2012年02月08日
センター数学IIB '12年第4問
センター数学IIB '12年第4問
空間に異なる4点O，A，B，Cを
，
，
となるようにとり、
，
，
とおく。さらに、3点D，E，Fを、
，
，
となるようにとり、線分BDの中点をL，線分CEの中点をMとし、線分ADを3：1に内分する点をNとする。
，
･･･��
･･･��
･･･��
解答 よく前後を見渡していないと何をやっているのかわからなくなりそうな空間ベクトルの問題ですが、難解なわけではありません。計算するだけなので、落ち着いて解答しましょう。なお、空間ベクトルを参照してください。
･･･��
，
，
の係数が等しいから、
，
，
･･･��
(�イ鰺僂い�)
(�Δ鰺僂い�)
･･･��
･･･��
，
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空間に異なる4点O，A，B，Cを
，，となるようにとり、，，とおく。さらに、3点D，E，Fを、，，となるようにとり、線分BDの中点をL，線分CEの中点をMとし、線分ADを3：1に内分する点をNとする。(1) 
，
は
，
，
を用いて
，は，，を用いて，と表される。
(2) 2直線FL，MNが交わることを確かめよう。
とし、線分FLをs：
に内分する点をPとする。
は、sと
，
，
を用いて
とし、線分FLをs：に内分する点をPとする。は、sと，，を用いてと表される。
のとき、
となるので、M，N，Pは一直線上にある。よって、2直線FL，MNは交わることがわかる。
のとき、となるので、M，N，Pは一直線上にある。よって、2直線FL，MNは交わることがわかる。(3) 2直線FL，MNの交点をGとする。
，
は、
，
，
を用いて
，は、，，を用いてと表される。
，
，
とする。このとき、
，
となる。
次に、直線OC上に点Hをとり、実数t を用いて、
と表す。
，
は、t を用いて
，，とする。このとき、，となる。次に、直線OC上に点Hをとり、実数t を用いて、
と表す。，は、t を用いて ･･･�� ･･･��と表される。
さらに、
とする。このときのt の値を求めよう。
，
と
であることから
さらに、
とする。このときのt の値を求めよう。，とであることから ･･･��が成り立つ。� き◆き�から、
である。
である。解答 よく前後を見渡していないと何をやっているのかわからなくなりそうな空間ベクトルの問題ですが、難解なわけではありません。計算するだけなので、落ち着いて解答しましょう。なお、空間ベクトルを参照してください。
(1) 
，
，(ア) 2 (イ) 3 (ウ) 4 ......[答]
(2) 
･･･��(エ) 1 (オ) 2 (カ) 1 ......[答]
M，N，Pが一直線上にあるとき、
より、
より、，，の係数が等しいから、，，∴ 
のとき、
となります。
(キ) 2 (ク) 3 (ケ) 2 (コ) 3 ......[答]
のとき、となります。(キ) 2 (ク) 3 (ケ) 2 (コ) 3 ......[答]
(3) (2)の点Pが点Gです。�い�
として、
として、(サ) 1 (シ) 3 (ス) 2 (セ) 2 ......[答]
･･･��(ソ) 2 ......[答]
より、
より、∴ 
･･･��
(タ) 3 ......[答]
･･･��(タ) 3 ......[答]
(�イ鰺僂い�) (�Δ鰺僂い�) ･･･��(チ) 2 (ツ) 1 (テ) 6 (ト) 3 ......[答]
･･･���Α�
を用いると、
として、
を用いると、として、，∴ 
･･･��
(ナ) 3 (ニ) 2 ......[答]
� き◆き�より、
･･･��(ナ) 3 (ニ) 2 ......[答]
� き◆き�より、
∴ 
(ヌ) 1 (ネ) 3 ......[答]
(ヌ) 1 (ネ) 3 ......[答]
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2012年02月07日
センター数学IIB '12年第3問
センター数学IIB '12年第3問
を
，
である等差数列とし、自然数nに対して、
とおく。
であり、
の公差は
である。したがって
(
)
(
)である。
次に、数列
は
(
) ･･･��を満たすとする。数列
の一般項を求めよう。�，�ら
である。さらに、
に注意して、�，鰺�用すると
(
)が成り立ち、この等式は
(
