2006年10月07日
積分法
積分法
数学�靴寮冓�では、三角関数、指数関数、対数関数を含む関数の積分も扱います。これらの積分には、置換積分法、部分積分法などの技巧が必要になります。また、区分求積法により、積分の原理を学びます。
積分法を応用することにより、面積、体積、曲線の長さなどの計算を行うことができます。ここでは、種々の曲線について、面積、体積の計算を行った例も取り上げます。
この項目では、不定積分、定積分、定積分の公式、定積分と微分、定積分と面積、絶対値を含む積分の項目も参照してください。
ここで学習する内容は、以下の通りです。各項目をクリックしてください。
不定積分の公式
(
)，
，
，
，
，
置換積分 そのままの形では積分計算ができなくても、被積分関数の中の式を文字に置き換えたり、文字を式に置き換えたりすると、積分計算が行える場合があります。
，
，
，
，
，
の置き換えを扱います。
置換積分(その2)
では、
とおき、
では、
とおくとうまくいくことがあります。
部分積分法 公式：
により積分が行える場合があります。
定積分の漸化式
というタイプの漸化式を考えます。
の漸化式：
偶関数・奇関数の積分
が偶関数であるとき、
，
が奇関数であるとき、
三角関数の積分
という形の積分は、nに入る自然数によって計算のしかたを工夫する必要があります。
分数関数の積分 分母、分子がxの整式であるような分数関数は、部分分数に分けることによって積分を実行します。
置換積分(その3)
，
の置き換えを扱います。
定積分と微分(その2)
区分求積法 定積分が面積を表していることを確認します。無限級数を定積分に変換する公式：
定積分と不等式
のとき、
階段関数と不等式
のような数列和は求められないので、定積分を利用して不等式で評価します。
コーシー・シュワルツの不等式
定積分と面積(その2) 数学�兇任楼靴錣覆�った関数のグラフについて面積を考えます。
定積分と体積 断面積を
として、
によって立体の体積を計算することができます。
x軸のまわりの回転体 x軸のまわりの回転体の体積は、
として計算できます。
y軸のまわりの回転体 y軸のまわりの回転体の体積は、
として計算できます。円筒分割にも触れます。
斜回転体 曲線を直線：
のまわりに1回転させたときにできる回転体の体積を求める方法を考えます。
曲線の長さ 曲線：
の長さは、
として計算できます。高校教科書では、発展事項としての扱いです。
サイクロイド
，
で与えられる曲線をサイクロイドと言います。
アステロイド
，
で与えられる曲線をアステロイドと言います。
カージオイド
，
(
) で与えられる曲線をカージオイドと言います。
エピサイクロイド
，
で表される曲線をエピサイクロイドと言います。
ハイポサイクロイド
，
で表される曲線をハイポサイクロイドと言います。
物理への応用 微積分を使って物理の問題を考えます。ここでは、速度、加速度、等加速度運動、等速円運動を扱います。
物理への応用(その2) 「物理への応用」の続きです。ここでは、単振動、また、速度に比例する抵抗力が働く運動を扱います。
減衰振動関数 「物理への応用(その2)」で出てくる減衰振動関数は、大学入試でも頻出です。グラフ、面積を考えます。
フーリエ級数 関数を正弦・余弦の級数和として表すという技巧があります。それに必要となる定積分の計算法を学びます。
微分方程式 導関数や元の関数を含む等式を微分方程式と言います。変数分離型などの簡単なものを扱います。高校教科書では、発展事項としての扱いです。
微分方程式(その2) 微分方程式のうちでやや技巧の必要な、線形1階、線形2階の微分方程式を扱います。
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数学�靴寮冓�では、三角関数、指数関数、対数関数を含む関数の積分も扱います。これらの積分には、置換積分法、部分積分法などの技巧が必要になります。また、区分求積法により、積分の原理を学びます。
積分法を応用することにより、面積、体積、曲線の長さなどの計算を行うことができます。ここでは、種々の曲線について、面積、体積の計算を行った例も取り上げます。
この項目では、不定積分、定積分、定積分の公式、定積分と微分、定積分と面積、絶対値を含む積分の項目も参照してください。
ここで学習する内容は、以下の通りです。各項目をクリックしてください。
不定積分の公式
()，，，，，置換積分 そのままの形では積分計算ができなくても、被積分関数の中の式を文字に置き換えたり、文字を式に置き換えたりすると、積分計算が行える場合があります。
，，，，，の置き換えを扱います。置換積分(その2)
では、とおき、では、とおくとうまくいくことがあります。部分積分法 公式：
により積分が行える場合があります。定積分の漸化式
というタイプの漸化式を考えます。の漸化式：偶関数・奇関数の積分
が偶関数であるとき、，が奇関数であるとき、三角関数の積分
という形の積分は、nに入る自然数によって計算のしかたを工夫する必要があります。分数関数の積分 分母、分子がxの整式であるような分数関数は、部分分数に分けることによって積分を実行します。
置換積分(その3)
，の置き換えを扱います。定積分と微分(その2)
区分求積法 定積分が面積を表していることを確認します。無限級数を定積分に変換する公式：
