2009年01月13日
一橋大数学'05年前期[2]
一橋大数学'05年前期[2]
原点を中心とする半径1の円をCとし、
，
とする。
A
とN
を通る直線がCと交わる点のうちNと異なるものをPとおく。また、B
とNを通る直線がCと交わる点のうちNと異なるものをQとおく。
解答 図形と方程式の計算問題です。
(3)は力尽くでやってもよいのですが、ここでは少し工夫してみます。
(1) A
とN
を通る直線は、
(直線の方程式を参照)
･･･��
より、
で割ると、
･･･��
･･･��
を�い紡綟�してもよいのですが、4次方程式になってしまうので、�い�対称式であることを利用して、ちょっと工夫します。
，
･･･��
......[答]
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原点を中心とする半径1の円をCとし、
，とする。A
とNを通る直線がCと交わる点のうちNと異なるものをPとおく。また、BとNを通る直線がCと交わる点のうちNと異なるものをQとおく。(1) Pの座標をaで表せ。
(2) AQ // PBのとき、
となることを示せ。
となることを示せ。(3) AQ // PB，
のとき、aの値を求めよ。
のとき、aの値を求めよ。解答 図形と方程式の計算問題です。
(3)は力尽くでやってもよいのですが、ここでは少し工夫してみます。
(1) AとNを通る直線は、 (直線の方程式を参照)∴ 
･･･��
･･･��C：
･･･��
･･･��� き△鯱⇔�して、
整理すると、
直線ANと円Cとの交点のうちNと異なるものがPなので、
として、
として、�，茲蝓�
よって、Pの座標は、
......[答]
よって、Pの座標は、
......[答](2) B
とN
を通る直線は、�，�aをbと入れ替えて、
とNを通る直線は、�，�aをbと入れ替えて、これと�△鯱⇔�してQの座標を求めると、(1)の答のaをbと入れ替えて、
直線AQの傾きは、
(直線の方程式を参照)
直線BNの傾きは、
AQ // BNより、両直線の傾きは等しく(2直線の平行・垂直を参照)、
直線AQの傾きは、
(直線の方程式を参照)直線BNの傾きは、
AQ // BNより、両直線の傾きは等しく(2直線の平行・垂直を参照)、
･･･��分母を払って整理すると、��は、aとbを入れ替えても成り立つ式(交代式と言います)なので、
という因数をもちます。これに注意して、
という因数をもちます。これに注意して、より、で割ると、整理して、
･･･��∴ 
(3) 三角形ANBの面積Sを2通りに表すことができます。(2)の結果を利用すると、
底辺
，高さ
の三角形と見ると、
，高さの三角形と見ると、∴ 
･･･��を�い紡綟�してもよいのですが、4次方程式になってしまうので、�い�対称式であることを利用して、ちょっと工夫します。， ･･･��これを�い紡綟�すると、
∴ 
(
)
�Δ鰺僂い董�
()�Δ鰺僂い董�
∴ 
(
) ･･･��
�А櫚イ茲蝓�
() ･･･���А櫚イ茲蝓�
......[答]
を求めれば、
より、(2)の結果を用いると、
これで�イ�得られます。
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