)と変形できる。ここで
(
) ･･･��とおくと、
は、
，公比が
の等比数列であるから、�△砲茲�
(
)
である。ただし、
については、当てはまるものを、次の
〜
のうちから一つ選べ。
n 
解答 2次試験としても珍しいタイプの2項間漸化式が出てくる問題です。�⊆阿鯏�比数列漸化式の後に書く誘導もわかりにくく、受験生は苦労させられたことでしょう。
等差数列の公差は、
初項は、
(ア) − (イ) 1 (ウ) 3 (エ) − (オ) 2 ......[答]
(カ) − (キ) 2 (ク) 5 (ケ) 3 (コ) − (サ) 2 (シ) 3 ......[答]
�，砲�いて、
として、
より(数列の和と一般項を参照)、
∴ 
(ス) 1 ......[答]
�，砲�いて、
として、
･･･�� (Σの公式を参照)��−� �
より、
･･･��(セ) 4 (ソ) 6 (タ) 1 ......[答]
･･･��とすると、
�い犯羈咾靴董�
，
∴ 
，
(チ) 2 (ツ) 1 ......[答]
よって、�イ茲蝓�
･･･��とおくと、
よって、
は、公比：4，�Δ茲蟒藕燹�
の等比数列です。
(テ) 4 (ト) 4 ......[答]
�Δ茲蝓�
(ナ) 4 (ニ) (ヌ) 2 (ネ) 1 ......[答]
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を，である等差数列とし、自然数nに対して、とおく。であり、の公差はである。したがって () ()次に、数列
は () ･･･��の一般項を求めよう。�，�らである。さらに、に注意して、�，鰺�用すると () () () ･･･��は、，公比がの等比数列であるから、�△砲茲� ()である。ただし、
については、当てはまるものを、次の〜のうちから一つ選べ。 n 解答 2次試験としても珍しいタイプの2項間漸化式が出てくる問題です。�⊆阿鯏�比数列漸化式の後に書く誘導もわかりにくく、受験生は苦労させられたことでしょう。
等差数列の公差は、
初項は、
(ア) − (イ) 1 (ウ) 3 (エ) − (オ) 2 ......[答]
�，砲�いて、
として、より(数列の和と一般項を参照)、 ∴ �，砲�いて、
として、 ･･･�� (Σの公式を参照)より、 ･･･�� ･･･��， ∴ ，よって、�イ茲蝓�
･･･��は、公比：4，�Δ茲蟒藕燹�の等比数列です。(テ) 4 (ト) 4 ......[答]
(ヌ) 2 (ネ) 1 ......[答]TOPに戻る CFV21 アーカイブ 考察のぺージ
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2012年02月06日
センター数学IIB '12年第2問
センター数学IIB '12年第2問
座標平面上で曲線
をCとし、放物線
をDとする。
･･･��
･･･��
解答 最後の面積のところの答え方に驚かされますが、数学�兇糧�積分の基本問題です。
･･･��
･･･�Α�(2次関数を参照)
･･･��
，
増減表より、
で極大値：0，
で極小値：
(3次関数の増減を参照)
(シ) 0 (ス) 0 (セ) 1 (ソ) 3 (タ) 1 (チ) 2 (ツ) 7 ......[答]
のとき、�△鯔�たすaの値の個数は3。
(テ) 3 ......[答]
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座標平面上で曲線
をCとし、放物線をDとする。(1) 曲線C上の点P
におけるCの接線の方程式は
におけるCの接線の方程式はである。放物線Dは点Pを通り、DのPにおける接線と、CのPにおける接線が一致するとする。このとき、pとqをaを用いて表すと
･･･��となる。
以下、p，qは�，鯔�たすとする。
以下、p，qは�，鯔�たすとする。
(2) 放物線Dがy軸上の与えられた点Q
を通るとき
を通るとき ･･･��が成り立つ。与えられたbに対して、�△鯔�たすaの値の個数を調べよう。
そのために、関数
そのために、関数
の増減を調べる。関数
は、
で極小値
をとり、
で極大値
をとる。
関数
のグラフをかくことにより、
のとき、�△鯔�たすaの値の個数は
であることがわかる。
は、で極小値をとり、で極大値をとる。関数
のグラフをかくことにより、のとき、�△鯔�たすaの値の個数はであることがわかる。(3) 放物線Dの頂点がx軸上にあるのは、
