2010年09月06日
横浜国大工数学'10年前期[4]
横浜国大工数学'10年前期[4]
a，bを正の実数とする。曲線
に含まれている。次の問いに答えよ。
解答 東大96年前期[6]と実質的に同じ問題です。丁寧に場合分けして考えて行くことになります。なお、2次関数の最大・最小、関数の増減を参照してください。
･･･��
(
) ･･･��
とすると
，
以上より、
が存在する範囲をab平面上に図示すると、右図黄緑色着色部(a軸上、b軸上を除き、他の境界線を含む)。
これを見ると、求める範囲を、
のとき、
，
のとき、
と言い換えることができます。
･･･��
の範囲でaを固定すると、Sはbが最大値
をとるときに最大値
をとり、ここでaを動かすと、
の範囲でaを固定すると、Sはbが最大値
をとるときに最大値
をとります。
とすると、
とすると、
においては
，
増減表より、
は
のとき最大値
をとり、このとき、
は最大値
をとり、
となります。
，
......[答]
(
) ･･･��
･･･��
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a，bを正の実数とする。曲線
C：
は領域D：に含まれている。次の問いに答えよ。(1) 
が存在する範囲をab平面上に図示せよ。
が存在する範囲をab平面上に図示せよ。(2) Cが囲む部分の面積が最大になるときのa，bの値を求めよ。
解答 東大96年前期[6]と実質的に同じ問題です。丁寧に場合分けして考えて行くことになります。なお、2次関数の最大・最小、関数の増減を参照してください。
(1) 曲線Cは楕円です。曲線C上の点
は、q を媒介変数として、
は、q を媒介変数として、
，
･･･� �(と表すことができます。点
が、領域D：
に含まれるとき、
が、領域D：に含まれるとき、 ･･･���，�
が曲線C上を動くとき、
は、
となるすべての実数値をとります。
(
)とおくと、�△蓮�
が曲線C上を動くとき、は、となるすべての実数値をとります。 ()とおくと、�△蓮� () ･･･��(i) 
のとき(
のグラフは下に凸)、
のとき(のグラフは下に凸)、�� ⇔ 
かつ 
かつ よって、
これより、
･･･��
･･･��(ii) 
のとき、
のとき、�� ⇔ 
⇔ 
(
)
⇔ ()よって、
∴ 
･･･��
･･･��(iii) 
のとき(
のグラフは上に凸)、
のとき(のグラフは上に凸)、軸の位置：
(
)が1より左か右かでさらに場合分けします。
()が1より左か右かでさらに場合分けします。より、(a) 
，(b) 
で場合分けします。
，(b) で場合分けします。(a) 
のとき、つまり、
のとき、
のとき、つまり、のとき、�� ⇔ 
(i)と同様に、
･･･��
･･･��(b) 
のとき、つまり、
のとき、
のとき、つまり、のとき、�� ⇔ 
の最大値：
の最大値：∴ 
･･･��
･･･���ぁきァきΑきГ茲蝓�
のとき(�ぁきァきΔ鬚泙箸瓩�)、
，
のとき、
とすると、
のとき(�ぁきァきΔ鬚泙箸瓩�)、，のとき、とすると、とすると，| a | 0 |  | 1 | ||
 | ＋ | 0 | − | ||
 | 0 |  |  |  | 0 |
以上より、が存在する範囲をab平面上に図示すると、右図黄緑色着色部(a軸上、b軸上を除き、他の境界線を含む)。これを見ると、求める範囲を、
のとき、，のとき、と言い換えることができます。
(2) 楕円Cが囲む面積Sは、長軸、短軸の長さが
，
(もしくは、
，
)となるので、
， (もしくは、，)となるので、 ･･･��の範囲でaを固定すると、Sはbが最大値をとるときに最大値をとり、ここでaを動かすと、の範囲でaを固定すると、Sはbが最大値をとるときに最大値をとります。とすると、とすると、においては，| a |  |  | 1 | ||
 | ＋ | 0 | − | ||
 |  | |  | | 0 |
増減表より、
はのとき最大値をとり、このとき、は最大値をとり、となります。， ......[答] () ･･･��と接するときにS最大となります。
�┐鉢�を連立して、
�┐鉢�を連立して、
2乗して整理すると、
･･･���┐鉢�が接するとき、��が重解をもつので
のグラフの傾きが0，
より
のグラフの傾きが0，よりTOPに戻る CFV21 メイン・ページ 考察のぺージ
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Posted by cfv21 at 10:34│Comments(0)│TrackBack(0)
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