2008年08月13日

早大理工数学'05年[1](再掲)

早大理工数学'05年[1]
4点O，A，B，Cを頂点とする四面体を考える。ただし、とする。以下の問に答えよ。
(1) の面積を求めよ。
(2) の内接円の中心の座標を求めよ。
(3) 四面体OABCの各面に接する球の中心の座標を求めよ。
解答　(1) 　(空間ベクトルを参照)
よって、の面積Sは、
......[答]　(三角形の面積の公式を参照)

(2) に内接する円は、OA，OB，ABの3辺に接するので、求める円の中心をD，半径をrとすると、DとOA，OB，ABとの距離はいずれもrです。Dの座標はです。このとき、の面積は，，の面積の和です。
の面積は
，，の面積は、それぞれ、，，，よって、
∴
円の中心の座標は、 ......[答]

[別解]　DからOA，OB，ABに下ろした垂線の足を、H，I，Jとすると、です。，とおくと、
･･･�　� ･･･�◆� ･･･��
�　椨△鮑遒蝓↓�を代入すると、
∴

(3) 四面体OABCの各面に接する球は、yz平面，zx平面，xy平面のいずれとも接するので、球の中心をE，半径をrとすると、Eとyz平面，zx平面，xy平面との距離はいずれもrです。Eの座標はです。このとき、四面体OABCの体積の和は、四面体EOAB，四面体EOBC，四面体EOAC，四面体EABCの体積の和です。
四面体OABCの体積は、底面のの面積が，高さcの三角錐の体積で、
四面体EOABの体積は、底面のの面積が，高さrの三角錐の体積で、
四面体EOBCの体積は、底面のの面積が，高さrの三角錐の体積で、
四面体EOACの体積は、底面のの面積が，高さrの三角錐の体積で、
四面体EABCの体積は、底面のの面積が(1)より，高さrの三角錐の体積で、
よって、
∴


球の中心の座標は、
......[答]

(2)を次のように考えることもできます。
xy平面上において、2点A，Bを通る直線は、と表せます。abをかけて、
円の中心と直線ABとの距離はrです。点と直線の距離の公式を利用して、
･･･��
�い寮簑价裕�号の内側は負です。なぜなら、，なので、点と原点はともに、直線ABの下側にあって、同じ側にあるからです。よって、
∴

同様にして(3)も次のように考えることができます。
xyz空間において、3点A，B，Cを通過する平面pは、と表せます。abcをかけて、
球の中心と平面pとの距離は、点と平面との距離の公式(点と直線の距離の公式を参照)を利用して、
，，なので、点と原点が平面pに関して同じ側にあることを考えると、絶対値記号内は負です。よって、
∴

追記：(2)と(3)は半径を聞けばいいだろうにね！解答が1行に入りきらないので乞了承。

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Posted by cfv21 at 19:39│Comments(0)│TrackBack(0)
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