の二つの場合である。
のときの放物線を
，
のときの放物線を
とする。
，
とx軸で囲まれた図形の面積は
である。
の二つの場合である。のときの放物線を，のときの放物線をとする。，とx軸で囲まれた図形の面積はである。解答 最後の面積のところの答え方に驚かされますが、数学�兇糧�積分の基本問題です。
C：
･･･��
D：
･･･��
･･･��D：
･･･��(1) ��を微分して、
P
における接線は、
における接線は、(ア) 2 (イ) 2 (ウ) 3 ......[答]
�い鯣�分して、
DのPにおける接線と、CのPにおける接線が等しいとき、両者の
におけるy座標と接線の傾きが等しく、
�い鯣�分して、
DのPにおける接線と、CのPにおける接線が等しいとき、両者の
におけるy座標と接線の傾きが等しく、 ･･･��これより、
�イ紡綟�して、
∴ 
(エ) 2 (オ) 2 (カ) − (キ) 2 (ク) 2 ......[答]
(エ) 2 (オ) 2 (カ) − (キ) 2 (ク) 2 ......[答]
(2) 放物線Dは、
･･･�Α�(2次関数を参照)Q
を通るので、
を通るので、 ･･･��(ケ) − (コ) 2 (サ) 2 ......[答]
，| x | 0 |  | |||
 | − | 0 | ＋ | 0 | − |
 |  | 0 |  | 0 | |
増減表より、
で極大値：0，で極小値： (3次関数の増減を参照)(シ) 0 (ス) 0 (セ) 1 (ソ) 3 (タ) 1 (チ) 2 (ツ) 7 ......[答]
のとき、�△鯔�たすaの値の個数は3。(テ) 3 ......[答]
(3)�Δ茲蝓�
放物線Dの頂点がx軸上にあるとき、
∴ 
(ト) 0 (ナ) 4 (ニ) 9 ......[答]
のとき、
(ト) 0 (ナ) 4 (ニ) 9 ......[答]
のとき、放物線
：
のとき、
：のとき、より、放物線
は
をx軸正方向に、
だけ平行移動した放物線で、
はをx軸正方向に、だけ平行移動した放物線で、
，
とx軸で囲まれた図形の(ヌ) 4 (ネ) 1 (ノ) 0 ......[答]
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2012年02月05日
センター数学IIB '12年第1問
センター数学IIB '12年第1問
･･･��
･･･��
解答 対数の底が1より小さい場合も考えますが、この問題は落とせません。
真数は正であるから、
かつ 
∴
･･･��
(ア) 2 (イ) 8 ......[答]
のとき、�，茲蝓�
(ウ) 1 (エ) 7 (オ) 6 (カ) 6 (キ) ......[答]
∴ 
��と合わせて、
(ク) 6 (ケ) 8 ......[答]
のとき、
∴ 
，
��と合わせて、
(コ) 2 (サ) 6 ......[答]
，
，
解答 後半部分がややこしいですが、2つの場合に分けて、ていねいに解答しましょう。なお、三角関数を参照してください。
のとき
より、
(三角関数を含む方程式・不等式を参照)
より、
∴ 
(シ) 6 (ス) 5 ......[答]
のとき、
，
より、
∴ 
，
(セ) 4 (ソ) 2 (タ) 3 ......[答]
のとき、
，
より、
∴
，
(チ) 4 (ツ) 2 (テ) 5 ......[答]
のとき、
より、
･･･��
のとき、
より、
･･･��従って、
のとり得る値の範囲は、� き△茲蝓�
(ト) 3 (ナ) 8 (ニ) 1 (ヌ) 1 (ネ) 8 ......[答]
このとき、
は、
のとき、つまり、�，諒�なので、
，
のとき、最大値：
をとります。
(ノ) 3 (ハ) 2 (ヒ) 2 (フ) ......[答]
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[1] 
，
として、不等式
，として、不等式 ･･･��を満たすxの値の範囲を求めよう。
真数は正であるから、
が成り立つ。ただし、対数
に対し、aを底といい、bを真数という。
底aが
を満たすとき、不等式��
真数は正であるから、
が成り立つ。ただし、対数に対し、aを底といい、bを真数という。底aが
を満たすとき、不等式�� ･･･��となる。ただし、
については、当てはまるものを、次の〜のうちから一つ選べ。
したがって、真数が正であることと�△�ら、
のとき、不等式�，鯔�たすxのとり得る値の範囲は
