2008年07月19日

東工大物理'02年前期[3](再掲)

東工大物理'02年前期[3]
　質量mの小球の両側に自然長がのゴムひも1とのゴムひも2の一端をつなぎ、図のようにこの小球を水平に置かれた長さLの真っ直ぐなレールの上に置く。2本のゴムひもの他端は、レールの両端に固定された支柱につないだ。このときいずれのゴムひもも自然長よりも伸びていた。ゴムひもを自然長から引き伸ばすとに比例する復元力が働く。復元力の比例定数は、ゴムひも1ではk，ゴムひも2ではである。図のようにつりあいの位置をx軸の原点とし、ゴムひも2のある右方向をx軸の正の向きとして小球の位置をxで表すものとする。なお、小球は、レールの上を摩擦なく運動するものとし、たるんだゴムひもにより運動が妨げられることはないものとする。また、ゴムひもの質量は無視できるものとする。

[A]　小球が原点にある場合について考える。
(a) ゴムひも1と2のそれぞれの自然長からの伸びとを求めよ。

[B]　小球をxまで変位させたとき小球が2本のゴムひもから受ける合力Fを考える。なお、力Fの符号は、x軸の向きと同様に右向きを正とする。
(b) Fとxの関係を表すグラフをの領域について示せ。なお、この範囲の変位では、小球は支柱にぶつからないものとする。また、答案用紙のグラフでは、変位と力の単位をそれぞれ，として表していることに注意せよ。また、特徴的な点の座標については、その数値をグラフ中に記入せよ。

[C]　小球を ()で静かに放した場合の小球の運動を考える。
(c) 小球の加速度をaとして小球に対する運動方程式を導き、運動の周期Tを求めよ。なお、加速度aの符号は、x軸の向きと同様に右向きを正とする。

[D]　小球をで静かに放した場合の小球の運動について以下の問いに答えよ。なお、以下の問いでは、必要な場合には、を用いて解答せよ。
(d) 小球がx軸の負の領域にある場合に、変位の絶対値が最大となる小球の座標を求めよ。
(e) 以上の考察にもとづいて次の文章中の�，�ら�Г�　　に当てはまる適当な式、または、数値を解答欄に記入せよ。
小球はx≧ �� の領域では、x＝ �� を中心とする振幅 �� で周期T＝ �� の単振動の一部となる運動をする。また、x≦ �� の領域では、x＝ �� を中心とする振幅 �� ，周期T= �� の単振動の一部となる運動をする。全体として両者が、x＝ �� で滑らかに接続されたものとなる。
解答　[A](a) つり合いの位置で小球に働く力は、x軸正方向にゴムひも2の張力，x軸負方向にゴムひも1の張力，この2力の力のつり合いより、 ･･･��
ゴムひもの長さについて、 ･･･��
�，茲蝓�，�△紡綟�して、
∴ ， ......[答]

[B](b) では、ゴムひも2はたるみます。では、ゴムひも1がたるみます。従って、，，の3つの領域で分けて考える必要があります。
(i) のとき、ゴムひも2はたるみ、ゴムひも1の伸びはです。たるんだゴムひも2は力を及ぼさず。ゴムひも1の張力はx軸負方向を向きます。よって、
(ii) のとき、ゴムひも1の伸びは，ゴムひも2の伸びはです。ゴムひも1の張力はx軸負方向、ゴムひも2の張力はx軸正方向を向きます。よって、
(iii) のとき、ゴムひも1はたるみ、ゴムひも2の伸びはです。ゴムひも2の張力はx軸正方向を向きます。よって、

のとき、，のとき、，のとき、，のとき、
以上より、Fとxの関係を表すグラフは右図。

[C](c) 小球を ()で静かに放した場合、放した直後においては、小球はの領域にいるので、[B](b)の(ii)より、小球にはという力が働きます。よって、小球の運動方程式は、
∴
これは、角振動数の単振動を表します。振動中心はで、で放しているので振幅はとなり、の範囲で単振動します。この範囲は、[B](b)(ii)の範囲に完全に含まれるので、求める運動の周期は、 ......[答]

[D](d) 小球の位置がにある間は、[B](b)(i)より、小球に働く力はで、運動方程式は、
∴
これは、角振動数の単振動を表します。このときの周期はです。振動中心はで、で放しているので振幅はとなります。小球がx軸負方向に向かって動いていくと、の範囲から出てしまいます。
小球はで静かに放したとき、位置エネルギーを持っています。
まで来たときには、ゴムひも1の伸びはとなり、位置エネルギーは
従って、このときの運動エネルギーは、力学的エネルギー保存より、
∴

の範囲においては、[C](c)で見たように、小球は、を振動中心とする角振動数の単振動を行います。周期はです。
に来たときの位置エネルギーは、[B](b)(ii)よりばね定数をと考えて、となります。
運動エネルギーはのまま変わらないので、このとき全力学的エネルギーは、
小球が仮にまで来たとすると、位置エネルギーはとなりますが、を超えてしまうので、小球はに到達できません。
において変位の絶対値が最大となるとき()の振動中心からの距離はです。このときの位置エネルギーは、，このとき運動エネルギーは0 (一瞬静止する)なので、力学的エネルギー保存より、
より、 ......[答]
つまり、このときの単振動の振幅はです。

(e) 上記の考察より、
小球はx≧ ......�� の領域では、x＝ ......�� を中心とする振幅 ......�� で周期T＝ ......�� の単振動の一部となる運動をする。また、x≦ ......�� の領域では、x＝ 0 ......�� を中心とする振幅 .....�Α�周期 ......�� の単振動の一部となる運動をする。全体として両者が、x＝ ......�� で滑らかに接続されたものとなる。

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