2008年02月16日
電磁波の性質
電磁波の性質
高温の物体中で熱運動している電子からは、熱放射と呼ばれる電磁波が出ています。人体や動物からも赤外線が出ています。
どういう波長の電磁波が出るのかというグラフを絶対温度ごとに右図に示しました。物質の種類には関係なく、物体の温度によって電磁波の出方が決まります。
電磁波の種類を下記に示します。
このうち、超長波からマイクロ波までを電波と言います。日本国内では、電波の利用に当たって、「電波法」という法律に従う必要があります。可視光の範囲には個人差があります。紫外線、X線、γ線は明確な区別があるわけではなく、周波数範囲に重複があります。
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(1) 電磁波は横波で一平面上で電界が振動するので金属製の格子で特定の振動面の電磁波のみを通過させることができます。磁界も電界の振動面と垂直な平面上で振動します。
(2) 金属板で電磁波をさえぎることができます。遮蔽作用と言います。
(3) 電磁波も波の一種なので、波が有する性質を持っています。干渉、屈折、回折、反射、などの現象を起こします。
高温の物体中で熱運動している電子からは、熱放射と呼ばれる電磁波が出ています。人体や動物からも赤外線が出ています。どういう波長の電磁波が出るのかというグラフを絶対温度ごとに右図に示しました。物質の種類には関係なく、物体の温度によって電磁波の出方が決まります。
電磁波の種類を下記に示します。
| 電磁波 | 周波数範囲[Hz] | 波長範囲[m] | 性質 | 利用 |
| 超長波(VLF) |  〜 |  〜 | 水中でも透過 | 潜水艦との通信 |
| 長波(LF) |  〜 |  〜 | 空気中を通る | ラジオ放送 |
| 中波(MF) |  〜 |  〜 | 夜間は電離層で反射される | AMラジオ |
| 短波(HF) |  〜 | 10〜 | 電離層で反射される | 航空管制、アマチュア無線 |
| 超短波(VHF) |  〜 | 1〜10 | 地表で減衰し易い | テレビ、温熱療法 |
| マイクロ波 |  〜 | 1〜 | 水に吸収され易い、強指向性 | テレビ、携帯電話、電子レンジ |
| 赤外線 |  〜 |  〜 | 熱線、 に吸収される | コタツ、赤外線カメラ、リモコン |
| 可視光 |  〜 |  〜 | 波長によって色が異なる | 光学機器 |
| 紫外線 |  〜 |  〜 | 光化学反応を起こす | 殺菌、蛍光灯 |
| X線 |  〜 |  〜 | 強い透過能 | Ｘ線写真、結晶構造解析 |
| γ線 |  〜 |  〜 | 強い透過能 | 殺菌 |
このうち、超長波からマイクロ波までを電波と言います。日本国内では、電波の利用に当たって、「電波法」という法律に従う必要があります。可視光の範囲には個人差があります。紫外線、X線、γ線は明確な区別があるわけではなく、周波数範囲に重複があります。
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| (Ｃ)2005, 2006，2007, 2008 (有)りるらる | Newton e-Learning |
2008年02月15日
電磁波の発生
電磁波の発生
真空の誘電率を
，透磁率を
として、電磁波が伝わる速さcは、
で与えられる。
以下、(2)，(3)でコンデンサーの極板間は真空だとします。
コンデンサーの極板面積をS，極板間距離をd，コンデンサー両端の電圧をVとすると、
(コンデンサーを参照)，
(電位・電圧を参照)より、
よって、
この式は、コンデンサーの極板間の電界の時間的変化が電流と同じ効果を持つことを意味しています。つまり、何も存在しない空間であっても、電界の時間的変化という形で電流が流れるのです。この電流を電束電流(または変位電流)と言います。
導線に電流が流れると、そのまわりに磁界が発生します。直線電流Iは、r離れた位置に、
という大きさの磁界を作ります。磁界の向きは、直線電流の方向を右ねじの進む向きとして、右ねじの回る向きです(右ねじの法則を参照)。
であれば、コンデンサーの極板間に電束電流
が流れる場合にも、r離れた位置に、
という大きさの磁界ができるはずです。この磁界は、電界Eの時間的変化により、時間的に変化します。
電磁誘導の法則によると、磁界の変化によって、磁界を取り巻く回路には起電力を生じます。起電力が生じるということは、その回路に沿って電界が生ずるということです。起電力、つまり、電界の向きはレンツの法則に従い、磁界の変化を妨げる向きになります。(3)のように、コンデンサーに交流電圧がかかっていた場合には、ここで生じた電界もまた、時間的に変化をします。電界が時間的変化をすれば、これが電束電流となって、さらに磁界を発生させます。
