2008年08月09日

京大物理'02年前期[3](再掲)
京大物理'02年前期[3]
次の文を読んで、文中の　　に適した式または数値を、それぞれの解答欄に記入せよ。　　はすでに　　で与えられたものと同じものを表す。なお、微小量x ()および実数aに対して成り立つ近似式を用いよ。

音波と電波の両方を同時に用いると、以下のようにしていろいろな高度での音速を測定することができ、測定された音速から大気の温度の高度分布を知ることができる。ここで音速をで表し、電波の速さを真空中の光速c ()と等しいとする。音速は光速cより十分小さいのでは微小量であることに留意せよ。
大気は通常では電波を反射しない。しかし、図1に示すように音波を発射して大気の密度の増減を引き起こすと、電波を反射する面が音波の波長に等しい間隔でいく重にもあらわれ、地上から発した電波の一部は、これらの面で反射して再び地上に戻ってくる。この反射面の間隔は音波の振動数をとすると　ア　である。
図1に示すように、地上から垂直に上空に向け、振動数の音波を短時間発した。音波を発して時間後に、音波と同じ方向に、やはり短い時間だけ電波を発射したところ、電波を発して時間後に地上に戻ってきた電波が観測された。このことから反射が生じた高度はh＝　イ　であることがわかる。
電波に対して音波など一般の波と同じようにドップラー効果を考えることができ、観測者および波源の動く速さが光速より十分に小さいときには、ドップラー効果の関係式は音波の場合と同じになる。よって、音速で上昇する仮想的な観測者には電波の振動数は発射した電波の振動数fからずれてみえ、と表される。ここで、振動数のずれは　ウ　となる。したがって、反射してきた電波を地上で測定すると、その振動数はと表すことができる。ここで、振動数のずれは　エ　となり、これより高度hにおける音速を知ることができる。
このような観測では地上に戻る電波が強いことが望ましい。そこで発射する電波の振動数fを変えて繰り返し発射し、反射してくる電波の強度を観測した、その結果、電波の強度は振動数fとともに大きく変化し、のときに最大になった。その理由を考えてみよう。電波の速さは音速で上昇する観測者に対しても光速cに等しいので、振動数fで発射した電波に対して、この観測者が見る波長はl＝　オ　となる。したがって、異なった反射面で反射される波が互いに強め合う条件は、自然数nを用いてl＝　カ　となる。この関係式においてとおくと、音速は電波の振動数を用いて＝　キ　と表すことができる。ただし、は微小量なのでを含む項は無視せよ。
音速は高度とともに変化する大気圧には直接依存せず、大気を構成している分子の速さの平均(二乗平均速度)で近似的に与えられることがわかっているので、音速は絶対温度Tの　ク　乗に比例することになる。したがって、いろいろな高度で音速を測定すれば、それぞれの高度における大気の温度を知ることができる。例えば、ある観測の結果、であったとすると、が　エ　で与えられることを用いて、電波が反射された高度での音速は　ケ　m/s，温度は　コ　となる。それぞれ有効数字3桁および2桁で答えよ。ここで、音速はにおいてであるとして計算せよ。
解答　(ア) 反射面の間隔は、音波の波長です。
よって、 ......[答]　(波の公式を参照)

(イ) 電波は光速cで、時間の間に距離hを往復するから、
......[答]

(ウ) 観測者が速さで遠ざかります。ドップラー効果の公式より、観測される振動数は、
∴ ......[答]

(エ) 反射面にいる振動数の波源が速さで遠ざかります。ドップラー効果の公式より、


∴ ......[答]

(オ) 速さで電波源から遠ざかる観測者の観測する振動数はであって、電波の速さはcだから、この観測者が観測する電波の波長は、
......[答]

(カ) 「異なった反射面」と問題文にありますが、自然数は1つnしか出てこないので、「隣接した反射面」として考えます。
隣接した反射面の距離は(ア)よりで、隣接する反射面で反射する2つの電波の経路差はこの2倍になります。経路差が波長の整数倍のときに強め合うので、nを整数として、
　(波の干渉を参照)
∴ ......[答]

(キ) (オ)，(カ)の結果より、
ここで、，として、
分母を払って整理すると、
∴
......[答]

(ク) 大気構成分子の質量をm，速さの2乗の平均値をとします。より、
　(気体分子運動論を参照)
従って、音速は絶対温度の乗 ......[答] に比例します。

(ケ) (エ)の結果を用いて、
∴ ......[答]

(コ) ･･･��
のとき、絶対温度は，このときの音速が330m/sだから、
･･･��
�　爿△箸靴董�
∴
求める温度は、 ......[答]

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京大物理'02年前期[2](その２)
その１からのつづき
B．(1)(き) 位置xとPの位置との距離は，位置xとの位置との距離は
Pの電流が位置xに作る磁界はz軸正方向を正として、，の電流が位置xに作る磁界は、
位置xにおける磁束密度は、
......[答]

(く) (き)の結果においてとして、
導体Kの受ける力の向きは、フレミング左手の法則より、磁界の向き(人差し指)がz軸正方向、導体Kを通過する電流の向き(中指の向き)がy軸負方向で、力の向き(親指)はx軸負方向なので、x軸方向の力の符号を負として、導体Kの受ける力は、
......[答]

(け) (く)の結果において、により、を無視すると、
......[答]

(2)(こ) 導体Kが位置xにいるときに働く力は、(け)の結果でとしたものになります。
導体Kのx方向の加速度をb として、運動方程式：
∴
これは、角振動数 ......[答] の単振動を表します。

(3)(さ) 導体Kが位置xにいるときの導体Kの速度をv，導体Kの位置における磁束密度をBとします。 (き)の結果でとして、
導体Kに発生する起電力はとなりますが、ここでは、vとBがともに変化するので注意が必要です。
とすると、
，
これより起電力の最大値は、
......[答]

(し) 起電力の最大値がEに比べて無視できる場合、
両辺を2乗して整理すると、
∴ ......[答]

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京大物理'02年前期[2](その１)
京大物理'02年前期[2]
次の文A，Bを読んで、　　に適した式をそれぞれの解答欄に記入せよ。なお、単位系は国際単位系(SI)を用い、すべての装置は真空中に置かれているものとして、真空の透磁率をとする。

A．図1および図2に示すように、水平面上にある十分に長い直線導体Pに直線電流Iが流れている。2本の直線導体Qおよびが導体Pを含む水平面内にあり、導体Pから距離xの位置において導体Qとの間隔がxに等しくなるように配置されている。これら2本の導体の上に、質量mの直線導体Kがおかれていて、導体Pと平行のままx方向に摩擦なしに動くことができる。

(1) 図1に示すように、導体Kを一定速度vでx方向に運動させる。導体Kがに達したとき、導体Kの位置における磁束密度の大きさは　あ　で与えられ、導体Kが導体Qおよび導体と接触する2つの点、cとの間に発生する起電力は　い　となる。

(2) 図2に示すように、導体Kが位置に静止した状態で、導体Qと導体の間に抵抗Rを介して起電力Eの電池を接続し、ループ回路を構成する。ただし、導体の抵抗は抵抗Rに比べて十分小さく、また、ループ回路を流れる電流が作る磁界は直線電流Iが作る磁界に比べて十分小さく、いずれも無視できるものとする。このとき、導体Kには大きさ　う　の力が働き、x方向に動き始める。に達したときに導体Kの速度がvであったとすると、そのとき導体Kを流れる電流は　え　であり、導体Kの加速度は　お　と表される。そして十分長い時間がたつと、導体Kの速度は一定値　か　に近づいていく。

B．図3に示すように、2本の十分長い直線導体Pおよびがy軸に平行におよびの位置に並んでいて、いずれにもy軸の正の方向の直線電流Iが流れている。これらの導体と同じ平面内にx軸に平行な2本の直線導体Qおよびが間隔hで並んでいて、導体Qと導体の上にはy軸に平行のまま摩擦なしにx軸に沿って動くことのできる質量mの直線導体Kがおかれている。ここでx軸，y軸は水平面内にある。導体Qと導体の間には、抵抗RとスイッチSを介して起電力Eの電池が接続されており、はじめはスイッチを開いておく。導体の抵抗は抵抗Rに比べて十分小さく、また、ループ回路を流れる電流が作る磁界は電流Iが作る磁界に比べて十分小さく、いずれも無視できるものとする。

