CHALLENGE from the VOID:立教大理物理'08年[3]（その１）　－理工系大学入試問題研究(東大・東工大・京大・早慶)

2008年11月24日

立教大理物理'08年[3]（その１）

立教大理物理'08年[3]

次の文1，2を読み、下記の設問A～Dに答えよ。

1．一端を閉じた底面の半径が

のガラス管を水銀で満たし、図1に示すように、上端をひもでつり下げて水銀の入った容器中に倒立させた。このとき、ガラス管の下側の底面と容器の底は離れており、ガラス管の内側上方に水銀で満たされていない空間ができた。この空間はトリチェリの真空と呼ばれ、水銀の蒸気で満たされているが、ここでは、この空間の圧力を0とみなしてよいものとする。また、ガラス管の質量と肉厚は無視できるものとし、重力加速度を

，水銀の密度を

，円周率を3.14とする。

ガラス管内外の水銀面の高さの差が

であったとすれば、このときの大気圧が　イ　

であることがわかる。また、ひもの張力の大きさは、ガラス管の上面に上下からかかる圧力の差から求めることができ、その値は　ロ　

である。

2．図2(状態1)に示すように、底面積Sの断熱容器内に、体積が

の単原子分子理想気体と、体積は同じ

の液体が密封されている。この液体の中に、片側の底面だけが閉じた円筒容器が、開いた底面を下にして置かれている。この容器の底面積は

，体積は

であり、肉厚、質量および熱容量は無視できるとする。円筒容器の上面の中心に取り付けられた質量が無視できるひもが、断熱容器の上面の中心から外部に引き出されている。断熱容器の上面内側には、電流を流すことによって気体を加熱、冷却できる熱電素子が取り付けられている。熱電素子の体積および熱容量は無視できるものとする。

気体と液体の間に熱の移動はなく、液体の蒸発や体積変化は無視できるものとし、重力加速度をgとする。図2(状態Ⅰ)において円筒容器は液体で満たされており、気体の圧力は

であった。このとき、円筒容器上面に内側から上向きに働く液体の圧力は、外側から下向きに働く気体の圧力とつりあっており、ひもの張力は0である。
熱電素子を作動しないでひもに外力を加え、図3(状態Ⅱ)のように、円筒容器の上面と外側の液面との高さの差が

になるまで、円筒容器を静かに引き上げた。このとき、円筒容器は液体で満たされており、ひもの張力の大きさは

であった。これは、円筒容器上面に内側から働く圧力が0であることを示しているから、液体の密度が　あ　であることがわかる。また、状態Ⅰから状態Ⅱに変化する過程で気体の体積は変化していないため、気体は仕事をしておらず、外力により円筒容器の外側の体積　ⅰ　の液体が、高さ　ⅱ　持ち上げられたと考えることができる。よって、この間外力がした仕事は　ⅲ　であることがわかる。
次に、気体の温度が変化しないように熱電素子を作動しながらひもに外力を加え、円筒容器を静かに引き上げた。図4(状態Ⅲ)のように、円筒容器の上面と外側の液面との高さの差が

になったとき、ひもの上端を固定して円筒容器の動きを止めると同時に、熱電素子を止めた。このとき、円筒容器上部には圧力が0である真空の空間ができた。状態Ⅲにおける、円筒容器内外の底面の高さの差を

とすれば、このときの気体圧力

および体積

は、

　い　および、

　う　と表すことができる。これらの関係式を使えば

を求めることができ、

　え　

となる。
ひもの上端を固定したまま熱電素子を作動すると、円筒容器内の液面が静かに上昇した。図5のように円筒容器内の液面が、円筒容器の上面に達した瞬間の状態を状態Ⅳとする。状態Ⅲから状態Ⅳに変化する過程で気体がした仕事は　お　であり、熱電素子から気体に加えられた熱量は　か　である。
さらに熱電素子を作動して気体を加熱した。状態Ⅲとの温度差が、状態Ⅳと状態Ⅲとの温度差の2倍になったときの状態を状態Ⅴとする。状態Ⅳから状態Ⅴに変化する過程で、熱電素子から気体に加えられた熱量は　き　であり、状態Ⅴにおけるひもの張力の大きさは、状態Ⅳのときと比較して　く　。

A．文中の空所　イ　，　ロ　にあてはまるもっとも近い数値を、それぞれ対応するa～fから1つずつ選べ。

　イ　　a．