2008年07月17日
東工大数学'02年前期[2](再掲)
東工大数学'02年前期[2]
楕円
の外部の点P
から引いた2本の接線が直交するような点Pの軌跡を求めよ。
解答 受験生にはおなじみの頻出パターン問題です。
楕円の方程式の分母を払うと、
･･･��この楕円に、点P
から引いた2本の接線は、
の場合には、
･･･��の形に書くことができます。
の場合には2本の接線の片方がx軸に垂直になるのですが、この場合については、最後に考えることにします。
の場合、�△鯤儼舛靴董�
これを�，紡綟�します。以後の式変形では、
を一くくりにして行うようにしてください。
展開して整理すると、
･･･��これをxに関する2次方程式と見なすと、�，鉢△論椶垢襪里如↓�は重解をもちます。
整理すると、
これをmに関する2次方程式と見て、
･･･��と変形します。
楕円には点Pから2本の接線が引けるのですが、これは、2次方程式�い�2つの異なる解
，
をもつことを意味しています。
題意では、この2本の接線は直交すると言っています。
2本の接線の傾きは�い硫髻�
，
ですが、直交するので、
が成り立ちます(2直線の平行・垂直を参照)。
これは、�い�2解の積が
だと言っているわけで、解と係数の関係を用いて、
(ここでは
です)分母を払って整理すると、
･･･��これは、点P
が原点を中心とする半径5の円周C上の点であることを意味しています。
はじめの方で、
の場合を別扱いにしていましたが、
のとき、2本の接線が垂直になるのは、
、つまり
のときです。この場合も
は�イ鯔�たすので、点P
は円周C上の点であって、これで、円周C上の点全てになります。
以上より、点Pの軌跡は、原点を中心とする半径5の円周 ......[答]
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楕円
の外部の点Pから引いた2本の接線が直交するような点Pの軌跡を求めよ。解答 受験生にはおなじみの頻出パターン問題です。
楕円の方程式の分母を払うと、
･･･��から引いた2本の接線は、の場合には、 ･･･��の場合には2本の接線の片方がx軸に垂直になるのですが、この場合については、最後に考えることにします。の場合、�△鯤儼舛靴董�を一くくりにして行うようにしてください。 ･･･����の判別式：
(2次方程式の一般論を参照)
展開します。 (2次方程式の一般論を参照) ･･･��楕円には点Pから2本の接線が引けるのですが、これは、2次方程式�い�2つの異なる解
，をもつことを意味しています。題意では、この2本の接線は直交すると言っています。
2本の接線の傾きは�い硫髻�
，ですが、直交するので、が成り立ちます(2直線の平行・垂直を参照)。これは、�い�2解の積が
だと言っているわけで、解と係数の関係を用いて、 (ここではです) ･･･��が原点を中心とする半径5の円周C上の点であることを意味しています。はじめの方で、
の場合を別扱いにしていましたが、のとき、2本の接線が垂直になるのは、、つまりのときです。この場合もは�イ鯔�たすので、点Pは円周C上の点であって、これで、円周C上の点全てになります。以上より、点Pの軌跡は、原点を中心とする半径5の円周 ......[答]
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Posted by cfv21 at 14:28
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