2010年03月08日
東工大数学'10年前期[4](その１)
東工大数学'10年前期[4]
aを正の定数とする。原点をOとする座標平面上に定点
と、Aと異なる動点
をとる。次の条件
ならば 
を満たすPからなる領域をDとする。Dを図示せよ。
解答 以下では、問題文中でPが満たすべき条件として出てくる命題を命題Cと呼ぶことにします。この“命題C：
ならば 
”の意味するところがわかりにくいだけでなく、論理的に入り組んでいる上に、分母=0の考慮も必要で、難路を紆余曲折させられます。
まずは、簡単な場合から題意をつかむようにしましょう。
いきなり座標平面上で考えるのでは難しいので、x軸上に
，
をとって調べてみます。
，
，
，
，
，また、PはAと異なるので
であり、Qは、AからPに向けた半直線上の点なので、
は0になることを含めて
と同符号です。
命題Cは、
ならば 
･･･��となりますが、これでも、わかりにくいので、数値を入れてみます。
�，�
，
としてみると、
なので
であって、
ならば 
即ち、
ならば 
となりますが、
のときに、
の分母が0になってしまうので、
は命題Cを満たさず、
のとき
は領域D内の点ではありません。
より、�，�
とすることはできません。
�，�
，
としてみると、
なので
であって、
ならば 
即ち、
ならば 
⇔ 
⇔ 
より、結局、
ならば 
となりますが、これは成立しません。よって、
のとき
も領域D内の点ではありません。
�，�
，
としてみると、
なので
であって、
ならば 
即ち、
ならば 
⇔ 
⇔ 
より、
ならば 
となりますが、これは成立するので、
は命題Cを満たし、
のとき
は領域D内の点です。
試験場でも、a，xにいろいろな値を入れて、命題Cが成立する場合、成立しない場合を試してみることになるでしょう。
ここで、数値代入してやってみたことを整理します。命題Cの十分条件：
から得られるQの座標に関する不等式の範囲を
，必要条件：
から得られるQの座標に関する不等式の範囲を
として、特定の点
について、
が
に含まれていれば命題Cが成立するので「
は領域D内の点だ」と判断し、
が
に含まれていなければ命題Cが成立しないので「
は領域D内の点ではない」と判断しています。
であれば、一般的な点
について、十分条件から得られる範囲が、必要条件から得られる範囲に含まれるような
を調べれば、「命題Cが成立する」という条件を満たすPからなる領域Dを求められるはずです。
ここでは、必要条件、十分条件の範囲を考えやすくするために、
，
とおくことにします。ここに、PはAと異なるので
，Qは半直線AP上の点なので
です。また、半直線APがx軸正方向となす角をq (
)とします。
Pの座標は
，Qの座標は
となります。
さらに、命題Cの必要条件の分母にOQが出てくるので、QはOと一致しません。
QがOと一致するとき、Qの座標について、
，
なので、
，
，つまり、
また、
より
kは任意の正数値をとり得てしまうので、Pの位置によって
となる可能性を排除することはできないので、
さて、命題Cの十分条件：
より、
･･･��となります。命題Cの必要条件から得られる範囲は、�△魎泙泙覆韻譴个覆蠅泙擦鵝�
命題Cの必要条件：
より、
，
を用いて、
･･･��ここで、
��の両辺は、負になることはなく、rで割って、両辺を2乗すると、
整理すると、
･･･��
より、
･･･��
より、
なので、
･･･��
･･･��
･･･��
このとき、“�� ならば �ァ匹�成立します。
･･･��
�△鯔�たすkのうち、
となるkは��を満たさず、“�� ならば ��”は成立しません。
aを正の定数とする。原点をOとする座標平面上に定点
と、Aと異なる動点をとる。次の条件AからPに向けた半直線上の点Qに対し
ならば 解答 以下では、問題文中でPが満たすべき条件として出てくる命題を命題Cと呼ぶことにします。この“命題C：
ならば ”の意味するところがわかりにくいだけでなく、論理的に入り組んでいる上に、分母=0の考慮も必要で、難路を紆余曲折させられます。まずは、簡単な場合から題意をつかむようにしましょう。
いきなり座標平面上で考えるのでは難しいので、x軸上に
，をとって調べてみます。，，，，，また、PはAと異なるのでであり、Qは、AからPに向けた半直線上の点なので、は0になることを含めてと同符号です。命題Cは、
ならば ･･･���，�
，としてみると、なのでであって、 ならば ならば のときに、の分母が0になってしまうので、は命題Cを満たさず、のときは領域D内の点ではありません。より、�，�とすることはできません。�，�
，としてみると、なのでであって、 ならば ならば ⇔ ⇔ ならば のときも領域D内の点ではありません。�，�
，としてみると、なのでであって、 ならば ならば ⇔ ⇔ ならば は命題Cを満たし、のときは領域D内の点です。試験場でも、a，xにいろいろな値を入れて、命題Cが成立する場合、成立しない場合を試してみることになるでしょう。
ここで、数値代入してやってみたことを整理します。命題Cの十分条件：
から得られるQの座標に関する不等式の範囲を，必要条件：から得られるQの座標に関する不等式の範囲をとして、特定の点について、がに含まれていれば命題Cが成立するので「は領域D内の点だ」と判断し、がに含まれていなければ命題Cが成立しないので「は領域D内の点ではない」と判断しています。であれば、一般的な点
について、十分条件から得られる範囲が、必要条件から得られる範囲に含まれるようなを調べれば、「命題Cが成立する」という条件を満たすPからなる領域Dを求められるはずです。ここでは、必要条件、十分条件の範囲を考えやすくするために、
，，Qは半直線AP上の点なのでです。また、半直線APがx軸正方向となす角をq ()とします。Pの座標は
，Qの座標はとなります。さらに、命題Cの必要条件の分母にOQが出てくるので、QはOと一致しません。
QがOと一致するとき、Qの座標について、
，なので、，，つまり、また、
よりkは任意の正数値をとり得てしまうので、Pの位置によって
となる可能性を排除することはできないので、Pが存在する領域Dは、
となる範囲を含んでいてはならない ･･･(＊)
ということに注意します。さて、命題Cの十分条件：
より、 ･･･��命題Cの必要条件：
より、，を用いて、 ･･･�� ･･･��(i) 
のとき、点PはAを中心とする半径aの円周上の点ですが、�い茲蝓�
のとき、点PはAを中心とする半径aの円周上の点ですが、�い茲蝓�より、(＊)を考慮すると、
において
であれば
なので、
においてであればなので、 ･･･��(＊)より、
のとき、Pは
に来るので、領域Dから
は除かれます。
よって、このとき、
を除いて、“�� ならば �ァ匹論�立し、命題Cが成立します。
のとき、Pはに来るので、領域Dからは除かれます。よって、このとき、
を除いて、“�� ならば �ァ匹論�立し、命題Cが成立します。(ii) 
のとき、点PはAを中心とする半径aの円周より内側の点ですが、�い茲蝓�
のとき、点PはAを中心とする半径aの円周より内側の点ですが、�い茲蝓�より、なので、 ･･･��このとき、“�� ならば �Α� (�Δ糧楼呂��△糧楼呂魎泙�)が成立するために、
でなければなりません。分母を払って整理すると、
ここで、
，
より、
，より、∴ 
･･･��
また、
(PはAと異なる点)に注意すると、
⇔ “
かつ 
”より
は除かれます。
(＊)を検討します。
のとき、P
は、x軸上の
の部分を動きます。この部分は領域Dから除かれるべきですが、そもそも�Г亡泙泙譴討い泙擦鵝�
よって、このときは、
を除く領域��内に存在するPについて、“�� ならば �Α匹�成立し、命題Cが成立します。
･･･��また、
(PはAと異なる点)に注意すると、 ⇔ “ かつ ”よりは除かれます。(＊)を検討します。
のとき、Pは、x軸上のの部分を動きます。この部分は領域Dから除かれるべきですが、そもそも�Г亡泙泙譴討い泙擦鵝�よって、このときは、
を除く領域��内に存在するPについて、“�� ならば �Α匹�成立し、命題Cが成立します。(iii) 
のとき、点PはAを中心とする半径aの円周より外側の点ですが、�い茲蝓�
のとき、点PはAを中心とする半径aの円周より外側の点ですが、�い茲蝓� ･･･��Pのx座標
について、
(a)
のとき、�┐涼罐�ッコ内は正で、不等式�┐鯔�たすkは、
について、(a)
のとき、�┐涼罐�ッコ内は正で、不等式�┐鯔�たすkは、 ･･･��このとき、“�� ならば �ァ匹�成立します。
(b) 
のとき、
より、不等式�┐鯔�たすkは、
のとき、より、不等式�┐鯔�たすkは、 ･･･���△鯔�たすkのうち、
となるkは��を満たさず、“�� ならば ��”は成立しません。(a)，(b)より、
です。
(＊)を検討します。
のとき、P
は、x軸上の
の部分を動きますが、この部分はそもそも
かつ
の部分には含まれていません。
よって、このときは、
において、“�� ならば �ァ匹�成立し、命題Cが成立します。
その２へつづく
です。(＊)を検討します。
のとき、Pは、x軸上のの部分を動きますが、この部分はそもそもかつの部分には含まれていません。よって、このときは、
において、“�� ならば �ァ匹�成立し、命題Cが成立します。Posted by cfv21 at 14:43│Comments(0)│TrackBack(0)
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