こうして、右図のように、次から次へと、電界の変化が磁界を生み、磁界の変化が次の電界を生み、この電界の変化がさらに次の磁界を生み、という具合にして、空間に、電界、磁界の変化が広がって行きます。こうしてできる波動を電磁波と言います。右図では、コンデンサー極板間の電界(右図の状態では正です)の時間的変化と電流が、
，
であってかつ、電界の時間的変化と電流Iが減少している状況で、図を描きました。
右図では、正弦波が原点Oのところで位相ゼロとなるように書いてありますが、上側極板に負電荷、下側極板に正電荷が少し残っている状況では、電界はまだ正でゼロになる直前(電界の変化率、つまり、電流は最小になる直前)であって、この後、電流が流れるに従って、上側極板に正電荷、下側極板に負電荷が貯まり、電界は負に変わってきます(正弦波が右に動くと言うことは、原点のところでは、電界は正から負に変化している)。
原点Oのところでは、右ねじの法則に従い、上から見て時計回りの磁界ができます。
右図では、電流Iの時間変化率がゼロ(電流最小)になる直前で、
ですが、電流はまだ減少(絶対値
は増加)の状態にあり、磁界も増加しつつあるので、増加しつつある磁界を抑える向き、つまり、できている磁界と逆向きの磁界を作ろうとする向きに起電力が起こり、この向きの電界を生じます。この時点での磁界の変化率は大きくないので、この電界も大きくはありません(電磁誘導の法則を参照)。右図の電気力線の引き方では、電界ベクトルの書いてある位置の電気力線密度が大きくなるように書かれていませんが、電気力線密度は電界ベクトルの書かれている位置が最大で、電束電流の書かれている位置が最小になります。
電気力線密度が最小になる位置が電界がゼロで電界の変化率の絶対値が最大になる位置で、電束電流の絶対値が最大になる位置です。この電束電流が、次の磁界を作り出します。
右図は、模式的に電磁波が伝わる状況を描いていますが、右図のような状況では、実際には、電束電流は、コンデンサーを幾重にも包んでいる円筒状領域を、コンデンサー側から外に行くに従って、上向き、下向き、互い違いに流れていて、磁力線が電束電流を取り囲むように同心円状に引かれ、さらにその外側を電束電流がコンデンサーを取り囲む円筒状に流れ、さらに、その外側を磁力線が同心円状に引かれるという具合になりながら、コンデンサーから外側に広がっていく感じになります。
上記では、定量的な議論を避けましたが、マクスウェルは、電磁波の伝わる速さcが、
で与えられ、光速に等しくなることを予想していました。この予想は、ヘルツにより実験的に確認されています。詳細は、高校の範囲をはるかに超えますが、電磁波を参照してください。
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真空の誘電率を
，透磁率をとして、電磁波が伝わる速さcは、
右図のように、静電容量Cの
が蓄えられて、回路にも、極板間にも(2)
右図のように、静電容量Cのコンデンサー(電荷は0とします)と抵抗Rを直列に接続し、スイッチを介して起電力
の電池に接続し、スイッチを閉じると、電流が流れて次第にコンデンサーが充電されて行きます。電流をI，コンデンサーが蓄えている電気量をQとして、キルヒホッフ第2法則より、
右図のように、静電容量Cのコンデンサー(電荷は0とします)と抵抗Rを直列に接続し、スイッチを介して起電力の電池に接続し、スイッチを閉じると、電流が流れて次第にコンデンサーが充電されて行きます。電流をI，コンデンサーが蓄えている電気量をQとして、キルヒホッフ第2法則より、従って、回路には、
という電流が流れます。
しかし、コンデンサーの極板間は導線で結ばれていないのに、電流が流れるのでしょうか？
という電流が流れます。しかし、コンデンサーの極板間は導線で結ばれていないのに、電流が流れるのでしょうか？
右図のように、静電容量Cのコンデンサーを、起電力
の
より、
という電流が回路に流れます(この場合も、コンデンサーの極板間は導線で結ばれていないのに、電流が流れるのでしょうか？
以下、(2)，(3)でコンデンサーの極板間は真空だとします。
コンデンサーの極板面積をS，極板間距離をd，コンデンサー両端の電圧をVとすると、
(コンデンサーを参照)，(電位・電圧を参照)より、導線に電流が流れると、そのまわりに磁界が発生します。直線電流Iは、r離れた位置に、
