2 ......[答]
(カ) − (キ) 2 (ク) 5 (ケ) 3 (コ) − (サ) 2 (シ) 3 ......[答]
�，砲�いて、
として、
より(数列の和と一般項を参照)、
∴ 
(ス) 1 ......[答]
�，砲�いて、
として、
･･･�� (Σの公式を参照)��−� �
より、
･･･��(セ) 4 (ソ) 6 (タ) 1 ......[答]
･･･��とすると、
�い犯羈咾靴董�
，
∴ 
，
(チ) 2 (ツ) 1 ......[答]
よって、�イ茲蝓�
･･･��とおくと、
よって、
は、公比：4，�Δ茲蟒藕燹�
の等比数列です。
(テ) 4 (ト) 4 ......[答]
�Δ茲蝓�
(ナ) 4 (ニ) (ヌ) 2 (ネ) 1 ......[答]
TOPに戻る CFV21 アーカイブ 考察のぺージ
を，である等差数列とし、自然数nに対して、とおく。であり、の公差はである。したがって () ()次に、数列
は () ･･･��の一般項を求めよう。�，�らである。さらに、に注意して、�，鰺�用すると () () () ･･･��は、，公比がの等比数列であるから、�△砲茲� ()である。ただし、
については、当てはまるものを、次の〜のうちから一つ選べ。 n 解答 2次試験としても珍しいタイプの2項間漸化式が出てくる問題です。�⊆阿鯏�比数列漸化式の後に書く誘導もわかりにくく、受験生は苦労させられたことでしょう。
等差数列の公差は、
初項は、
(ア) − (イ) 1 (ウ) 3 (エ) − (オ) 2 ......[答]
�，砲�いて、
として、より(数列の和と一般項を参照)、 ∴ �，砲�いて、
として、 ･･･�� (Σの公式を参照)より、 ･･･�� ･･･��， ∴ ，よって、�イ茲蝓�
･･･��は、公比：4，�Δ茲蟒藕燹�の等比数列です。(テ) 4 (ト) 4 ......[答]
(ヌ) 2 (ネ) 1 ......[答]TOPに戻る CFV21 アーカイブ 考察のぺージ
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2012年02月06日
センター数学IIB '12年第2問
センター数学IIB '12年第2問
座標平面上で曲線
をCとし、放物線
をDとする。
･･･��
･･･��
解答 最後の面積のところの答え方に驚かされますが、数学�兇糧�積分の基本問題です。
･･･��
･･･�Α�(2次関数を参照)
･･･��
，
増減表より、
で極大値：0，
で極小値：
(3次関数の増減を参照)
(シ) 0 (ス) 0 (セ) 1 (ソ) 3 (タ) 1 (チ) 2 (ツ) 7 ......[答]
のとき、�△鯔�たすaの値の個数は3。
(テ) 3 ......[答]
TOPに戻る CFV21 アーカイブ 考察のぺージ
座標平面上で曲線
をCとし、放物線をDとする。(1) 曲線C上の点P
におけるCの接線の方程式は
におけるCの接線の方程式はである。放物線Dは点Pを通り、DのPにおける接線と、CのPにおける接線が一致するとする。このとき、pとqをaを用いて表すと
･･･��となる。
以下、p，qは�，鯔�たすとする。
以下、p，qは�，鯔�たすとする。
(2) 放物線Dがy軸上の与えられた点Q
を通るとき
を通るとき ･･･��が成り立つ。与えられたbに対して、�△鯔�たすaの値の個数を調べよう。
そのために、関数
そのために、関数
の増減を調べる。関数
は、
で極小値
をとり、
で極大値
をとる。
関数
のグラフをかくことにより、
のとき、�△鯔�たすaの値の個数は
であることがわかる。
は、で極小値をとり、で極大値をとる。関数
のグラフをかくことにより、のとき、�△鯔�たすaの値の個数はであることがわかる。(3) 放物線Dの頂点がx軸上にあるのは、
の二つの場合である。
のときの放物線を
，
のときの放物線を
とする。
，
とx軸で囲まれた図形の面積は
である。
の二つの場合である。のときの放物線を，のときの放物線をとする。，とx軸で囲まれた図形の面積はである。解答 最後の面積のところの答え方に驚かされますが、数学�兇糧�積分の基本問題です。
C：
･･･��
D：
･･･��
･･･��D：
･･･��(1) ��を微分して、
P
における接線は、
における接線は、(ア) 2 (イ) 2 (ウ) 3 ......[答]
�い鯣�分して、
DのPにおける接線と、CのPにおける接線が等しいとき、両者の
におけるy座標と接線の傾きが等しく、
�い鯣�分して、
DのPにおける接線と、CのPにおける接線が等しいとき、両者の
におけるy座標と接線の傾きが等しく、 ･･･��これより、
�イ紡綟�して、
∴ 
(エ) 2 (オ) 2 (カ) − (キ) 2 (ク) 2 ......[答]
(エ) 2 (オ) 2 (カ) − (キ) 2 (ク) 2 ......[答]
(2) 放物線Dは、
･･･�Α�(2次関数を参照)Q
を通るので、
を通るので、 ･･･��(ケ) − (コ) 2 (サ) 2 ......[答]
，| x | 0 |  | |||
 | − | 0 | ＋ | 0 | − |
 | | 0 | | 0 | |
増減表より、
で極大値：0，で極小値： (3次関数の増減を参照)(シ) 0 (ス) 0 (セ) 1 (ソ) 3 (タ) 1 (チ) 2 (ツ) 7 ......[答]
のとき、�△鯔�たすaの値の個数は3。(テ) 3 ......[答]