(1) 紙面に対して上向きをz軸の正の方向とすると、位置xにおけるz方向の磁束密度は　き　で与えられる。導体Kが原点近傍の位置に静止した状態でスイッチSを閉じると、導体Kにはx方向の力　く　が働く。距離bがdに比べて十分短くが成り立つとき、導体Kに働くx方向の力は　け　と近似することができる。

(2) 初期位置が原点に十分近く、導体Kが磁界中を動くことによって発生する起電力は電池の起電力Eに比べて無視できると仮定する。このとき、導体Kはの近傍において角振動数w＝　こ　で単振動する。

(3) 導体Kが磁界中を動くことによって発生する起電力が電池の起電力Eに比べて無視できる条件を求めてみよう。はじめに導体Kがの位置で静止していて、スイッチSを閉じた後のまわりで単振動しているとき、導体Kに発生する起電力の最大値は角振動数wを用いて　さ　と表される。したがって、この起電力が電池の起電力Eに比べて無視できるための条件は、(2)で求めたwの表式を代入することによって、b≪　し　と表される。
解答　コの字型回路ならぬハの字型回路の問題です。

A．(1)(あ) における磁界は、，磁束密度は、 ......[答]
磁界の向きは、右ねじの法則により、紙面手前より向こう向きです。

(い) 導体Qと導体に挟まれた部分で導体Kが微小時間の間に通過する部分(台形)の面積は、
を無視して、
を貫く磁束は、
電磁誘導の法則より、起電力の大きさは、
......[答] (問題文に起電力の向きについての指定がないので、大きさを答えておく)
フレミング右手の法則より、運動の方向(親指)がx方向、磁界の方向(人差し指)が紙面手前より向こう向きで、起電力の向き(中指)は、の方向です。

(2)(う) における磁束密度は(あ)の結果においてとして、
導体Kが受ける力の大きさは、
......[答]
フレミング左手の法則より、磁界の方向(人差し指)が紙面手前より向こう向き、導体Kの電流の方向(中指)はy軸負方向で、力の方向(親指の方向)はx軸正方向です。

(え) (い)の結果より、起電力の大きさは導体Kの移動中に(向きはの向き)で一定です。よって、導体Kを流れる電流は、
......[答] (電流正の向きの指定がないので、起電力Eの流す電流を正として答えておく)

(お) 導体Kのx軸方向の加速度をaとして、運動方程式：
∴ ......[答]

(か) はじめなので、ですが、なので次第にvが増大して、となり、
よって、
∴ ......[答]

その２へつづく  
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2008年08月08日

京大物理'02年前期[1](再掲)
京大物理'02年前期[1]
次の文を読んで、　　に適した式をそれぞれの解答欄に記入せよ。なお、　　はすでに　　で与えられたものと同じものを表す。

長さlの質量の無視できるゴムひもの両端に、2つの小球AおよびBがついている。小球AおよびBの直径は無視できるほど十分小さく、質量はいずれもmとし、重力加速度をgとする。また、このゴムひもは、引き伸ばされた状態ではフックの法則に基づく復元力が働くが、細くてやわらかいために、たるんだ状態では小球の運動を妨げないものとする。
　図1のように、天井のO点に小球Bを固定し、小球Aを静かにつるしたとき、ゴムひもはだけ伸びた。このゴムひもが自然長からxだけ引き伸ばされたとき、ゴムひもにはの復元力が働く。

(1) 小球Aを小球Bと同じ位置Oまで持ち上げ、小球Bを固定したまま小球Aのみをそのまま自由落下させた。このとき、落下する小球Aが到達する最下端の位置は、天井から　イ　だけ下方となる。小球Aは　イ　の位置から、ゴムひもの復元力　ロ　によって上昇運動をはじめる。その上昇運動において、小球Aは天井からlの位置を速さ　ハ　で通過するが、その瞬間に、天井のO点で固定していた小球Bを静かに解放した。その後、小球AとBは天井から　ニ　の位置で衝突するが、小球Bを解放してから衝突するまでに要する時間は　ホ　である。この衝突が完全非弾性衝突(反発係数)であり、衝突後は完全にひとつの小球として運動する場合に、衝突してからこの小球が天井から鉛直距離でだけ下にある床に落下するまでに要する時間は　ヘ　である。

(2) 次に、(1)と同様の手順でO点から小球Aを自由落下させ、　ヘ　の位置に小球Aが到達した瞬間に、O点で固定していた小球Bを静かに解放した。この解放した瞬間においては、小球AとBはゴムひもの復元力　ロ　によって、お互いに引き寄せられている。自由落下している仮想的な観測者からこの2つの小球を見ると、どちらの小球にも重力が働かず、ゴムひもの復元力のみにより運動しているように見える。したがって、小球Bを解放した瞬間からゴムひもが自然長lに戻るまでに要する時間は　ト　であり、その後、小球AとBが衝突するまでにはさらに　チ　だけ時間がかかる。その衝突する位置は天井から　リ　の位置となる。
解答　(1)(イ) 題意より自然長より長いときのゴムひものばね定数はと考えられます。
Aが到達する最下端の位置が天井からdだけ下方だとします。最下端を重力による位置エネルギーの基準とすると、はじめの力学的エネルギーは、Aの位置エネルギー，最下端でのAの弾性力による位置エネルギーは、ゴムひもの伸びがだから、
力学的エネルギー保存より、
∴
題意より、なので、 ......[答]
注．ゴムひもなので自然長よりも短くなるときには単振動しませんが、仮にバネだったとして、は、単振動の上側の振動端です。

(ロ) このときのゴムひもの伸びは、
ゴムひも復元力は、
......[答]

(ハ) やはり重力による位置エネルギーの基準を最下端として、最下端での力学的エネルギーは弾性力による位置エネルギー，天井からlの位置は自然長の位置で、弾性力による位置エネルギーは0，求める速さをvとして運動エネルギーは，重力による位置エネルギーは
力学的エネルギー保存より、
∴ ......[答]
(ニ) ゴムひもが自然長に戻った後、Aは上昇を続け、Bは落下してくるので、ゴムひもは垂んでしまいます。AもBも重力を受けた等加速度運動になります。衝突するまでの時間をtとして、等加速度運動の公式より、Aはt秒後に天井からの位置に来ます。Bはt秒後に天井からの位置に来ます。衝突するときに両者は一致するので、
∴ ･･･��
よって、衝突する位置と天井との距離は、
......[答]

(ホ) 衝突するまでに要する時間は、 ......[答]
注，衝突する位置が単振動の振動端よりも上に来るのは不思議な気がするかも知れません。トランポリンで跳躍する状況を思い浮かべながら、右図を参照してください。

(ヘ) 衝突直前のAの速度は、
Bの速度は、
衝突直後に合体した小球の速度をuとして、運動量保存より、
∴

衝突位置と床との距離は、
この距離を自由落下して進む時間をとして、
∴ ......[答]

(2)(ト) まず、鉛直下向きを正方向として、A，Bの運動方程式を立ててみます。
Bを解放した後、鉛直下向きにx軸をとり、A，Bの座標を，とすると、ゴムひもの長さは，ゴムひもの伸びは，ゴムひもの張力の大きさはです。
Aに働く力は、鉛直下向きに重力，鉛直上向きにゴムひもの張力
Aの加速度をとして、Aの運動方程式： ･･･��
Bに働く力は、鉛直下向きに重力，鉛直下向きにゴムひもの張力
Bの加速度をとして、Bの運動方程式： ･･･��

BからAの運動を見るとき、Aの相対位置は，Aの相対加速度は
�　櫚△茲蝓�
∴
∴
これより、BからAを見るとき、を振動中心とし、角振動数の単振動をすることがわかります。Bが解放されたとき、AもBも速度0なので、Bが解放されたときが振動端となり、振幅はです。･･･(＊)
この単振動の周期をTとすると、
ゴムひもが自然長に戻る瞬間にとなるので、この瞬間は単振動の振動中心です。
Bを解放してから、ゴムひもが自然長に戻るまでの時間は周期のになるので、求める時間は、
......[答]