という大きさの磁界を作ります。磁界の向きは、直線電流の方向を右ねじの進む向きとして、右ねじの回る向きです(右ねじの法則を参照)。であれば、コンデンサーの極板間に電束電流
が流れる場合にも、r離れた位置に、電磁誘導の法則によると、磁界の変化によって、磁界を取り巻く回路には起電力を生じます。起電力が生じるということは、その回路に沿って電界が生ずるということです。起電力、つまり、電界の向きはレンツの法則に従い、磁界の変化を妨げる向きになります。(3)のように、コンデンサーに交流電圧がかかっていた場合には、ここで生じた電界もまた、時間的に変化をします。電界が時間的変化をすれば、これが電束電流となって、さらに磁界を発生させます。
こうして、右図のように、次から次へと、電界の変化が磁界を生み、磁界の変化が次の電界を生み、この電界の変化がさらに次の磁界を生み、という具合にして、空間に、電界、磁界の変化が広がって行きます。こうしてできる波動を電磁波と言います。右図では、コンデンサー極板間の電界(右図の状態では正です)の時間的変化と電流が、，であってかつ、電界の時間的変化と電流Iが減少している状況で、図を描きました。右図では、正弦波が原点Oのところで位相ゼロとなるように書いてありますが、上側極板に負電荷、下側極板に正電荷が少し残っている状況では、電界はまだ正でゼロになる直前(電界の変化率、つまり、電流は最小になる直前)であって、この後、電流が流れるに従って、上側極板に正電荷、下側極板に負電荷が貯まり、電界は負に変わってきます(正弦波が右に動くと言うことは、原点のところでは、電界は正から負に変化している)。
原点Oのところでは、右ねじの法則に従い、上から見て時計回りの磁界ができます。
右図では、電流Iの時間変化率がゼロ(電流最小)になる直前で、
ですが、電流はまだ減少(絶対値は増加)の状態にあり、磁界も増加しつつあるので、増加しつつある磁界を抑える向き、つまり、できている磁界と逆向きの磁界を作ろうとする向きに起電力が起こり、この向きの電界を生じます。この時点での磁界の変化率は大きくないので、この電界も大きくはありません(電磁誘導の法則を参照)。右図の電気力線の引き方では、電界ベクトルの書いてある位置の電気力線密度が大きくなるように書かれていませんが、電気力線密度は電界ベクトルの書かれている位置が最大で、電束電流の書かれている位置が最小になります。電気力線密度が最小になる位置が電界がゼロで電界の変化率の絶対値が最大になる位置で、電束電流の絶対値が最大になる位置です。この電束電流が、次の磁界を作り出します。
右図は、模式的に電磁波が伝わる状況を描いていますが、右図のような状況では、実際には、電束電流は、コンデンサーを幾重にも包んでいる円筒状領域を、コンデンサー側から外に行くに従って、上向き、下向き、互い違いに流れていて、磁力線が電束電流を取り囲むように同心円状に引かれ、さらにその外側を電束電流がコンデンサーを取り囲む円筒状に流れ、さらに、その外側を磁力線が同心円状に引かれるという具合になりながら、コンデンサーから外側に広がっていく感じになります。
上記では、定量的な議論を避けましたが、マクスウェルは、電磁波の伝わる速さcが、
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電磁波
電磁波
マクスウェルの方程式：
･･･��
･･･��
･･･��
･･･��において、空間中に電荷や電流が分布していないとして、電荷密度
，電流密度
とします。�，蓮�
･･･��となり、��は、
･･･��となります。
��式両辺のrot (回転を参照)をとると、
となりますが、右辺は、
，
と�ぜ阿茲蝓�
･･･��となります。左辺は、ベクトル解析の公式より、
(∵ �△茲蝓�
) ･･･��
�Аき┐茲蝓�
･･･��同様に、�ぜ阿茲蝓↓Δ鰺僂い董�
また、
(∵ �イ茲蝓�
)
よって、
･･･����，��より、電界も磁界も同じ形の方程式(
の形の方程式を波動方程式と言います)に従うことがわかります。
1次元で、
がxにのみ依存するz成分
のみをもち、x成分，y成分が0となる場合を考えてみます。��は、
，
･･･��となりますが、この偏微分方程式の解は、
の形をしていることが知られています。実際に代入してみると、
となり、��を満たしていることがわかります。
ここで、tを固定して
という関数のグラフを考えると、
のときのグラフ
をx軸負方向に
だけ平行移動したグラフを表しています。tを時間とすれば、速さvでx軸負方向に
のグラフが移動することになります。同様に、tを固定して