(3)�Δ茲蝓�
放物線Dの頂点がx軸上にあるとき、
∴ 
(ト) 0 (ナ) 4 (ニ) 9 ......[答]
のとき、
(ト) 0 (ナ) 4 (ニ) 9 ......[答]
のとき、放物線
：
のとき、
：のとき、より、放物線
は
をx軸正方向に、
だけ平行移動した放物線で、
はをx軸正方向に、だけ平行移動した放物線で、
，
とx軸で囲まれた図形の(ヌ) 4 (ネ) 1 (ノ) 0 ......[答]
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2012年02月05日
センター数学IIB '12年第1問
センター数学IIB '12年第1問
･･･��
･･･��
解答 対数の底が1より小さい場合も考えますが、この問題は落とせません。
真数は正であるから、
かつ 
∴
･･･��
(ア) 2 (イ) 8 ......[答]
のとき、�，茲蝓�
(ウ) 1 (エ) 7 (オ) 6 (カ) 6 (キ) ......[答]
∴ 
��と合わせて、
(ク) 6 (ケ) 8 ......[答]
のとき、
∴ 
，
��と合わせて、
(コ) 2 (サ) 6 ......[答]
，
，
解答 後半部分がややこしいですが、2つの場合に分けて、ていねいに解答しましょう。なお、三角関数を参照してください。
のとき
より、
(三角関数を含む方程式・不等式を参照)
より、
∴ 
(シ) 6 (ス) 5 ......[答]
のとき、
，
より、
∴ 
，
(セ) 4 (ソ) 2 (タ) 3 ......[答]
のとき、
，
より、
∴
，
(チ) 4 (ツ) 2 (テ) 5 ......[答]
のとき、
より、
･･･��
のとき、
より、
･･･��従って、
のとり得る値の範囲は、� き△茲蝓�
(ト) 3 (ナ) 8 (ニ) 1 (ヌ) 1 (ネ) 8 ......[答]
このとき、
は、
のとき、つまり、�，諒�なので、
，
のとき、最大値：
をとります。
(ノ) 3 (ハ) 2 (ヒ) 2 (フ) ......[答]
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[1] 
，
として、不等式
，として、不等式 ･･･��を満たすxの値の範囲を求めよう。
真数は正であるから、
が成り立つ。ただし、対数
に対し、aを底といい、bを真数という。
底aが
を満たすとき、不等式��
真数は正であるから、
が成り立つ。ただし、対数に対し、aを底といい、bを真数という。底aが
を満たすとき、不等式�� ･･･��となる。ただし、
については、当てはまるものを、次の〜のうちから一つ選べ。
したがって、真数が正であることと�△�ら、
のとき、不等式�，鯔�たすxのとり得る値の範囲は
である。
同様にして、
のときには、不等式�，鯔�たすxのとり得る値の範囲は
であることがわかる。
については、当てはまるものを、次の〜のうちから一つ選べ。 したがって、真数が正であることと�△�ら、
のとき、不等式�，鯔�たすxのとり得る値の範囲はである。同様にして、
のときには、不等式�，鯔�たすxのとり得る値の範囲はであることがわかる。解答 対数の底が1より小さい場合も考えますが、この問題は落とせません。
真数は正であるから、
かつ ∴
･･･��(ア) 2 (イ) 8 ......[答]
のとき、�，茲蝓� ......[答]��と合わせて、
(ク) 6 (ケ) 8 ......[答]
のとき、，��と合わせて、
(コ) 2 (サ) 6 ......[答]
[2] 
として
としてを満たすβ について考えよう。ただし、
とする。
たとえば、
のとき、β のとり得る値は
と
の二つである。
このように、αの各値に対して、β のとり得る値は二つある。そのうちの小さい方を
，大きい方を
とし
とする。たとえば、
のとき、β のとり得る値はとの二つである。このように、αの各値に対して、β のとり得る値は二つある。そのうちの小さい方を
，大きい方をとしが最大となるαの値とそのときのyの値を求めよう。
，
をαを用いて表すと、
のときは
，をαを用いて表すと、のときは，となり、
のときは
のときは，となる。
したがって、
のとり得る値の範囲は
したがって、
のとり得る値の範囲はである。よって、yが最大となるαの値は
であり、そのときのyの値は
であることがわかる。
に当てはまるものを、次の〜のうちから一つ選べ。
1 
であり、そのときのyの値はであることがわかる。に当てはまるものを、次の〜のうちから一つ選べ。 1 解答 後半部分がややこしいですが、2つの場合に分けて、ていねいに解答しましょう。なお、三角関数を参照してください。
のときより、 (三角関数を含む方程式・不等式を参照)より、(シ) 6 (ス) 5 ......[答]
のとき、，より、，(セ) 4 (ソ) 2 (タ) 3 ......[答]
のとき、，より、∴
，(チ) 4 (ツ) 2 (テ) 5 ......[答]
のとき、より、 ･･･��のとき、より、 ･･･��のとり得る値の範囲は、� き△茲蝓�このとき、
は、のとき、つまり、�，諒�なので、，をとります。(ノ) 3 (ハ) 2 (ヒ) 2 (フ)
......[答]TOPに戻る CFV21 アーカイブ 考察のぺージ
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