2009年01月05日
愛媛大理数学'08年[5](その１)
愛媛大理数学'08年[5]
行列A，E，Oを
，
，
とする。ここで、a，b，c，dは実数で、ある実数kに対して、
，
をみたしている。
解答 固有値重解型の行列の累乗の問題です。素直に対角化したり、スペクトル分解したりするのでは解決できないので、特殊な技巧が必要になります。本問では、(2)でその技巧が提示されていて、(2)を利用して
を求めることになります。
･･･��
(つまり、
と
は積について交換できる)
･･･��
......[答]
追記．固有値重解型の行列の累乗の問題を初めて見る受験生には、(2)の別解は、あまりに技巧的と映るかも知れませんが、最近少なくなったとは言っても、ポピュラーで古典的な技巧なので、スペクトル分解の形と見比べながら頭に入れておいてください。例えば、早大理工'92[1]：
とする。条件
，
をみたす整数a，b，c，dを成分とする行列
を適当に選ぶとき、
が成り立つ。このとき、
では、(1)は、実質的に整数問題なので、
の左からPをかけて、
∴
，
，
，
･･･��
第3式より、
･･･��
これを第1式×
に代入すると、
より、
∴
......[答]
�△茲蝓�
�，梁�4式より、
，
これと
より、
とyは2の約数ですが、
より、こうなるのは、
，
のときのみです。
......[答]とすることになりますが、(2)は、(1)と無関係に、
さて、2008年度の入試問題で、言わば「行列の漸化式」を考えるようになっている問題が目に付くので、まとめておくことにします。以下、
，B，C，D，P，Qを2次の正方行列、Eを2次の単位行列として考えることにします。
という漸化式は、言ってみれば、公比Bの等比「行列」列のようなものですが、これは、数列と同じく、一般項
は
です。
2項間漸化式：
･･･��
は、数列の場合と同様に、
と
をDに置き換えた
･･･��
を考えると、
従って、
が存在すれば、
として、� 櫚△鮑遒襪函�
「行列」列
は、公比Bの等比「行列」列なので、
∴
となり、
を行列の累乗の問題として求めれば、数列の場合と全く同様にして解答できます。
が存在しない場合は、数列の場合のようには行きません。
として、�，旅猗峭罎�1つずつ小さくしてBを順次かけた式を作り、
･･････
これらを足し合わせると、両辺の
，
，･･･，
が消し合って、
(
)
が存在しないとき、Bは固有値1をもっています。もう1つの固有値をuとして
であれば、
，
を解き、
，
，
，
，
(スペクトル分解を参照)より、
(
)
∴
(
)
となります。
固有値1が重解になっている(
)場合は、本問愛媛大(2)の結果を用いて、
∴
(
)
3項間漸化式：
･･･��
では、
かつ
が存在すれば、��を、
･･･��
･･･��
と2通りに書き換えて、
が公比Cの「行列」列であることから、
･･･��
が公比Bの「行列」列であることから、
･･･��
�Α櫚Г箸靴�
を左からかけることにより、
と、数列と同様に求めることができます。
のときには�イ郎遒譴泙垢��い�成立しません。�Г六箸┐襪里如�
が存在しない場合も含めて以下のようにします(このタイプの問題は、山口大医'08年[4]を参照)。
として、�Г旅猗峭罎�1つずつ小さくしてCをかけた式を順次作り、
･･････
これらを足し合わせると、左辺の
，
，･･･，
が消し合って、
∴
(
)
，
の形を求めれば、
を求めることができます。
その２へつづく
行列A，E，Oを
，，，(1) 
を示せ。
を示せ。(2) 
とおく。自然数nに対して、
とおく。自然数nに対して、が成り立つことを示せ。
(3) 
のとき、
(nは自然数)を求めよ。
のとき、 (nは自然数)を求めよ。解答 固有値重解型の行列の累乗の問題です。素直に対角化したり、スペクトル分解したりするのでは解決できないので、特殊な技巧が必要になります。本問では、(2)でその技巧が提示されていて、(2)を利用して
を求めることになります。
，
より、 ･･･��よって、
(2) 数学的帰納法により示します。
(��) 
のとき、
のとき、より、成り立ちます。