のグラフは、tを時間として
のグラフを速さvでx軸正方向に移動したものになります。
��は、
における
，
が速さ
で移動する波動現象を表しているのです。��についても同様に1次元で考えると波動を表します。この電界と磁界の波動が電磁波です。
はx軸負方向に進む波動で退行波、
はx軸正方向に進む波動で進行波と言います。真空中においては、
，
と考えて、電磁波の伝播速度は、
となり、光速に一致します。このことから、光も電磁波の一種であることがわかります。
3次元の場合には、��の解は、
，
(
，
，
は定数)，
(
，
，
は定数)として、
･･･��の形に表せることが知られています。実際に代入してみると、
となり、
，つまり、
であれば、��を満たします。
は波の進行方向を表していて、
は
の波の進行方向成分を表しています。
�イ茲蝓�
なので、
(発散を参照)これが恒等的に成り立つためには、
，即ち、
と
は垂直でなければなりません。ということは、電界
の振動方向は、波の進行方向と垂直になっていて、電界の波動は横波だということがわかります。
全く同様にして、�△茲蝓�
なので、��の解を��と同じ形：
に書くことができて、磁界の波動も波の進行方向と垂直になっていて、磁界の波動も横波であることがわかります。
��の位相をある値q とおくと、
･･･��は、平面の方程式になっています(平面のベクトル方程式を参照)。��の波動を平面波と言います。
は、この平面の法線ベクトルで、この平面に垂直です。ということは、電界と磁界の波動の振幅を表すベクトル
と
は、ある
に対する平面��上のベクトルになっているということです。
また、�Δ茲蝓�
となりますが、
と
を代入すると、
より、
と
は垂直だったので、
と
も垂直になります(外積を参照)。つまり、電界と磁界のそれぞれの波動の振動の方向は互いに垂直になっているということがわかります。また、電磁波の進行方向は、電界の振動方向から磁界の振動方向に回る向きを右ねじの向きとして、右ねじの回る向きだということもわかります(右ねじの法則を参照)。
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マクスウェルの方程式：
･･･�� ･･･�� ･･･�� ･･･��，電流密度とします。�，蓮� ･･･�� ･･･����式両辺のrot (回転を参照)をとると、
，と�ぜ阿茲蝓� ･･･�� (∵ �△茲蝓�) ･･･���Аき┐茲蝓�
･･･��また、
(∵ �イ茲蝓�)よって、
･･･��の形の方程式を波動方程式と言います)に従うことがわかります。1次元で、
がxにのみ依存するz成分のみをもち、x成分，y成分が0となる場合を考えてみます。��は、， ･･･��の形をしていることが知られています。実際に代入してみると、となり、��を満たしていることがわかります。
，
(ここで、tを固定して
という関数のグラフを考えると、のときのグラフをx軸負方向にだけ平行移動したグラフを表しています。tを時間とすれば、速さvでx軸負方向にのグラフが移動することになります。同様に、tを固定してのグラフは、tを時間としてのグラフを速さvでx軸正方向に移動したものになります。��は、
における，が速さで移動する波動現象を表しているのです。��についても同様に1次元で考えると波動を表します。この電界と磁界の波動が電磁波です。はx軸負方向に進む波動で退行波、はx軸正方向に進む波動で進行波と言います。真空中においては、，と考えて、電磁波の伝播速度は、3次元の場合には、��の解は、
， (，，は定数)， (，，は定数)として、 ･･･��となり、
，
(Laplace演算子Dについては、，つまり、であれば、��を満たします。は波の進行方向を表していて、はの波の進行方向成分を表しています。�イ茲蝓�
なので、 (発散を参照)，即ち、とは垂直でなければなりません。ということは、電界の振動方向は、波の進行方向と垂直になっていて、電界の波動は横波だということがわかります。全く同様にして、�△茲蝓�
なので、��の解を��と同じ形：に書くことができて、磁界の波動も波の進行方向と垂直になっていて、磁界の波動も横波であることがわかります。��の位相をある値q とおくと、
･･･��は、この平面の法線ベクトルで、この平面に垂直です。ということは、電界と磁界の波動の振幅を表すベクトルとは、あるに対する平面��上のベクトルになっているということです。また、�Δ茲蝓�
となりますが、とを代入すると、より、
(
