2008年07月20日
京大理系数学'06年前期[5](再掲)
京大理系数学'06年前期[5]
に対し、辺AB上に点Pを、辺BC上に点Qを、辺CA上に点Rを、頂点とは異なるようにとる。この3点がそれぞれの辺上を動くとき、この3点を頂点とする三角形の重心はどのような範囲を動くか図示せよ。
解答 平面ベクトルの問題です。ベクトルの内分・外分、平面ベクトルの応用を参照してください。三角形の重心をGとして、
を2つのベクトル
，
を使って表すことにより重心の存在範囲を考えます。
正答を求めるだけなら簡単ですが、きちんと論証するのはなかなか難しい問題です。
Pは辺AB上の頂点とは異なる点だから、
として、
･･･��とおくことができます。
Qは辺BC 上の頂点とは異なる点だから、
として、
･･･��とおくことができます。
Rは辺CA上の頂点とは異なる点だから、
として、
･･･��とおくことができます。
三角形PQRの重心をGとして、
，
･･･��とおくと、
･･･��
さて、k，l，mについて、
，
，
･･･��という条件がありますが、�い涼罎謀仂譴垢襦�
，
については、
，
･･･��という制限がつきます。
しかし、�Г鯔�たすようなk，l，mをとって、例えば、
，
としても�Г亘�たされますが、
，
とすると、前者より
，後者より
となってしまって、�Δ鯔�たすようなk，l，mをとることができません(題意を満たす三角形PQRを作ることができない)。
つまり、�Г世韻任蓮⊂魴鑄埖�なのです。そこで、�Г望魴錣魏辰┐董△海両魴錣�満たされれば、�Δ鯔�たすk，l，mの組が必ず存在するようにします。
�い如�
を考えるとlが消えて
が出てくるので、
の取り得る値を考え、�Г法�
という条件を加え、
，
，
･･･��とします。
�┐鯔�たすk，l，mをとると、第2式と、第3式から、
，
となりますが、mを
を満たすどのような値にしても、�┐梁�1式と�Δ鬚垢戮橡�たすような、k，lをとることができます(�┐両魴錣鯔�たすk，l，mの組が1組でも存在すれば題意を満たす三角形PQRを作ることができます)。
より、
より、
より、
右図で、辺ABを3等分する点をA側から、D，Hとします。
辺BCを3等分する点をB側から、E，Iとします。
辺CAを3等分する点をC側から、F，Jとします。
�ゼ阿把蠅瓩訶�Gについて、
を満たすのは、
より、直線AC上の点。
を満たすのは、
より、直線HE上の点。
よって、
を満たすのは、直線ACと直線HEに挟まれた部分(両直線上を除く)。
を満たすのは、直線AB上の点。
を満たすのは、直線FI上の点。
よって、
を満たすのは、直線ABと直線FIに挟まれた部分(両直線上を除く)。
を満たすのは、直線BC上の点。
を満たすのは、直線DI上の点。
よって、
を満たすのは、直線BCと直線DIに挟まれた部分(両直線上を除く)。
以上より、求める範囲は、右図斜線部の六角形DHEIFJの内部(境界線は含まない)。 ......[答]
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に対し、辺AB上に点Pを、辺BC上に点Qを、辺CA上に点Rを、頂点とは異なるようにとる。この3点がそれぞれの辺上を動くとき、この3点を頂点とする三角形の重心はどのような範囲を動くか図示せよ。解答 平面ベクトルの問題です。ベクトルの内分・外分、平面ベクトルの応用を参照してください。三角形の重心をGとして、
を2つのベクトル，を使って表すことにより重心の存在範囲を考えます。正答を求めるだけなら簡単ですが、きちんと論証するのはなかなか難しい問題です。
Pは辺AB上の頂点とは異なる点だから、
として、 ･･･��Qは辺BC 上の頂点とは異なる点だから、
として、 ･･･��Rは辺CA上の頂点とは異なる点だから、
として、 ･･･��三角形PQRの重心をGとして、
， ･･･�� ･･･��さて、k，l，mについて、
，， ･･･��，については、， ･･･��しかし、�Г鯔�たすようなk，l，mをとって、例えば、
，としても�Г亘�たされますが、，，後者よりとなってしまって、�Δ鯔�たすようなk，l，mをとることができません(題意を満たす三角形PQRを作ることができない)。つまり、�Г世韻任蓮⊂魴鑄埖�なのです。そこで、�Г望魴錣魏辰┐董△海両魴錣�満たされれば、�Δ鯔�たすk，l，mの組が必ず存在するようにします。
�い如�
を考えるとlが消えてが出てくるので、の取り得る値を考え、�Г法�，， ･･･���┐鯔�たすk，l，mをとると、第2式と、第3式から、
，を満たすどのような値にしても、�┐梁�1式と�Δ鬚垢戮橡�たすような、k，lをとることができます(�┐両魴錣鯔�たすk，l，mの組が1組でも存在すれば題意を満たす三角形PQRを作ることができます)。より、より、より、右図で、辺ABを3等分する点をA側から、D，Hとします。
辺BCを3等分する点をB側から、E，Iとします。
辺CAを3等分する点をC側から、F，Jとします。
�ゼ阿把蠅瓩訶�Gについて、
を満たすのは、より、直線AC上の点。を満たすのは、より、直線HE上の点。よって、を満たすのは、直線ACと直線HEに挟まれた部分(両直線上を除く)。を満たすのは、直線AB上の点。を満たすのは、直線FI上の点。よって、
を満たすのは、直線ABと直線FIに挟まれた部分(両直線上を除く)。を満たすのは、直線BC上の点。を満たすのは、直線DI上の点。よって、
を満たすのは、直線BCと直線DIに挟まれた部分(両直線上を除く)。以上より、求める範囲は、右図斜線部の六角形DHEIFJの内部(境界線は含まない)。 ......[答]
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