(チ) BからAを見るとき、(＊)のような単振動をしているので、BからAを見たときの速度の最大値，即ち、ゴムひもが自然長に戻ったときにBから見たAの速さは、単振動の公式を用いて、
ゴムひもが自然長に戻った後は、BがAを追いかける形になり、ゴムひもは垂んだままで、BからAを見ると、一定の速さで距離lを進んでくるように見えます。よって、AとBが衝突するまでの時間は、
.......[答]

(リ) 相対運動を考えているのでAとBの重心に目をつけるのが有効です。A，Bが衝突するとき、A，Bと重心の位置が一致します。
Bを解放して以降、重心は自由落下しているだけです。自由落下している時間は、(ト)，(チ)の答を加えた時間です。
重心の落下距離は、
Bを解放したとき、重心は天井からの距離にあったので、AとBが衝突する位置と天井との距離は、
......[答]

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2008年08月05日

京大物理'03年前期[3](再掲)
京大物理'03年前期[3]
次の文を読んで、文中の　　に適した式または数値を、それぞれの解答欄に記入せよ。　　はすでに　　で与えられたものと同じものを表す。ただし、プランク定数をh，光速をcとする。

振動数nの光子のエネルギーは　ア　，運動量は　イ　である。真空中で、振動数nのガンマ線の光子が、原点に静止している質量mの粒子1によって散乱されて、光子の振動数はになり、粒子1は一定の速度uで動き始めた。このとき、粒子1の内部エネルギーに変化はなかった。速度uの方向をx軸の正の方向に取ると、図1に示すように、入射光子の方向と散乱光子の方向のなす角度はであり、入射光子の方向と粒子1の速度uのなす角度はjであった。ここでjはより少し小さい角度とする。入射光子の方向の運動量の保存則から　イ　=　ウ　となる。また、散乱光子の方向の運動量の保存則からも同様の式が得られ、エネルギー保存則も成り立つ。その結果、粒子1の速度u，入射光子の振動数nと散乱光子の振動数は、j，m，cとhを用いて表すと、それぞれ、u＝　エ　，n＝　オ　，＝　カ　と書けることがわかる。
以下の問題で粒子1の速度が必要になったときはuのままでよい。図1に示すようにに質量mの粒子2が静止していた。時刻に粒子1は粒子2と衝突して、両粒子は合体して動き出した。合体した粒子を粒子3と呼ぶ。粒子3の速度は粒子1の速度uを使って表すと　キ　であり、衝突の結果、内部エネルギー　ク　が発生した。粒子3は時刻から一定速度で動きながら、この内部エネルギーを使って、赤外線を大量に四方八方に連続的に放射し始めた。この放射は時刻には完全に停止した。図1に示すように、地点で静止していた観測者Aが、粒子3からの放射を計測していた。時刻と時刻に粒子3からAに向けて放射された赤外線は、それぞれ時刻　ケ　と時刻　コ　にAに達する。したがって、観測者Aが粒子3からの赤外線の放射を受光していた時間間隔は　サ　となる。
なお、赤外線は電磁波の一種であり、放射体の速度によらず、真空中を光速cで進む。また粒子3は、原点と観測者Aの間にあるとする。
解答　(ア) 振動数nの光子のエネルギーは、 ......[答]

(イ) 振動数nの光子の運動量は、 ......[答]

(ウ) 入射光子の方向の運動量保存より、
......[答] ･･･��

(エ) 散乱光子の方向の運動量保存より、
･･･��
エネルギー保存より、
･･･��
�　き△茲蝓�
，
��に代入すると、
∴
より、 ......[答]　(より)

(オ) �，茲蝓� ......[答]

(カ) �△茲蝓� ......[答]

(キ) 合体後の粒子3の速度をwとして、運動量保存より、
∴ ......[答] ･･･��

(ク) 求める内部エネルギーをUとして、エネルギー保存より、
�い茲蝓�
......[答]

(ケ) 時刻に出た赤外線は、距離Dを光速cで進むのに時間を要するから、観測者Aに到達する時刻は、
......[答]

(コ) 時間Tで粒子3は進みます。時刻に出た赤外線は、距離を光速cで進むのに時間を要するから、観測者Aに到達する時刻は、
......[答]

(サ) 観測者Aが粒子3からの赤外線の放射を受光していた時間間隔は、(コ)の答から(ケ)の答を引いて、
......[答]

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2008年08月04日

京大物理'03年前期[2](再掲)
京大物理'03年前期[2]
次の文をよく読んで、　　に適した式または数値を、それぞれの解答欄に記入せよ。なお、，を満たす任意の微小量x，yに対してを用いてよい。

(1)　圧力Pの気体の体積Vが微小体積だけ増加したとき、気体がされた仕事は　い　である。このとき気体の内部エネルギーがだけ増加すると同時に熱量Qが気体に流れ込む。この熱量Qは熱力学第1法則を考慮すると　ろ　と表される。

(2)　モル比熱とは1molの気体の温度を1K上昇させるのに必要な熱量である。圧力P，体積V，温度Tの1molの理想気体は状態方程式を満たす。ただし、Rは気体定数である。この気体を圧力を一定に保った状態で、体積、温度をそれぞれ，だけ変化させると、＝　は　という関係式が成り立つ。したがって、定圧モル比熱と定積モル比熱の差は＝　に　となる。

(3)　1molの理想気体の圧力、体積、温度をそれぞれP，V，Tから，，に断熱的に微小変化させてみる。このときを比熱比を用いて表すと　ほ　である。次に状態方程式を考慮して、をP，，T，を用いて表すと　へ　となるので、＝　と　と書ける。

(4)　今までの議論を踏まえて、地表近くの空気の温度低下率について考えてみよう。地表から10km位までの空気の層は対流圏と呼ばれ、空気の塊が重力加速度gを受けながらゆっくりと上昇または下降する。今、空気を断熱変化をする理想気体とみなし上昇している空気の塊に着目する。密度r の空気の塊が高さだけ上昇すると、圧力はだけ変化する。またr は1molあたりの空気の質量Mおよび、P，T，Rを用いて　ち　と表されるので、圧力の変化率は＝　り　という関係を満たす。以上のことから、温度変化率をM，g，g，Rを用いて表すと、＝　ぬ　となる。
解答　上空の温度低下率を求めるという問題ですが、後半は誘導通りに式変形するだけです。なお、理想気体を参照してください。

(1)(い) 圧力Pの気体の体積Vが微小体積だけ増加したとき、気体がされた仕事は、 ......[答]　(気体が「した」仕事、「された」仕事に注意してください。なお、気体のした仕事を参照)

(ろ) 熱力学第1法則より、
......[答] ･･･��

(2)(は) 状態方程式： ･･･��
定圧変化後の状態方程式： ･･･��
��−�△茲蝓�　･･･��
∴
......[答]

(に) 1molの気体の定圧変化では、　(モル比熱を参照)
また、 (内部エネルギーを参照)と�，茲蝓�
さらに�い茲蝓�
∴ ......[答] ･･･��

(3)(ほ) 断熱変化なので、�，砲�いて、より、
�△茲蝓�
�イ茲蝓�
で割ると、
より、
......[答] ･･･��

(へ) 断熱変化後の状態方程式： ･･･��
両辺をで割ると、
問題文中の近似式を用いて、
∴ ......[答] ･･･��

(と) �ΑきГ茲蝓�
∴ 　･･･��
......[答]

(4)(ち) �△茲蝓� ......[答]

(り) より、

......[答]

(ぬ) (り)の結果を�┐紡綟�して、
∴ ......[答]

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2008年08月03日

京大物理'03年前期[1](その２)
その１からのつづき
(チ)　Qを放出した後、台Pの単振動の周期は、公式より、
......[答]