定積分と不等式
のとき、階段関数と不等式
のような数列和は求められないので、定積分を利用して不等式で評価します。コーシー・シュワルツの不等式
定積分と面積(その2) 数学�兇任楼靴錣覆�った関数のグラフについて面積を考えます。
定積分と体積 断面積を
として、によって立体の体積を計算することができます。x軸のまわりの回転体 x軸のまわりの回転体の体積は、
として計算できます。y軸のまわりの回転体 y軸のまわりの回転体の体積は、
として計算できます。円筒分割にも触れます。斜回転体 曲線を直線：
のまわりに1回転させたときにできる回転体の体積を求める方法を考えます。曲線の長さ 曲線：
の長さは、として計算できます。高校教科書では、発展事項としての扱いです。サイクロイド
，で与えられる曲線をサイクロイドと言います。アステロイド
，で与えられる曲線をアステロイドと言います。カージオイド
， () で与えられる曲線をカージオイドと言います。エピサイクロイド
，で表される曲線をエピサイクロイドと言います。ハイポサイクロイド
，で表される曲線をハイポサイクロイドと言います。物理への応用 微積分を使って物理の問題を考えます。ここでは、速度、加速度、等加速度運動、等速円運動を扱います。
物理への応用(その2) 「物理への応用」の続きです。ここでは、単振動、また、速度に比例する抵抗力が働く運動を扱います。
減衰振動関数 「物理への応用(その2)」で出てくる減衰振動関数は、大学入試でも頻出です。グラフ、面積を考えます。
フーリエ級数 関数を正弦・余弦の級数和として表すという技巧があります。それに必要となる定積分の計算法を学びます。
微分方程式 導関数や元の関数を含む等式を微分方程式と言います。変数分離型などの簡単なものを扱います。高校教科書では、発展事項としての扱いです。
微分方程式(その2) 微分方程式のうちでやや技巧の必要な、線形1階、線形2階の微分方程式を扱います。
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2006年08月23日
微分法
微分法
数学�靴糧�分では、三角関数、指数関数、対数関数の微分も扱います。微分計算の方法も、積の微分法、商の微分法、合成関数の微分法、など、多種の方法を学習します。またグラフを描くにあたり、1次導関数の正負による増減だけでなく、2次導関数による凹凸も調べます。
この項目では、平均変化率、微分・導関数、接線と微分係数、も参照してください。
ここで学習する内容は、以下の通りです。各項目をクリックしてください。
積の微分法
商の微分法
合成関数の微分法
，または、
逆関数の微分法
微分の公式
，
，
，
，
媒介変数表示された関数の微分法
陰関数の微分法 円の方程式：
のようなものは、この形のまま合成関数の微分法を利用して微分し、
，
とします。
対数微分法
のようなそのままでは微分しにくい関数の場合、対数をとって微分するとうまくいくことがあります。
高次の導関数
の導関数
を1次の導関数と言います。
の導関数
を2次の導関数と言います。
をn回微分した関数を
と書いて、n次の導関数と言います。
接線・法線の公式
の点
における接線：
，法線(接点で接線と直交する直線)：
平均値の定理 閉区間
で連続、開区間
で微分可能な関数
に対して、
，
を満たすcが存在する。これを平均値の定理と言います。
関数の増減
であれば、
は増加、
であれば、
は減少。
関数の凹凸
であれば、
は下に凸、
であれば、
は上に凸。
種々の関数のグラフ(1) 分数関数のグラフを考察します。
種々の関数のグラフ(2) 無理関数(根号を含む関数)のグラフを考察します。
種々の関数のグラフ(3) 三角関数を含む関数のグラフを考察します。
種々の関数のグラフ(4) 指数関数を含む関数のグラフを考察します。
種々の関数のグラフ(5) 対数関数を含む関数のグラフを考察します。
種々の関数のグラフ(6) 陰関数の形に表された関数のグラフを考察します。
種々の関数のグラフ(7) 媒介変数表示された関数のグラフを考察します。
関数の近似値
，
の値がわかっているとき、aに近いxについて、
として、
の近似値を求めることができます。
微分法の方程式への応用(2) 三角関数、指数関数を含む方程式の解の個数を調べる方法を学習します。
微分法の不等式への応用(2) 増減、凹凸を調べることにより、不等式を証明する方法を学習します。
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数学�靴糧�分では、三角関数、指数関数、対数関数の微分も扱います。微分計算の方法も、積の微分法、商の微分法、合成関数の微分法、など、多種の方法を学習します。またグラフを描くにあたり、1次導関数の正負による増減だけでなく、2次導関数による凹凸も調べます。
この項目では、平均変化率、微分・導関数、接線と微分係数、も参照してください。
ここで学習する内容は、以下の通りです。各項目をクリックしてください。
積の微分法
商の微分法
合成関数の微分法
，または、逆関数の微分法
微分の公式
，，，，媒介変数表示された関数の微分法
陰関数の微分法 円の方程式：
のようなものは、この形のまま合成関数の微分法を利用して微分し、，とします。対数微分法
のようなそのままでは微分しにくい関数の場合、対数をとって微分するとうまくいくことがあります。高次の導関数
