2010年08月24日
北大数学'10年後期[4](その１)
北大数学'10年後期[4]
座標平面上の点
を点
に移す点の移動f が行列
を用いて
で表されるとき、f を1次変換という。このときAを1次変換f を表す行列という。
tを実数とし、座標平面上に3点P
，Q
，R
をとる。
解答 1次変換に関する問題ですが、本問では、行列に関する以下の技巧を使います。
2個の1次独立なベクトル
，
について、
，
･･･��であれば、
より、�，�2式を1つにまとめて、
･･･(＊)と書くことができます。
，
を右からかけて(逆行列を参照)、
......[答]
･･･��
その２へつづく
座標平面上の点
を点に移す点の移動f が行列を用いてtを実数とし、座標平面上に3点P
，Q，Rをとる。(1) PをQに移し、QをPに移す1次変換gを表す行列を求めよ。
(2) さらに、gがRをR自身に移すとする。このときのt とRを求めよ。
(3) 上で求めたRのうち
であるものについて、集合
が集合
と等しくなるような1次変換f の個数を求めよ。ただし、P，Q，Rをf で移した点をそれぞれ
，
，
とする。
であるものについて、集合が集合と等しくなるような1次変換f の個数を求めよ。ただし、P，Q，Rをf で移した点をそれぞれ，，とする。解答 1次変換に関する問題ですが、本問では、行列に関する以下の技巧を使います。
2個の1次独立なベクトル
，について、， ･･･��より、�，�2式を1つにまとめて、
，
，
( ･･･(＊)(1) 
，
より、gを表す行列をBとして、
，より、gを表す行列をBとして、，(＊)を用いて、
を右からかけて(逆行列を参照)、 ......[答](2) 
より、
より、∴ 
，
両式とも変形すると、同一の方程式、
，両式とも変形すると、同一の方程式、
となり、
......[答]
のとき、R
，
のとき、R
......[答]
......[答]のとき、R，のとき、R ......[答](3)(i) (1)，(2)の1次変換gは、
，
，
より、
，，より、 ･･･��を満たします。
(ii) 恒等変換e (任意のベクトル
について
)を表す行列は、単位行列
ですが、
，
，
となるので、�，鯔�たします。
について)を表す行列は、単位行列ですが、，，となるので、�，鯔�たします。�，箸覆覯椎柔�は(i)，(ii)以外に、
(iii) 
，
，
，，(iv) 
，
，
，，(v) 
，
，
，，(vi) 
，
，
，，の4通りしかありません。
(iii)が成り立つとすると、
，
より、
，
，より、，∴ 
を右からかけて、
を右からかけて、このとき、
より、
となり、�，鯔�たします。
となり、�，鯔�たします。(iv)が成り立つとすると、
，
より、
，
，より、，∴ 
を右からかけて、
を右からかけて、このとき、
より、
となり、�，鯔�たします。
となり、�，鯔�たします。(v)が成り立つとすると、
，
より、
，
，より、，∴ 
を右からかけて、
を右からかけて、このとき、
より、
となり、�，鯔�たします。
となり、�，鯔�たします。(vi)が成り立つとすると、
，
より、
，
，より、，∴ 
を右からかけて、
を右からかけて、このとき、
より、
となり、�，鯔�たします。
以上より、�，鯔�たす1次変換は(i)〜(vi)の、6個 ......[答]
となり、�，鯔�たします。以上より、�，鯔�たす1次変換は(i)〜(vi)の、6個 ......[答]
その２へつづく
Posted by cfv21 at 21:35│Comments(0)│TrackBack(0)
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