とは垂直だったので、とも垂直になります(外積を参照)。つまり、電界と磁界のそれぞれの波動の振動の方向は互いに垂直になっているということがわかります。また、電磁波の進行方向は、電界の振動方向から磁界の振動方向に回る向きを右ねじの向きとして、右ねじの回る向きだということもわかります(右ねじの法則を参照)。TOPに戻る CFV21 メイン・ページ 考察のぺージ
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マクスウェルの方程式
マクスウェルの方程式
空間内の各点において、電界を
，誘電率をeとして電束密度を
，磁界を
，透磁率をmとして磁束密度を
，電荷密度をr，電流密度を
として、
が成り立つ。これらをまとめて、マクスウェルの方程式と言います。電磁気学の基礎方程式です。
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空間内の各点において、電界を
，誘電率をeとして電束密度を，磁界を，透磁率をmとして磁束密度を，電荷密度をr，電流密度をとして、が成り立つ。これらをまとめて、マクスウェルの方程式と言います。電磁気学の基礎方程式です。
(
(
(
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2008年02月11日
振動回路
振動回路
自己インダクタンスLのコイルと静電容量Cのコンデンサーを接続し、コイルに電流を流した状態か、コンデンサーに電荷を蓄えた状態から放置すると、回路を流れる電流、コンデンサー両端の電圧が振動する。振動の周波数fは、
で与えられる。この周波数を振動回路の固有周波数と言う。
(1) 右図のように、自己インダクタンスLのコイルと静電容量Cのコンデンサーを接続し、コンデンサーに電荷
を蓄えて放置するとどうなるかを考えます。
(2) しばらくすると、コンデンサーの電荷が減る方向に電流が流れ始めます(このとき電流は負)。この電流をI，このときコンデンサーが蓄えている電気量をQとすると、コイル両端の電圧は
，コンデンサー両端の電圧は
で、回路を一周するようにキルヒホッフの第2法則を適用すると、
･･･��
･･･��
(3) やがて、コンデンサーから電荷が流出して、コンデンサーの電気量はゼロとなり、コンデンサーのエネルギーもゼロになります。この時点で、エネルギーは全てコイルのエネルギーとなり、このときの電流の絶対値を
とする(これが電流Iの最大値になる)と、
となります。この値は、当初のコンデンサーのエネルギーに等しく、
･･･��
(4) コンデンサーの電気量がゼロになっても電流が流れ続けるので、コンデンサーには当初と逆符号の電荷Qが溜まり始めます。回路を流れる電流Iとの間に�ー亜き⊆阿�成立します。それに伴い、電流の絶対値が減少してきます。
(5) 電流の絶対値が減り続けついにゼロになる(コイルのエネルギーもゼロ)と、コンデンサーの電気量は
となり、コンデンサーのエネルギーは当初のエネルギー
に戻ります。
以後、エネルギー
は保存され、コンデンサーの電荷が
になったり、
になったりしながら、上記(1)〜(5)が繰り返され、電気的な振動現象が続きます。
最初に、回路に電流を流しておいた場合も、上記と同様です。
コンデンサーの電気量が、
･･･��のように変化するとして、電流Iは、
よって、��より、電流の最大値について、
となり、電気振動の周波数をfとして、
∴
Qが�ぜ阿派修気譴詬�由を考えてみます。
上記の振動回路において、回路を流れる電流Iと、コンデンサーの電気量Qの間には、�ー亜�
が成立します。
Lで割ると、
より、
･･･���ゼ阿蓮�単振動で得られる
と同じ形をしています。座標xが�イ砲�いて電気量Qに置き換わった形になっています。単振動している物体の座標
から、
として、
と書けることがわかります。
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自己インダクタンスLのコイルと静電容量Cのコンデンサーを接続し、コイルに電流を流した状態か、コンデンサーに電荷を蓄えた状態から放置すると、回路を流れる電流、コンデンサー両端の電圧が振動する。振動の周波数fは、
(1) 右図のように、自己インダクタンスLのコイルと静電容量Cのコンデンサーを接続し、コンデンサーに電荷を蓄えて放置するとどうなるかを考えます。初期状態で、コイルの逆起電力のために、回路には電流が流れません。コンデンサー両端の電圧Vは、
として、
です。また、コンデンサーのエネルギーは
，コイルのエネルギーは
です。