(リ)　Pだけになったときの力のつり合いより、つり合いの位置、即ち、振動中心は、ばねの自然長の位置から ......[答] 下がった位置にあります。

(ヌ)　求める伸びをA ()とします。QがPと離れた直後のPの力学的エネルギーは、この位置を重力の位置エネルギーの基準として、運動エネルギー：，Pが最高点に達したときの力学的エネルギーは、重力の位置エネルギー：，及び、弾性エネルギー：です。
力学的エネルギー保存より、
�，鯊綟�して、
，より、
∴
となる解をとって、 ......[答]

(ル)　(ヌ)より、Pだけのときの単振動の振幅(つり合いの位置と最高点との距離)は、
Pのみのときに、つり合いの位置の時点を0とする時間をt，Pがつり合いの位置から自然長の位置に来るまでの時間を，Pが再び自然長の位置にもどるまでの時間をとします。Pのつり合いの位置から変位は、
とおけて、
QがPと離れた位置、すなわち自然長の位置においては、
，より
再び自然長の位置にもどったときには、
，より
よって、求める時間は、
......[答]

注．ここは、直感的に、単振動を等速円運動する物体の影が作る運動と考える方が簡単です。
原点を中心とする、半径の円周上をから出発して反時計回りに運動する点の影のy座標がになるのは、回ったところと、回ったところで、運動する点は、この間に回転するので、円周のだけ回転する時間、つまり、周期のの時間が答になります。

(ヲ)　等加速度運動の公式より、
∴ ......[答]

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京大物理'03年前期[1](その１)
京大物理'03年前期[1]
次の文を読んで、　　に適した式をそれぞれの解答欄に記入せよ。なお、　　は、すでに　　で与えられたものと同じものを表す。また、下線部に関して、単振動が生じる理由を解答欄(A)に記入せよ。

重力加速度の2倍まで加速が可能なエレベーターを想定する。以下では、すべて、エレベーターに固定された観測者から見た運動を考え、空気による抵抗は無視する。なお、必要であればを利用せよ。
エレベーターが静止している状態で、床に固定された質量の無視できるばね(ばね定数k)の上に、厚さの無視できる質量Mの台Pを固定し、その上に大きさの無視できる質量mの物体Qを静かに置いたとき、台Pは図1のように天井からHの距離で静止した。重力加速度をgとしたとき、ばねは自然長から　イ　縮んでいる。
この状態でエレベーターが図2のように上昇を始めたとき、台Pと物体Qは自然長から　ロ　縮んだ位置を中心として単振動を始めた。この直後、観測者は台Pと物体Qをつかんで、つりあいの位置すなわち単振動の中心位置にPとQを静止させた。
次に、図2で速度が一定になる時刻の後のPとQの運動について考える。時刻の後、PとQは再び運動を始める。運動開始後の鉛直上向きの加速度をb，PQ間に働く垂直抗力をNとする。ばねが自然長からx縮んでいるとき、Pの運動方程式は　ハ　，Qの運動方程式は　ニ　となる。b を消去することで、垂直抗力は　ホ　となり、の場合にはQが台Pから離れ、その位置は、ばねの自然長位置である。そのときのQの速度(鉛直上向きを正とする)は、エネルギー保存則
×　ロ　＝　ヘ　
からとなる。台Pから離れた後、Qがエレベーターの天井に衝突しない条件はH >　ト　である。
この条件を満たすとき、PとQが離れた後のそれぞれの運動の概略は図3のようになる。Qの台Pと衝突するまでの時間とその位置に関し、，の場合について次のように考察した。
台PはQを放出した後、周期　チ　の単振動となり、その振動の中心はばねの自然長先端から　リ　下がった位置にある。また、台Pはばねの自然長からさらに　ヌ　伸びた位置で最高点に達する。このことから、台PがQを放出した位置から再びその位置に戻って来るのに要する時間は　ル　である。一方、Qが台Pから離れた瞬間の位置から再びその位置に戻ってくるのに要する時間は　ヲ　であることから、Qが台Pに到達するのはこれ以降となる。
解答　もう少し受験生のことも考えて解答しやすい問題の方が良いのでは、という気がしますが、問われていることも幅広く難問です。

(イ)　ばねの自然長からの縮みをdとして、力のつり合いより、
∴ ......[答]

(ロ)　図2より、このときのエレベーターの加速度はaであり、PとQは鉛直下向きに大きさの慣性力を受けます。単振動の振動中心は、力のつり合いの位置なので、力のつり合いの位置を考えます。慣性力も含めた力のつり合いが成立するときのばねの縮みをとして、
∴ ......[答]　((イ)の結果のgを、見かけの重力としたものになっています)

(A) 単振動が生じる理由：ばねの縮みをx，加速度をaとして、
P＋Qの運動方程式：
∴
これは、(ロ)の結果：縮んだ位置を振動中心とする、角振動数の単振動を表す。

(ハ)　Pが受ける力は、Qから受ける鉛直下向きの垂直抗力：，Pに働く重力：，ばねから受ける鉛直上向きの力：
Pの運動方程式： ......[答]

(ニ)　Qが受ける力は、Pから受ける鉛直上向きの垂直抗力：N，Qに働く重力：
Qの運動方程式： ......[答]

(ホ)　(ニ)の結果より、，(ハ)の結果に代入して、
∴ ......[答]

注．において、P，Qに働く慣性力がなくなってしまうと、(ハ)(ニ)(ホ)の結果より、PとQが接触している条件は，つまり、となります。になると、となり、QがPから離れます。においては、P，Qは、自然長よりd縮んだ位置を振動中心として単振動しますが、において、P，Qは縮んだ位置にいたので、単振動の振幅はです。，つまり、となる場合には、上側の振動端がに到達するので、PとQが離れることになります。

(ヘ)　時刻直後では、ばねはだけ縮んでいて、PとQは等速度運動しています。このときの力学的エネルギー(つまり(ヘ)の答)は、
......[答]

Pと離れるときのQの速度をvとします。問題文中の力学的エネルギー保存の式より、


これより、
∴ ･･･��

(ト)　自然長の位置と天井との距離はだから、Qがエレベーターの天井に衝突しない条件は、Pと離れるときのQの運動エネルギー：が、Pと離れる時のQの位置を基準とした天井におけるQの位置エネルギー：よりも小さいことです。
∴
�，鯊綟�して、

∴ ......[答]

