2010年08月24日
北大数学'10年後期[4](その２)
その１からのつづき
･･･��
となるために、
となるために、
となるために、
となるために、
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追記．本問では、行列や3点の座標が具体的に指定されていますが、指定なしで考えてみます。三角形ABCの3頂点A，B，Cの位置ベクトルを
，
，
とし、
，
は1次独立だとします。s，tを実数として、
，，とし、，は1次独立だとします。s，tを実数として、とおくことができます。
･･･��を満たす可能性は、上記で書いたように以下の6通りしかありません。
(i) 
，
，
，，(ii) 
，
，
，，(iii) 
，
，
，，(iv) 
，
，
，，(v) 
，
，
，，(vi) 
，
，
，，(ii)は恒等変換で�，亘�たされます。
(i)が成り立ち、f を表す行列が存在するとして、
，
，∴ 
，
は1次独立なので
は正則(逆行列が存在)で、右から
をかけて、
，は1次独立なのでは正則(逆行列が存在)で、右からをかけて、としてAが定まります。
となるために、
となるために、これより
であれば、�，亘�たされます。
であれば、�，亘�たされます。以下同様に(iii)〜(iv)においても
が存在して1次変換fを表す行列が定まります。
が存在して1次変換fを表す行列が定まります。(iii)が成り立つとすると、
，
，となるために、これより、
かつ 
，従って、
または ‘
かつ
'となりますが、‘
かつ
'のときには
となり三角形ができません。
であれば、�，�満たされます。
かつ ，従って、 または ‘かつ'となりますが、‘かつ'のときにはとなり三角形ができません。であれば、�，�満たされます。(iv)が成り立つとすると、
，
，となるために、これより、
かつ 
，従って、
または ‘
かつ
'となりますが、‘
かつ
'のときには
となり三角形ができません。
であれば、�，�満たされます。
かつ ，従って、 または ‘かつ'となりますが、‘かつ'のときにはとなり三角形ができません。であれば、�，�満たされます。(v)が成り立つとすると、
，
，となるために、これより、
かつ 
，従って、
，
であれば、�，亘�たされます。
かつ ，従って、，であれば、�，亘�たされます。(vi)が成り立つとすると、
，
，となるために、これより、
かつ 
，従って、
，
であれば、�，亘�たされます。
かつ ，従って、，であれば、�，亘�たされます。従って、
，
が1次独立であればf を表す行列が存在し、
であれば、(i)〜(vi)の6個の1次変換が�，鯔�たします。
であれば、(i)，(ii)の2個の1次変換が�，鯔�たします。
，
または 
，
であれば、(i)，(ii)，(iv)，(v)の4個の1次変換が�，鯔�たします。
本問では、
，が1次独立であればf を表す行列が存在し、であれば、(i)〜(vi)の6個の1次変換が�，鯔�たします。であれば、(i)，(ii)の2個の1次変換が�，鯔�たします。， または ，であれば、(i)，(ii)，(iv)，(v)の4個の1次変換が�，鯔�たします。本問では、
とすると、
となるので、�，鯔�たす1次変換は6個ある、ということになります。
となるので、�，鯔�たす1次変換は6個ある、ということになります。TOPに戻る CFV21 メイン・ページ 考察のぺージ
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