として、です。また、コンデンサーのエネルギーは，コイルのエネルギーはです。(2) しばらくすると、コンデンサーの電荷が減る方向に電流が流れ始めます(このとき電流は負)。この電流をI，このときコンデンサーが蓄えている電気量をQとすると、コイル両端の電圧は，コンデンサー両端の電圧はで、回路を一周するようにキルヒホッフの第2法則を適用すると、 ･･･��が成立します。
消費されてしまう電力はなく、コンデンサーのエネルギー
，コイルのエネルギー
の和は当初のコンデンサーのエネルギーと同じです。つまり、
消費されてしまう電力はなく、コンデンサーのエネルギー
，コイルのエネルギーの和は当初のコンデンサーのエネルギーと同じです。つまり、 ･･･��(3) やがて、コンデンサーから電荷が流出して、コンデンサーの電気量はゼロとなり、コンデンサーのエネルギーもゼロになります。この時点で、エネルギーは全てコイルのエネルギーとなり、このときの電流の絶対値をとする(これが電流Iの最大値になる)と、となります。この値は、当初のコンデンサーのエネルギーに等しく、が成立します。よって、
･･･��です。
(4) コンデンサーの電気量がゼロになっても電流が流れ続けるので、コンデンサーには当初と逆符号の電荷Qが溜まり始めます。回路を流れる電流Iとの間に�ー亜き⊆阿�成立します。それに伴い、電流の絶対値が減少してきます。(5) 電流の絶対値が減り続けついにゼロになる(コイルのエネルギーもゼロ)と、コンデンサーの電気量はとなり、コンデンサーのエネルギーは当初のエネルギーに戻ります。は保存され、コンデンサーの電荷がになったり、になったりしながら、上記(1)〜(5)が繰り返され、電気的な振動現象が続きます。最初に、回路に電流を流しておいた場合も、上記と同様です。
コンデンサーの電気量が、
･･･��∴
Qが�ぜ阿派修気譴詬�由を考えてみます。
上記の振動回路において、回路を流れる電流Iと、コンデンサーの電気量Qの間には、�ー亜�
Lで割ると、
より、 ･･･��と同じ形をしています。座標xが�イ砲�いて電気量Qに置き換わった形になっています。単振動している物体の座標から、として、TOPに戻る CFV21 メイン・ページ 考察のぺージ
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2008年02月09日
共振回路
共振回路
回路に交流電圧を加えるとき、特定の周波数の交流について、大きな振幅の電流が流れる現象を共振と言う。
RLC直列回路の場合、共振周波数fは、
で与えられる。
ここでは、右図のような、抵抗Rと、自己インダクタンスLのコイル(自己誘導を参照)と、静電容量Cのコンデンサーを直列に接続し、起電力
の交流電源に接続するRLC直列回路を考えます。
R，L，Cによる合成インピーダンスZは、
･･･��交流電圧と、回路を流れる交流電流
の間には、
･･･��
という関係があります(インピーダンスを参照)。
ここで、R，L，Cと電圧の最大値
を変化させずに、角周波数
だけを変化させて、電流の振幅
を最大にすることを考えます。このためには、�△茲蝓�合成インピーダンスZを最小にすればよいのですが、�，茲蝓�
･･･��のときに、Z最小となります。このとき、
∴
(
とします。共振角周波数と言います)これより、共振周波数fは、
となります。
共振が起きているとき、��より、
です。
AMラジオを聴いていると、聴きたい放送に混じって、別の外国語の放送が重なって聞こえてしまうことがあります。
共振回路が、ただ1つの周波数だけにだけ共振すればよいのですが、右図のように、共振周波数のところで電流の振幅が最大であっても、共振周波数と異なる周波数に対しても大きな電流振幅となってしまうのです。
従って、混信しない良いAMラジオにするためには、右図の山の幅を狭めて山を急峻にする必要があります。この山の幅を評価するパラメータに、Q値と呼ばれる量があります。
Q値は、電流の振幅が、共振しているとき(
)の電流の振幅
の
，となる角周波数を
，
(
)として、
で与えられます。山の幅が狭くなると、
が小さくなるのでQ値が大きくなります。Q値の大きなAMラジオが良いラジオです。
が
のときの
になるということは、合成インピーダンスZが
のときの値Rの
倍になるということです。つまり、
が成り立つので、
となり、wに関する2つの2次方程式
，
の正数の解
(
とします)，
(
とします)より、Q値は、
となります。できるだけRとCを小さく、Lを大きくすることがラジオの性能を向上させることになります。