その２へつづく   
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2008年08月01日

京大物理'04年前期[3](再掲)
京大物理'04年前期[3]
次の文を読んで、　　には適した式を、　　には正しいものを選びその記号を、それぞれの解答欄に記入せよ。
　図1に示されたような、長さL，質量mの細い導体棒が、半径aの2枚の導体円板P，Qの縁で円板に対して垂直に固定され、水平に設置された装置がある。2枚の導体円板は、円板の中心を通る導体でできた水平な軸のまわりを摩擦なしで、2枚そろって自由に回転できる。この装置に対して、鉛直下向き方向、あるいは導体棒に対して垂直な水平方向に一様な磁界を加えることができる。ここでは、導体円板の質量、導体棒の太さ、導体棒と軸および円板の電気抵抗、2枚の導体円板の間の空間に生じる電界の影響および導体を流れる電流が作る磁界の影響は、いずれも無視できるものとする。また、重力加速度をgとし、空気による抵抗はないとする。
(1) 図1のように、鉛直下向き方向に磁束密度Bの一様な磁界が加わっている。導体棒が最も低い位置にある状態から導体円板を微小角だけ回転させ静かに手を離すと、導体棒は角振動数　あ　で単振動し、このとき2枚の導体円板の間に生じる誘導起電力の最大値は　い　であった。
(2) 図2のように、鉛直下向き方向に磁束密度Bの一様な磁界を加え、2枚の導体円板の間に電気抵抗Rの抵抗と起電力Vの電池を直列に接続した。このとき、導体円板に手を添えてゆっくりと回転させ、ある角度で静かに手を離すと、導体棒は静止した。この静止位置は、鉛直下向き方向に対して、＝　う　を満たす角度q の位置である。この静止位置から、さらに導体円板を微小な角度だけ回転させ静かに手を離すと、導体棒は角度q の位置を中心にして、しばらくの間振動した。振動の減衰が無視できる場合には、この振動は角振動数　え　の単振動で表される。
(3) 図3のように、今度は導体棒に対して垂直な水平方向に磁束密度Bの一様な磁界が加わっている。導体棒の位置が鉛直下方から角度だけ回転した状態で静かに手を離すと、導体棒は振動を始めた。ここでは角度は必ずしも微小ではない。また、図のの向きを角度q の正の向きとし、とする。さらに、導体円板P，Qの間に生じる起電力は、PからQに向かう向きを正とする。導体棒が、鉛直下方から角度qだけ回転した位置において、角度q の正の向きに運動しているとき、導体棒の速さは　お　であり、導体円板の間に生じる起電力は、　か　で与えられる。
　導体棒の振動によって生じる起電力の時間的変化の概略を、静かに手を離してから後の導体棒の振動の1周期にわたってグラフで表すと、図4の　き　のようになる。ただし、図4のそれぞれのグラフの縦軸は起電力を、横軸は時間を表している。
(4) 図5のように、2枚の導体円板の間に電気容量Cのコンデンサーと抵抗Rを直列に接続した。導体棒に対して垂直な水平方向に磁束密度Bの一様な磁界を加えた状態で、導体円板を一定の角速度w で回転させると、2枚の導体円板間に生じる起電力の最大値は　く　となる。
　ここで、回路を流れる電流が周期的となり、で表されるようになったとして、このIを用いると、抵抗の両端にかかっている電圧は　け　，コンデンサーの両端にかかっている電圧は　こ　と表される。したがって、抵抗とコンデンサーの直列回路の両端にかかっている電圧の最大値は　さ　×Iとなる。
以上により回路を流れる電流の最大値Iが求められる。
解答　(4)では、交流の発生、インピーダンスも参照してください。

(1)(あ) 糸の長さaの単振り子の単振動と考えると、導体棒の単振動の角振動数は、
.......[答]
(い) 導体棒の単振動の振幅は、半径a，頂角に対する円弧の長さと考えられ、
導体棒の速さの最大値は、
導体棒に発生する誘導起電力は導体棒の速さに比例するので、導体棒の速さが最大のときに最大になります。
誘導起電力の最大値は、
......[答]

(2)(う) 磁界が導体棒に流れる電流に及ぼす力は、大きさ： (向きは、フレミング左手の法則より右図)
導体棒にはたらく力の接線方向の力のつり合いより、
∴ ......[答]
(え) Fとの合力を見かけの重力と考えます。
∴
導体棒の単振動の角振動数は、
.......[答]
(より、とすることもできます)

(3)(お) 今度はが微小ではないので、導体棒の運動を単振動と見なすことができません。導体棒の運動を不等速円運動と考え、力学的エネルギー保存則を考えます。
位置エネルギーの基準を最下点にとると、手を離したときの位置エネルギーは、
角度q だけ回転した位置において、導体棒の速さをvとして運動エネルギーは，位置エネルギーは、
力学的エネルギー保存より、
∴ ......[答]
(か) 導体円板に生じる起電力Vは、速度と磁界のなす角はq であって、
......[答]　(起電力については、フレミング右手の法則を参照)

(き) はじめ、導体棒が最下点に向かって下がってくるとき(で、q が減少するとき)、フレミング右手の法則より、導体棒にQ→Pの向きの起電力が発生します。この起電力は負です。
導体棒が最下点から向こう側に上がっていくとき(で、q が減少するとき)、導体棒にはP→Qの向きの起電力が発生します。この起電力は正です。
導体棒が、向こう側から最下点に向かって戻ってくるとき(で、q が増加するとき)、導体棒にはQ→Pの向きの起電力が発生します。この起電力は負です。
導体棒が最下点からこちら側に上ってくるとき(で、q が増加するとき)、導体棒にはP→Qの向きの起電力が発生します。この起電力は正です。
導体棒の振動の1周期にわたって、起電力が、負、正、負、正と変化するグラフは、(f) ......[き]

(4)(く) 等速円運動している導体棒の速さは
フレミング右手の法則より、導体棒が手前側にあるときに、正の起電力が発生し、導体棒が向こう側にいるときに、負の起電力が発生します。起電力が最大になるのは、の位置に来たときです。このとき、速度と磁界は垂直で、起電力の最大値は、
 ......[答]

(け) オームの法則より、抵抗両端の電圧は、 ......[答]

(こ) コンデンサー両端にかかっている電圧をV，コンデンサーが蓄えている電荷をQとして、
両辺を時間tで微分すると、
ここで、電流の正の向きが指定されていないので、少々困ります。
起電力の正の向きをP→Qとしているので、電流の正の向きをP→Qの方向に電流が流れる向きと考えるのが自然です。コンデンサーの電圧Vの符号は、のときを考えると、正の電流がコンデンサーに流れ込むことによって、コンデンサーCのQ側の正電荷、P側の負電荷の量が増大して正の電圧を生ずると考えるのが自然です。
よって、コンデンサーの電流：と考えます。
∴
コンデンサーがはじめに放電されていたかどうかも問題文に書かれていないのですが、において、コンデンサーには電荷が蓄えられておらず、電圧ゼロであったと考えるのが自然です。
よって、 .......[答]

(さ) 抵抗Rと電気容量Cのコンデンサーの合成インピーダンスは、
電圧、電流の最大値については、オームの法則と同様に考えることができるので、電圧の最大値は、
......[答]
抵抗とコンデンサーの電圧を合成して、
　(三角関数の合成を参照)
(d は、，を満たす角(位相))
と考えることもできます。

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2008年07月31日

京大物理'04年前期[2](その２)
その１からのつづき
(4)(チ) 過程(4)は断熱変化で気体の吸収した熱量は0です。
弁Dを開けると気体は領域�兇慙海貊个靴泙垢�、領域�兇録振�で真空への膨張(自由膨張)では、気体は仕事をしません。ピストンCがストッパーに接触したままなので、気体�気和腟い紡个靴討�仕事をせず、ばねに対してのみ仕事をします。
ばねの縮みがと変化するので、気体�気�ばねに対してした仕事、即ち、ばねが蓄えたエネルギーは、(3)と同様にして、
負になるということは、ばねが弾性エネルギーを放出して気体に対して仕事をした(気体は仕事をされた)ということです。
過程(4)において、気体�気�温度がになったとして、気体の内部エネルギーの変化は、
熱力学第一法則より、
�，茲蝓�だから、
∴
∴ ......[答]

(リ) ばねが自然長にもどったとき、領域�機の琉茘兇砲△覽ぢ里�体積は，このときの気体の温度は，圧力をとして、
状態方程式： ･･･��
�Α爿，茲蝓�
∴

ピストンCがストッパーに接触したままだったということは、ピストンCに働く力は、右向きの力の大きさが左向きの力の大きさ以上だということです(ストッパーから受ける左向きの垂直抗力を含めて力のつり合いが成立します)。つまり、領域�機の琉茘兇砲△覽ぢ里�圧力が大気圧以上だということです。
∴
∴
∴ ......[リ]