(��) 
のとき、
のとき、が成り立つと仮定します。この両辺に左からAをかけて、
�，茲蝓�
なので、
なので、よって、
のときにも成り立ちます。
のときにも成り立ちます。(��)，(��)より、自然数nに対して、
が成り立ちます。
が成り立ちます。別解 
と書けて、
と書けて、 (つまり、とは積について交換できる)ので、二項定理より、
･･･��(1)より、
なので、
のとき、
なので、のとき、です。これより、�△任蓮�
，
のところだけが生き残って、
，のところだけが生き残って、(3) 
のとき、ハミルトン・ケーリーの定理より、
のとき、ハミルトン・ケーリーの定理より、となるので、(1)の
の場合になります。
の場合になります。また、(2)の結果で
とすることにより、
とすることにより、 ......[答]追記．固有値重解型の行列の累乗の問題を初めて見る受験生には、(2)の別解は、あまりに技巧的と映るかも知れませんが、最近少なくなったとは言っても、ポピュラーで古典的な技巧なので、スペクトル分解の形と見比べながら頭に入れておいてください。例えば、早大理工'92[1]：
とする。条件，をみたす整数a，b，c，dを成分とする行列を適当に選ぶとき、が成り立つ。このとき、(1) x，yを求めよ。
(2) 
(
)を求めよ。
()を求めよ。では、(1)は、実質的に整数問題なので、
の左からPをかけて、∴
，，， ･･･��第3式より、
･･･��これを第1式×
に代入すると、より、∴
......[答]�△茲蝓�
�，梁�4式より、
，これと
より、とyは2の約数ですが、より、こうなるのは、，のときのみです。 ......[答]ハミルトン・ケーリーの定理より、
･･･��
として、二項定理より、
��より、
では、
となるので、
......[答]
とするべきです。 ･･･��として、二項定理より、��より、
では、となるので、 ......[答]さて、2008年度の入試問題で、言わば「行列の漸化式」を考えるようになっている問題が目に付くので、まとめておくことにします。以下、
，B，C，D，P，Qを2次の正方行列、Eを2次の単位行列として考えることにします。という漸化式は、言ってみれば、公比Bの等比「行列」列のようなものですが、これは、数列と同じく、一般項
はです。
2項間漸化式：
･･･��は、数列の場合と同様に、
とをDに置き換えた ･･･��を考えると、
従って、
が存在すれば、として、� 櫚△鮑遒襪函�
「行列」列
は、公比Bの等比「行列」列なので、∴
となり、
を行列の累乗の問題として求めれば、数列の場合と全く同様にして解答できます。が存在しない場合は、数列の場合のようには行きません。として、�，旅猗峭罎�1つずつ小さくしてBを順次かけた式を作り、･･････
これらを足し合わせると、両辺の
，，･･･，が消し合って、 ()が存在しないとき、Bは固有値1をもっています。もう1つの固有値をuとしてであれば、，を解き、
，，，，(スペクトル分解を参照)より、
()∴
()となります。
固有値1が重解になっている(
)場合は、本問愛媛大(2)の結果を用いて、∴
()3項間漸化式：
･･･��では、
かつが存在すれば、��を、 ･･･�� ･･･��と2通りに書き換えて、
が公比Cの「行列」列であることから、 ･･･��が公比Bの「行列」列であることから、 ･･･���Α櫚Г箸靴�
を左からかけることにより、と、数列と同様に求めることができます。
のときには�イ郎遒譴泙垢��い�成立しません。�Г六箸┐襪里如�が存在しない場合も含めて以下のようにします(このタイプの問題は、山口大医'08年[4]を参照)。として、�Г旅猗峭罎�1つずつ小さくしてCをかけた式を順次作り、･･････
これらを足し合わせると、左辺の
，，･･･，が消し合って、∴
()，の形を求めれば、を求めることができます。その２へつづく
Posted by cfv21 at 14:31│Comments(0)│TrackBack(0)
この記事へのトラックバックURL
http://trackback.blogsys.jp/livedoor/cfv21/51559439