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回路に交流電圧を加えるとき、特定の周波数の交流について、大きな振幅の電流が流れる現象を共振と言う。
RLC直列回路の場合、共振周波数fは、
ここでは、右図のような、抵抗Rと、自己インダクタンスLのコイル(自己誘導を参照)と、静電容量Cのコンデンサーを直列に接続し、起電力の交流電源に接続するRLC直列回路を考えます。R，L，Cによる合成インピーダンスZは、
･･･��の間には、 ･･･��ここで、R，L，Cと電圧の最大値
を変化させずに、角周波数だけを変化させて、電流の振幅を最大にすることを考えます。このためには、�△茲蝓�合成インピーダンスZを最小にすればよいのですが、�，茲蝓� ･･･��∴
(とします。共振角周波数と言います)共振が起きているとき、��より、
です。AMラジオを聴いていると、聴きたい放送に混じって、別の外国語の放送が重なって聞こえてしまうことがあります。共振回路が、ただ1つの周波数だけにだけ共振すればよいのですが、右図のように、共振周波数のところで電流の振幅が最大であっても、共振周波数と異なる周波数に対しても大きな電流振幅となってしまうのです。
従って、混信しない良いAMラジオにするためには、右図の山の幅を狭めて山を急峻にする必要があります。この山の幅を評価するパラメータに、Q値と呼ばれる量があります。
Q値は、電流の振幅が、共振しているとき(
)の電流の振幅の，となる角周波数を， ()として、で与えられます。山の幅が狭くなると、が小さくなるのでQ値が大きくなります。Q値の大きなAMラジオが良いラジオです。がのときのになるということは、合成インピーダンスZがのときの値Rの倍になるということです。つまり、，(とします)，(とします)TOPに戻る CFV21 メイン・ページ 考察のぺージ
| (Ｃ)2005, 2006，2007, 2008 (有)りるらる | Newton e-Learning |
2008年02月08日
RLC回路の線形2階微分方程式での取扱い
RLC回路の線形2階微分方程式での取扱い
右図のようなRLC直列回路、つまり、交流電源に、抵抗R，自己インダクタンスLのコイル、静電容量Cのコンデンサーを直列に接続した回路を、線形2階微分方程式で取り扱って見ます。
ここでは、R，L，Cはいずれも正数値をとりゼロではないとします。
抵抗、コイル、コンデンサーにおける電圧降下は、
，
，
なので、キルヒホッフ第2法則より、これらの総和を交流電源の起電力Vに等しいとおいて、
より、両辺を時間tで微分すると、
･･･��
のとき、�，法�
を代入すると、
但し、
，
，
これより、
，
，つまり、
，
として、
�，硫鬚蓮�
で与えられます。
ここで、�ー阿�電圧と電流を極形式で、
としてみます。
これを�，紡綟�して、
両辺を
で割って、
これより、
として、
両辺の絶対値について、
両辺の偏角について、
RLC直列回路を見ただけですが、これが、複素インピーダンスZを考える理由です。
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右図のようなRLC直列回路、つまり、交流電源に、抵抗R，自己インダクタンスLのコイル、静電容量Cのコンデンサーを直列に接続した回路を、線形2階微分方程式で取り扱って見ます。ここでは、R，L，Cはいずれも正数値をとりゼロではないとします。
抵抗、コイル、コンデンサーにおける電圧降下は、
，，なので、キルヒホッフ第2法則より、これらの総和を交流電源の起電力Vに等しいとおいて、より、両辺を時間tで微分すると、 ･･･��のとき、�，法�を代入すると、，，これより、
，，つまり、，として、�，硫鬚蓮�
で与えられます。ここで、�ー阿�電圧と電流を極形式で、
としてみます。
(オイラーの公式：
については、
これを�，紡綟�して、
で割って、として、TOPに戻る CFV21 メイン・ページ 考察のぺージ
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インピーダンス
インピーダンス
抵抗Rと、自己インダクタンスLのコイルと、静電容量Cのコンデンサーが直列に接続された回路に、角周波数wの交流を流すときのインピーダンスZは、
このときの、電流と電圧の位相のずれdは、電圧の方がdだけ進んでいるとして、
右図のように、交流電源に、抵抗R，自己インダクタンスLのコイル、静電容量Cのコンデンサーを直列に接続した回路を考えます。この回路をRLC直列回路と言います。
直列接続なので回路を流れる電流Iは共通です。この電流を、
だとします。