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京大物理'04年前期[2](その１)
京大物理'04年前期[2]
次の文を読んで、　　に適した式をそれぞれの解答欄に記入せよ。なお、文中に挿入された問1については、解答欄にグラフを描け。
　図1のように、一端が壁Aで閉じられた、断面積Sのシリンダーがあり、摩擦なしで動くことができるピストンB，Cによって3つの空間領域�機き供き靴吠�けられている。領域�気砲賄典つ餽�rのニクロム線でできたヒーターがあり、内部抵抗を無視できる起電力Vの電池とスイッチKでできた外部の回路に導線でつながれている。ピストンBにはごく細い通気口が開けられているが、最初は弁Dによって閉じられている。ピストンB，Cは、フックの法則に従う自然の長さがLのばねで結ばれている。シリンダー内には、壁Aから距離の位置にストッパーが、さらにからばねの自然長LとピストンB，Cの厚さをあわせた距離の位置にストッパーが設けられ、ピストンを停止できるようになっている。ただし、Lはより大きい。また、シリンダーとピストンはともに断熱材でできており、ストッパー、ばね、弁、通気口、ヒーターおよび導線の体積は、いずれも無視できるものとする。なお、大気圧をとする。
最初は、領域�兇録振�で、領域�気砲話姥胸卻�子理想気体が入れられ、その圧力と温度がそれぞれ，であった。また、領域�靴肋錣紡腟ぐ�の外気と通じている。図1に示したように、この状態でピストンBはストッパーに接触して停止し、ピストンCはストッパーから距離aの位置で停止していた。このことから、ばね定数は　イ　であることが分かる。その後、以下のように過程(1)から(4)の順にシリンダーの状態を変化させた。
(1) スイッチKを閉じて回路に電流を流すと、領域�気竜ぢ里硫硬戮呂罎辰�りと上昇し、ある時刻にピストンBがストッパーを離れ始めた。このときの領域�気竜ぢ里硫硬戮�　ロ　であった。電池により供給されたエネルギーがすべて気体に吸収されたとすれば、この時刻はスイッチKを閉じてから時間　ハ　の後である。
(2) その後、ピストンBはゆっくりと移動し、領域�気竜ぢ里硫硬戮�　ニ　になると、ピストンCがストッパーに接触し停止した。この過程で領域�気竜ぢ里�吸収した熱量は　ホ　である。
(3) さらにピストンBはゆっくりと移動し、ピストンB，C間の距離が縮まっていった。ばねの長さがに達した時点でスイッチKを開いた。このとき領域�気竜ぢ里硫硬戮�　ヘ　であり、過程(3)で領域�気竜ぢ里�吸収した熱量は　ト　である。
問1 (1)から(3)までの過程における領域�気竜ぢ里両�態変化の様子を、図2のように体積を横軸に、圧力を縦軸にとり、解答欄にグラフで示せ。グラフ用紙の横軸と縦軸の目盛りの数値は、それぞれ量とを1として表している。例えば図中の×印の点は、体積が，圧力がの状態に対応する。グラフは概略を示すものでよいが、図中の記入例にならって、各過程の始点と終点に黒丸・を、さらに適当な位置に(1)，(2)，(3)の番号を付け、グラフのそれぞれの部分がどの過程を表すかが分かるようにすること。
(4) その後、ピストンBの弁Dを開いたところ、ピストンBはゆっくりと動き始め、ばねは自然長に戻ったが、ピストンCはストッパーに接触したままであった。スイッチKは開いていたから、この過程は断熱変化である。ばねが自然長に戻ったとき、シリンダー内の気体の温度は　チ　であった。また、このときにもピストンCがストッパーに接触したものであったことから、ばねの自然長Lと長さaの間には、≧　リ　の関係が成り立っていたことが分かる。
解答　「ばねつきピストン」というだけでなく、(4)では、自由膨張まで考えるので、問題文に「断熱変化」というヒントはありますが、それでも考え込んでしまいます。

(イ) ばね定数をkとします。最初、ピストンCには、右向きで大きさの(ばねの)弾性力と、左向きで大きさの大気圧による力が働いて、つりあっています。
力のつり合い：
∴ ......[答]
最初の領域�気竜ぢ�(以下、気体�気箸靴泙�)について、
状態方程式： ･･･��

(1)(ロ) ピストンBがストッパーを離れるとき(ピストンBとストッパーの間の垂直抗力は0)、気体�気�圧力をP，温度をとして、ピストンBとばねとピストンCから成る系に働く力は、気体�気�圧力による右向きで大きさの力と、大気圧による左向きで大きさの力で、この両者の力のつり合いより、
このときの気体�気�状態方程式： ･･･��
�◆爿，茲蝓� .......[答]

(ハ) スイッチKを閉じてから、ピストンBがストッパーを離れるまで(この間の変化は定積変化です)の時間をtとして、気体�気�吸収した熱は
気体�気�体積は変化していないので、気体�気里靴�仕事は0
気体��(単原子分子理想気体なので定積モル比熱はです)の内部エネルギーの変化は、温度がと変化したので、�，鰺僂い董�
熱力学第一法則より、
∴ ......[答]

(2)(ニ) (1)の後、ピストンBとばねとピストンCから成る系に働く力は、右向きの気体�気�圧力による力と、左向きの大気圧による力のみです。ピストンBがゆっくり移動したと問題文に書かれているので、無視できるくらいの小さな速度で等速度運動したと考えると、過程(2)においても、ピストンBとばねとピストンCから成る系に働く力のつり合いが成立します。従って、気体�気�圧力はで一定に保たれていて、気体�気�定圧変化をしています。
ピストンCがストッパーに接触したとき、気体�気�体積はで、温度をとして、気体�気�状態方程式： ･･･��
��÷�，茲蝓� ......[答]

(ホ) 単原子分子理想気体の定圧モル比熱はです。過程(2)において気体�気�温度は、と変化します。
定圧モル比熱の式を用いると、過程(2)において気体�気�吸収した熱量は、�，鰺僂い董�
......[答]

(3)(ヘ) ばねの長さがに達した時点(ばねの縮みは)で、気体�気�体積はで、圧力を，温度をとして、
ピストンBに働く力のつり合い：
(イ)の結果を用いて、
この時点での気体�気�状態方程式： ･･･��
�ぁ爿，茲蝓� ......[答]

(ト) 過程(3)において、ピストンCはストッパーに押さえられているので、気体�気和腟い紡个靴討�仕事をせず、ばねに対してのみ仕事をします。
ばねの縮みがと変化するので、気体�気�ばねに対してした仕事、即ち、ばねが蓄えた弾性エネルギーは、(イ)の結果を用いて、
気体�気�温度はと変化するので、この間の気体�気�内部エネルギーの変化は、
熱力学第一法則より、過程(3)において気体�気�吸収した熱量は、
......[答]
なお、過程(3)において、ばねの縮みをxとする()と、気体�気琉砧�Pと体積の間には、
ピストンBに働く力のつりあい：
よりxを消去して、
∴ 　･･･��
という関係があります。

問1　各過程において、(体積，圧力)の変化を確認しておくと、
過程(1)では、　(定積変化)
過程(2)では、　(定圧変化)
過程(3)では、と変化します。�イ茲蝓▲哀薀佞歪樟�の一部分になります。状態変化の様子をグラフに表すと右図。

その２へつづく   
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京大物理'04年前期[1](その２）
その１からのつづき
(4) 問題文の途中にでなければならないと書いてありますが、右図(a)のように、初期位置Cが原点よりも上にある場合、ひもが伸びきったとき、つまり小球がDに来たとき、小球の速度ベクトルはよりも傾きが大きく、と同じ向きを向くことはありません。ということは、ODと垂直な面とDにおいて完全弾性衝突すると考えると、衝突後に進む方向は衝突前に進んできた方向と異なる方向です。これでは、問題文にあるような周期運動にはなり得ません。
従って、周期運動を行うのであれば、右図(b)のように、初期位置Cは原点よりも下側(つまり)であって、Dにおける小球の速度ベクトルはと同じ方向を向くはずです。Dにおいて、ODに垂直な面と完全弾性衝突する、と考えると、衝突後に進む方向は方向であって、もと来た道筋をたどって初期位置に戻り、における運動と対称な運動をにおいて行い、以後周期運動を続けることになります。

(ク) がx軸正方向となす角の大きさをq とすると、Dなので、です(に注意)。
一方Dにおける速度ベクトルの方向もと同じ方向なので、です(に注意)。
以上より、 ......[答] ･･･��
(ケ) 小球は初期位置Cより、x軸方向には等速度運動(速度)を行い、y軸方向には等加速度運動(加速度，初速度0)を行います。
よって、 ......[答] ･･･��
(コ) ......[答] ･･･��
(サ) また、，，及び�△茲蝓�
分母を払うと、
∴ ......[答] ･･･��
この式からも、が確認できます。また、�い茲蝓�
･･･��
(シ) より、
��，�ァきΔ茲蝓�
整理すると、
これを解き、となる解を選ぶと、
......[答]

