2008年07月17日
東工大数学'02年前期[1](再掲)
東工大数学'02年前期[1]
実数aに対し、積分
を考える。
の最小値を求めよ。
解答 絶対値記号を含む関数の積分では、絶対値記号の内側が0以上か、0以下かで、積分区間を分けて計算する必要があります。なお、三角関数を参照してください。
絶対値記号の内側について、
としてみると、
においては、
なので、
でくくって、
⇔
において、
は単調増加で、
です。
従って、aが
を満たす実数の場合には、
の範囲内に
となるxが存在します(中間値の定理を参照)。
このxをq とします。
となります。
，
より、
∴
(
)
より、
(
)
∴
(微分の公式を参照)
，
(i), (ii), (iii)より、
の最小値は、
......[答]
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実数aに対し、積分
の最小値を求めよ。解答 絶対値記号を含む関数の積分では、絶対値記号の内側が0以上か、0以下かで、積分区間を分けて計算する必要があります。なお、三角関数を参照してください。
絶対値記号の内側について、
としてみると、においては、なので、でくくって、⇔
において、は単調増加で、です。従って、aが
を満たす実数の場合には、の範囲内にとなるxが存在します(中間値の定理を参照)。このxをq とします。
となります。(i) 
のとき
のとき・
においては、
においては、つまり、
∴
∴
・
においては、
においては、つまり、
∴
∴
と
とで分けて、
(，より、∴
()より、 ()∴
(微分の公式を参照)
とすると、
(
)
，(ii) 
のときには、
においては
より、
のときには、においてはより、よって、
これはaに関して単調増加なので、
(iii) 
のときには、
においては
より、
のときには、においてはより、よって、
これはaに関して単調減少なので、
(i), (ii), (iii)より、
の最小値は、 ......[答]TOPに戻る CFV21 メイン・ページ 考察のぺージ
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Posted by cfv21 at 14:27
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