抵抗両端の電圧
は、オームの法則より、
コイル両端の電圧
は、
(誘導リアクタンスを参照)コンデンサー両端の電圧
として、公式：
より、
とおくと、
よって、
これより、交流電源の電圧Vは、
とおくと、dは、
，
を満たす角。
これより、電圧Vの実効値
は、電流の実効値を
として、
と表され、オームの法則のような関係が成立します。Zは抵抗のような役割をするのですが、これを、RLC回路のインピーダンスと言います。また、dを電圧と電流の位相のずれと言い、
を満たします。
実は、複素インピーダンスという便利な考え方があります(詳細は、RLC回路の線形2階微分方程式での取扱いを参照)。
回路を流れる電流を複素数として考え、
として、
という複素数をかけると、
として、電流、電圧の実部、虚部を比べることにより、電流と電圧の関係を調べることができます。
を複素インピーダンスと言います。
複素インピーダンスの良いところは、複素インピーダンスを直流におけるオームの法則における抵抗と全く同じようにして、交流を扱えるところにあります。
抵抗Rの複素インピーダンスはRのままです。
自己インダクタンスLのコイルの複素インピーダンスは、
です。
静電容量Cのコンデンサーの複素インピーダンスは、
です。
は、R，L，Cのインピーダンスを、抵抗の直列接続のように、3つ加え合わせた合成インピーダンスになっています。
複素数の電流に複素インピーダンスをかけて電圧を求めるということは、右図のように、複素数平面上で、電流を回転・拡大縮小したものが電圧になるということ(極形式を参照)を意味していて、高校物理で言うインピーダンス
は、回転縮小の比率
を、電圧が電流より進んでいるとしたときの位相のずれdは、複素インピーダンスの偏角
を表しています。
RLC並列回路であれば、合成インピーダンスを
として、
として、抵抗の並列接続のように合成インピーダンスを求めることができます。
虚数単位
を'i'と書くと、電流を示す'i'と勘違いしやすいので、電気回路の本では、虚数単位を文字'j'で表すことがあります。
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抵抗Rと、自己インダクタンスLのコイルと、静電容量Cのコンデンサーが直列に接続された回路に、角周波数wの交流を流すときのインピーダンスZは、
右図のように、交流電源に、抵抗R，自己インダクタンスLのコイル、静電容量Cのコンデンサーを直列に接続した回路を考えます。この回路をRLC直列回路と言います。直列接続なので回路を流れる電流Iは共通です。この電流を、
だとします。抵抗両端の電圧
は、オームの法則より、は、 (誘導リアクタンスを参照)として、公式：より、とおくと、これより、交流電源の電圧Vは、
(
(とおくと、dは、，を満たす角。これより、電圧Vの実効値
は、電流の実効値をとして、実は、複素インピーダンスという便利な考え方があります(詳細は、RLC回路の線形2階微分方程式での取扱いを参照)。
回路を流れる電流を複素数として考え、
という複素数をかけると、を複素インピーダンスと言います。複素インピーダンスの良いところは、複素インピーダンスを直流におけるオームの法則における抵抗と全く同じようにして、交流を扱えるところにあります。
抵抗Rの複素インピーダンスはRのままです。
自己インダクタンスLのコイルの複素インピーダンスは、
です。静電容量Cのコンデンサーの複素インピーダンスは、
です。は、R，L，Cのインピーダンスを、抵抗の直列接続のように、3つ加え合わせた合成インピーダンスになっています。複素数の電流に複素インピーダンスをかけて電圧を求めるということは、右図のように、複素数平面上で、電流を回転・拡大縮小したものが電圧になるということ(極形式を参照)を意味していて、高校物理で言うインピーダンスは、回転縮小の比率を、電圧が電流より進んでいるとしたときの位相のずれdは、複素インピーダンスの偏角を表しています。RLC並列回路であれば、合成インピーダンスを
として、虚数単位
を'i'と書くと、電流を示す'i'と勘違いしやすいので、電気回路の本では、虚数単位を文字'j'で表すことがあります。TOPに戻る CFV21 メイン・ページ 考察のぺージ
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だけ進む。
，
について、
を容量リアクタンスと言う。
交流電源に静電容量Cのコンデンサーを接続した回路を考えます。
とすると、公式：
(
･･･��
(
コンデンサー両端の電圧Vと、電流Iの関係を右図に示します。
(位