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京大物理'04年前期[1](その１)
京大物理'04年前期[1]
次の文を読んで、　　には適した式を、{　　}からは正しいものを選びその番号を、　　には20〜50字程度の適切な語句を、それぞれの解答欄に記入せよ。なお、　　は、すでに　　で与えられたものと同じものを表す。
質量を無視できる軽いひもの一端が原点Oに固定され、他端には、質量mの、大きさを無視できる小球がつけられている。ひもは自然長がlで、自然長より引き伸ばす引張りに対しては、フックの法則に従うばね定数kのばねのようにふるまうが、圧縮や曲げには全く抵抗しない。ここで、重力加速度をgとし、小球とひもの運動に対する空気の抵抗は無視できるものとする。また、原点Oから水平方向にx軸、鉛直上方にy軸をとり、y軸上のの点をAとする。
(1) 図1のように、小球を静かにつるしたとき、小球は−　ア　において静止した。この位置を点Bとする。
(2) 小球を点Aから静かに放したときの運動を考えよう。小球が到達する最下点は、{イ．�‥�Bより上である。��点Bに一致する。�Ｅ�Bより下である。�い海譴世韻任枠獣任任�ない。}また、この場合の小球の運動は　ウ　である。(ウには、例えば「点Aから点Bにいたる等速直線運動」のような語句を記入せよ。)
(3) 次に、小球を原点Oから静かに放した場合を考えよう。小球が放されてから初めて (ただし、)に達したときの速度の大きさは　エ　で与えられる。また、小球が達する最下点は、点Bより距離　オ　だけ下の位置である。
小球が初めて点Aに達してから次に点Aにもどってくるまでの所要時間を調べてみよう。小球が初めて点Aに達してから初めて点Bに達するまでの間における速度の大きさの最小値は　カ　である。一方、小球が初めて点Bに達してから次に点Bにもどってくるまでの所要時間は　キ　である。したがって、所要時間は、
2×　オ　＋　キ　
　カ　
より小さい。
以上の結果より、ばね定数kが非常に大きい極限では、ひもの伸びの長さ、および、ひもが伸びている間の時間は、ともに非常に小さくなる。したがって、この場合の小球の運動は、点Aを通る水平な床に衝突し、反発係数(はねかえり係数)1ではねかえる場合の運動と同じであるとみなすことができる。
(4) 以下では、ばね定数kは十分大きくて、(3)の最後で述べた考え方が成り立っているものとする。
今度は、小球をy軸上の (ただし、)の点Cから、時刻に、x軸の正の向きに初速度 (ただし、)で投げた。ひもは、小球がある点Dに達したとき、初めて伸びきった。その後、小球はCD間の経路を逆にたどって点Cを通過し、点Eで再びひもが伸びきった後、CEの経路を逆にたどって点Cにもどり、以後これを繰り返して周期運動を続けた。この周期運動が実現するために必要な、との間の関係を調べてみよう。まず、点Dに達する直前の小球の速度のx，y成分と、点Dのx，y座標の間には、＝　ク　の関係が成り立っていなければならない。また、小球が初めて点Dに達した時刻をとして、，を，，T，および重力加速度gを用いて表せば、＝　ケ　，＝　コ　である。，も同様にして表すことにより、Tとの間の関係、＝　サ　が得られる。したがって、でなければならない。さらに、条件を用いれば、は初速度の関数として決まり、＝　シ　となる。
解答　糸につながれた物体の運動について、糸がぴんと張る瞬間には、完全弾性衝突のように考えようという問題です。

(1)(ア) ばねの伸びをsとして、小球のy座標はです。小球に働く力のつり合いより、
∴
よって、小球を静かにつるしたとき、小球が静止する位置Bは、

.....[答]

(2)(イ) 小球をAから静かに離すと、小球が到達する最下点は、
�� 点Bより下である。 .....[答]
(ウ) この場合の小球の運動は、
ABを振幅、Bを振動中心とする単振動 ......[答]
になります(単振動参照)。

(3)(エ) 小球を原点Oから静かに離すとき、重力による位置エネルギーの基準を原点Oにとると、原点Oにおいて、重力による位置エネルギーは0，ひもはたるんでいるので弾性エネルギーも0，運動エネルギーも0です。位置において、重力による位置エネルギーは，ひもはs伸びているので弾性エネルギーは，速さをvとして運動エネルギーはです。
力学的エネルギー保存より、
∴ ......[答] ･･･��
(オ) 小球が到達する最下点ではとなります。�，砲�いて、とすると、
整理すると、
∴
より、
小球が達する最下点は、点Bより距離 ......[答] だけ下の位置。
(カ) �，虜�号内を平方完成すると、
小球がAB間にいるとき、より、この範囲においてはのとき(小球がAに来たとき)に最小値をとります。
よって速度の大きさの最小値は、 ......[答]
(キ) 小球はBを振動中心とする単振動を行う。単振動の周期はで与えられるから、初めてBに達してから次にBに戻ってくるまでの所要時間は、単振動の半周期に等しく、 ......[答]

小球の速さはAからBまで増大するので、AからBまでの所要時間は、距離をAにおける速さで等速運動した場合に要する時間よりも短いはずです。BからAに戻る時間についても、運動の対称性より、同様です。従って、初めてAに達してから次にAにもどってくるまでの所要時間について、
となるはずです。
ここでとすると、右辺は0に近づくので、となります。
問題文に書いてあるように、ばね定数kが非常に大きい極限(ひもに柔軟性がなく非常に堅い)では、ひもの伸びの長さ、及び、ひもが伸びている時間は、ともに非常に短くなり、この場合の小球の運動を、反発係数1の衝突と同等に扱うことができます。
その２へつづく  
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2005年11月04日

京大物理'02前期[3]
京大物理’02前期[3]
　次の文を読んで、文中のに適した式または数値を、それぞれの解答欄に記入せよ。はすでにで与えられたものと同じものを表す。なお、微小量x ()および実数aに対して成り立つ近似式を用いよ。

音波と電波の両方を同時に用いると、以下のようにしていろいろな高度での音速を測定することができ、測定された音速から大気の温度の高度分布を知ることができる。ここで音速をで表し、電波の速さを真空中の光速c ()と等しいとする。音速は光速cより十分小さいのでは微小量であることに留意せよ。
　大気は通常では電波を反射しない。しかし、図1に示すように音波を発射して大気の密度の増減を引き起こすと、電波を反射する面が音波の波長に等しい間隔でいく重にもあらわれ、地上から発した電波の一部は、これらの面で反射して再び地上に戻ってくる。この反射面の間隔は音波の振動数をとするとである。
　図1に示すように、地上から垂直に上空に向け、振動数の音波を短時間発した。音波を発して時間後に、音波と同じ方向に、やはり短い時間だけ電波を発射したところ、電波を発して時間後に地上に戻ってきた電波が観測された。このことから反射が生じた高度はであることがわかる。
　電波に対して音波など一般の波と同じようにドップラー効果を考えることができ、観測者および波源の動く速さが光速より十分に小さいときには、ドップラー効果の関係式は音波の場合と同じになる。よって、音速で上昇する仮想的な観測者には電波の振動数は発射した電波の振動数fからずれてみえ、と表される。ここで、振動数のずれはとなる。したがって、反射してきた電波を地上で測定すると、その振動数はと表すことができる。ここで、振動数のずれはとなり、これより高度hにおける音速を知ることができる。
　このような観測では地上に戻る電波が強いことが望ましい。そこで発射する電波の振動数fを変えて繰り返し発射し、反射してくる電波の強度を観測した、その結果、電波の強度は振動数fとともに大きく変化し、のときに最大になった。その理由を考えてみよう。電波の速さは音速で上昇する観測者に対しても光速cに等しいので、振動数fで発射した電波に対して、この観測者が見る波長はとなる。したがって、異なった反射面で反射される波が互いに強め合う条件は、自然数nを用いてとなる。この関係式においてとおくと、音速は電波の振動数を用いてと表すことができる。ただし、は微小量なのでを含む項は無視せよ。
　音速は高度とともに変化する大気圧には直接依存せず、大気を構成している分子の速さの平均(二乗平均速度)で近似的に与えられることがわかっているので、音速は絶対温度Tの乗に比例することになる。したがって、いろいろな高度で音速を測定すれば、それぞれの高度における大気の温度を知ることができる。例えば、ある観測の結果、であったとすると、がで与えられることを用いて、電波が反射された高度での音速はm/s，温度はとなる。それぞれ有効数字3桁および2桁で答えよ。ここで、音速はにおいてであるとして計算せよ。