の導関数を1次の導関数と言います。の導関数を2次の導関数と言います。をn回微分した関数をと書いて、n次の導関数と言います。接線・法線の公式
の点における接線：，法線(接点で接線と直交する直線)：平均値の定理 閉区間
で連続、開区間で微分可能な関数に対して、，を満たすcが存在する。これを平均値の定理と言います。関数の増減
であれば、は増加、であれば、は減少。関数の凹凸
であれば、は下に凸、であれば、は上に凸。種々の関数のグラフ(1) 分数関数のグラフを考察します。
種々の関数のグラフ(2) 無理関数(根号を含む関数)のグラフを考察します。
種々の関数のグラフ(3) 三角関数を含む関数のグラフを考察します。
種々の関数のグラフ(4) 指数関数を含む関数のグラフを考察します。
種々の関数のグラフ(5) 対数関数を含む関数のグラフを考察します。
種々の関数のグラフ(6) 陰関数の形に表された関数のグラフを考察します。
種々の関数のグラフ(7) 媒介変数表示された関数のグラフを考察します。
関数の近似値
，の値がわかっているとき、aに近いxについて、として、の近似値を求めることができます。微分法の方程式への応用(2) 三角関数、指数関数を含む方程式の解の個数を調べる方法を学習します。
微分法の不等式への応用(2) 増減、凹凸を調べることにより、不等式を証明する方法を学習します。
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2006年08月03日
極限
極限
極限は、微分・積分を考える上での基礎概念です。正確な議論をしようとすると、大学入試のレベルを超えてしまうので、ここでは、
‘nを限りなく大きくすると(
と表す)'、数列の第n項
はどうなるか(これを数列の極限と言い、
と表す)、また、‘xを限りなく大きくすると(
と表す)'、‘xを限りなくaに近づけると(
と表す)'、関数
はどうなるか(これを関数
の極限と言い、
，
などと表す)、といった表現で理解することにします。
ここで学習する内容は、以下の通りです。各項目をクリックしてください。
数列の極限 数列
において、
のとき、数列の第n項
の動きを考えます。
となるならaを極限値と言い、数列
はaに収束すると言います。
等比数列の極限 等比数列
が0に収束する条件は、公比rについて、
無限級数 数列
の各項の和を無限にとったもの
を無限級数と言います。部分和
が、
のとき
となるなら、sを無限級数の和と言います。
無限等比級数 初項a，公比rの等比数列の各項の和を無限にとった無限等比級数が収束する条件は
，このときの和は
関数の極限 関数
において、
のとき、
のときの、関数の動きを考えます。
となるならaを極限値と言います。
不定形の極限 単純に、
としたのでは求められない極限を求める技巧を学びます。
はさみうちの原理
，
であれば、
です。また、
，
であれば、
です。
極限の公式 公式：
，
，
，
は、微分法において導関数を求める基礎となる公式です。
関数の連続 関数
が
を満たすとき、
は
において連続です。
最大値・最小値の定理 閉区間
において連続な関数
は、最大値、最小値をもちます。
中間値の定理 閉区間
において連続な関数
について、
と
の間の値をとるところが必ずある、という定理です。
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極限は、微分・積分を考える上での基礎概念です。正確な議論をしようとすると、大学入試のレベルを超えてしまうので、ここでは、
‘nを限りなく大きくすると(
と表す)'、数列の第n項はどうなるか(これを数列の極限と言い、と表す)、また、‘xを限りなく大きくすると(と表す)'、‘xを限りなくaに近づけると(と表す)'、関数はどうなるか(これを関数の極限と言い、，などと表す)、といった表現で理解することにします。ここで学習する内容は、以下の通りです。各項目をクリックしてください。
数列の極限 数列
において、のとき、数列の第n項の動きを考えます。となるならaを極限値と言い、数列はaに収束すると言います。等比数列の極限 等比数列
が0に収束する条件は、公比rについて、無限級数 数列
の各項の和を無限にとったものを無限級数と言います。部分和が、のときとなるなら、sを無限級数の和と言います。無限等比級数 初項a，公比rの等比数列の各項の和を無限にとった無限等比級数が収束する条件は
，このときの和は関数の極限 関数
において、のとき、のときの、関数の動きを考えます。となるならaを極限値と言います。不定形の極限 単純に、
としたのでは求められない極限を求める技巧を学びます。はさみうちの原理
，であれば、です。また、，であれば、です。極限の公式 公式：
，，，は、微分法において導関数を求める基礎となる公式です。関数の連続 関数
がを満たすとき、はにおいて連続です。最大値・最小値の定理 閉区間
において連続な関数は、最大値、最小値をもちます。中間値の定理 閉区間
において連続な関数について、との間の値をとるところが必ずある、という定理です。TOPに戻る CFV21 メイン・ページ 考察のぺージ 作者のページ
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