(ア) 反射面の間隔は、音波の波長です。よって、 ......[答]

(イ) 電波は光速cで、時間の間に距離hを往復するから、 ......[答]

(ウ) 観測者が速さで遠ざかります。ドップラー効果の公式より、観測される振動数は、
∴ ......[答]

(エ) 反射面にいる振動数の波源が速さで遠ざかります。ドップラー効果の公式より、
　
　
　
∴ ......[答]

(オ) 速さで電波源から遠ざかる観測者の観測する振動数はであって、電波の速さはcだから、この観測者が観測する電波の波長は
　 ......[答]

(カ) 「異なった反射面」と問題文にありますが、自然数は1つnしか出てこないので、「隣接した反射面」として考えます。
隣接した反射面の距離は(ア)よりで、隣接する反射面で反射する2つの電波の経路差はこの2倍になります。経路差が波長の整数倍のときに強め合うので、nを整数として、
∴ ......[答]

(キ) (オ)，(カ)の結果より、
ここで、，として、
分母を払って整理すると、
∴
　 ......[答]

(ク) 分子の速さの2乗の平均値をとします。より、
従って、音速は温度の乗 ......[答] に比例します。

(ケ) (エ)の結果を用いて、
∴ ......[答]

(コ) ･･･��
のとき、絶対温度は，このときの音速が330m/sだから、
･･･��
�　爿△箸靴董�
∴
求める温度は、 ......[答]

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(Ｃ)2005　(有)りるらる  
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2005年11月03日

京大物理'02前期[2]
京大物理’02前期[2]
　次の文A，Bを読んで、に適した式をそれぞれの解答欄に記入せよ。なお、単位系は国際単位系(SI)を用い、すべての装置は真空中に置かれているものとして、真空の透磁率をとする。

A．図1および図2に示すように、水平面上にある十分に長い直線導体Pに直線電流Iが流れている。2本の直線導体Qおよびが導体Pを含む水平面内にあり、導体Pから距離xの位置において導体Qとの間隔がxに等しくなるように配置されている。これら2本の導体の上に、質量mの直線導体Kがおかれていて、導体Pと平行のままx方向に摩擦なしに動くことができる。

(1) 図1に示すように、導体Kを一定速度vでx方向に運動させる。導体Kがに達したとき、導体Kの位置における磁束密度の大きさはで与えられ、導体Kが導体Qおよび導体と接触する2つの点、cとの間に発生する起電力はとなる。

(2) 図2に示すように、導体Kが位置に静止した状態で、導体Qと導体の間に抵抗Rを介して起電力Eの電池を接続し、ループ回路を構成する。ただし、導体の抵抗は抵抗Rに比べて十分小さく、また、ループ回路を流れる電流が作る磁界は直線電流Iが作る磁界に比べて十分小さく、いずれも無視できるものとする。このとき、導体Kには大きさの力が働き、x方向に動き始める。に達したときに導体Kの速度がvであったとすると、そのとき導体Kを流れる電流はであり、導体Kの加速度はと表される。そして十分長い時間がたつと、導体Kの速度は一定値に近づいていく。

B．図3に示すように、2本の十分長い直線導体Pおよびがy軸に平行におよびの位置に並んでいて、いずれにもy軸の正の方向の直線電流Iが流れている。これらの導体と同じ平面内にx軸に平行な2本の直線導体Qおよびが間隔hで並んでいて、導体Qと導体の上にはy軸に平行のまま摩擦なしにx軸に沿って動くことのできる質量mの直線導体Kがおかれている。ここでx軸，y軸は水平面内にある。導体Qと導体の間には、抵抗RとスイッチSを介して起電力Eの電池が接続されており、はじめはスイッチを開いておく。導体の抵抗は抵抗Rに比べて十分小さく、また、ループ回路を流れる電流が作る磁界は電流Iが作る磁界に比べて十分小さく、いずれも無視できるものとする。

(1) 紙面に対して上向きをz軸の正の方向とすると、位置xにおけるz方向の磁束密度はで与えられる。導体Kが原点近傍の位置に静止した状態でスイッチSを閉じると、導体Kにはx方向の力が働く。距離bがdに比べて十分短くが成り立つとき、導体Kに働くx方向の力はと近似することができる。

(2) 初期位置が原点に十分近く、導体Kが磁界中を動くことによって発生する起電力は電池の起電力Eに比べて無視できると仮定する。このとき、導体Kはの近傍において角振動数で単振動する。

(3) 導体Kが磁界中を動くことによって発生する起電力が電池の起電力Eに比べて無視できる条件を求めてみよう。はじめに導体Kがの位置で静止していて、スイッチSを閉じた後のまわりで単振動しているとき、導体Kに発生する起電力の最大値は角振動数wを用いてと表される。したがって、この起電力が電池の起電力Eに比べて無視できるための条件は、(2)で求めたwの表式を代入することによって、と表される。

A．(1)(あ) における磁界は，磁束密度は ......[答]
磁界の向きは、右ねじの法則により、紙面手前より向こう向きです。

(い) 導体Qと導体に挟まれた部分で導体Kが微小時間の間に通過する部分(台形)の面積は、
を無視して、
を貫く磁束は
起電力の大きさは、 ......[答] (問題文に起電力の向きについての指定がないので、大きさを答えておく。)
フレミング右手の法則より、運動の方向(親指)がx方向、磁界の方向(人差し指)が紙面手前より向こう向きで、起電力の向き(中指)は、の方向です。

(2)(う) における磁束密度は(あ)の結果においてとして、
導体Kが受ける力の大きさは、 ......[答]
フレミング左手の法則より、磁界の方向(人差し指)が紙面手前より向こう向き、導体Kの電流の方向(中指)はy軸負方向で、力の方向(親指の方向)がx軸正方向です。

(え) (い)の結果より、起電力の大きさは導体Kの移動中に(向きはの向き)で一定です。よって、導体Kを流れる電流は、 ......[答] (電流正の向きの指定がないので、起電力Eの流す電流を正として答えておく)

(お) 導体Kのx軸方向の加速度をaとして、運動方程式：
∴ ......[答]

(か) はじめなので、ですが、なので次第にvが増大して、となり、
よって、
∴ ......[答]

B．(1)(き) 位置xとPの位置との距離は，位置xとの位置との距離は
Pの電流が位置xに作る磁界はz軸正方向を正として、，の電流が位置xに作る磁界は
位置xにおける磁束密度は、 ......[答]

(く) (き)の結果においてとして、
導体Kの受ける力の向きは、フレミング左の法則より、磁界の向き(人差し指)がz軸正方向、導体Kを通過する電流の向き(中指の向き)がy軸負方向で、力の向き(親指)はx軸負方向なので、x軸方向の力の符号を負として、導体Kの受ける力は、 ......[答]

(け) (く)の結果において、により、を無視すると、 ......[答]

(2)(こ) 導体Kが位置xにいるときに働く力は、(け)の結果でとしたものになります。
導体Kのx方向の加速度をb として、運動方程式：
∴
これは、角振動数 ......[答] の単振動を表します。

(3)(さ) 導体Kが位置xにいるときの導体Kの速度をv，導体Kの位置における磁束密度をBとします。 (き)の結果でとして、
導体Kに発生する起電力はとなりますが、ここでは、vとBがともに変化するので注意が必要です。
とすると、，

これより起電力の最大値は、 ......[答]

(し) 起電力の最大値がEに比べて無視できる場合、
両辺を2乗して整理すると、
∴ ......[答]

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(Ｃ)2005　(有)りるらる  
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