である。
同様にして、
のときには、不等式�，鯔�たすxのとり得る値の範囲は
であることがわかる。
については、当てはまるものを、次の〜のうちから一つ選べ。 したがって、真数が正であることと�△�ら、
のとき、不等式�，鯔�たすxのとり得る値の範囲はである。同様にして、
のときには、不等式�，鯔�たすxのとり得る値の範囲はであることがわかる。解答 対数の底が1より小さい場合も考えますが、この問題は落とせません。
真数は正であるから、
かつ ∴
･･･��(ア) 2 (イ) 8 ......[答]
のとき、�，茲蝓� ......[答]��と合わせて、
(ク) 6 (ケ) 8 ......[答]
のとき、，��と合わせて、
(コ) 2 (サ) 6 ......[答]
[2] 
として
としてを満たすβ について考えよう。ただし、
とする。
たとえば、
のとき、β のとり得る値は
と
の二つである。
このように、αの各値に対して、β のとり得る値は二つある。そのうちの小さい方を
，大きい方を
とし
とする。たとえば、
のとき、β のとり得る値はとの二つである。このように、αの各値に対して、β のとり得る値は二つある。そのうちの小さい方を
，大きい方をとしが最大となるαの値とそのときのyの値を求めよう。
，
をαを用いて表すと、
のときは
，をαを用いて表すと、のときは，となり、
のときは
のときは，となる。
したがって、
のとり得る値の範囲は
したがって、
のとり得る値の範囲はである。よって、yが最大となるαの値は
であり、そのときのyの値は
であることがわかる。
に当てはまるものを、次の〜のうちから一つ選べ。
1 
であり、そのときのyの値はであることがわかる。に当てはまるものを、次の〜のうちから一つ選べ。 1 解答 後半部分がややこしいですが、2つの場合に分けて、ていねいに解答しましょう。なお、三角関数を参照してください。
のときより、 (三角関数を含む方程式・不等式を参照)より、(シ) 6 (ス) 5 ......[答]
のとき、，より、，(セ) 4 (ソ) 2 (タ) 3 ......[答]
のとき、，より、∴
，(チ) 4 (ツ) 2 (テ) 5 ......[答]
のとき、より、 ･･･��のとき、より、 ･･･��のとり得る値の範囲は、� き△茲蝓�このとき、
は、のとき、つまり、�，諒�なので、，をとります。(ノ) 3 (ハ) 2 (ヒ) 2 (フ)
......[答]TOPに戻る CFV21 アーカイブ 考察のぺージ
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2012年01月30日
センター数学IA '12年第4問
センター数学IA '12年第4問
1から9までの数字が一つずつ書かれた9枚のカードから5枚のカードを同時に取り出す。このようなカードの取り出し方は
通りある。
解答 本年の確率は基本的出題です。
異なる9枚から5枚を取り出す取り出し方は、
通り。
(ア) 1 (イ) 2 (ウ) 6 ......[答]
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1から9までの数字が一つずつ書かれた9枚のカードから5枚のカードを同時に取り出す。このようなカードの取り出し方は
通りある。(1) 取り出した5枚のカードの中に5と書かれたカードがある取り出し方は
通りであり、5と書かれたカードがない取り出し方は
通りである。
通りであり、5と書かれたカードがない取り出し方は通りである。(2) 次のように得点を定める。
・取り出した5枚のカードの中に5と書かれたカードがない場合は、得点を0点とする。
・取り出した5枚のカードの中に5と書かれたカードがある場合、この5枚を書かれている数の小さい順に並べ、5と書かれたカードが小さい方からk番目にあるとき、得点をk点とする。
得点が0点となる確率は
である。得点が1点となる確率は
で、得点が2点となる確率は
，得点が3点となる確率は
である。
また、得点の期待値は
点である。
である。得点が1点となる確率はで、得点が2点となる確率は，得点が3点となる確率はである。また、得点の期待値は
点である。解答 本年の確率は基本的出題です。
異なる9枚から5枚を取り出す取り出し方は、
通り。(ア) 1 (イ) 2 (ウ) 6 ......[答]
(1) 5以外の8枚から4枚を取り出す取り出し方は
通り。
通り。(エ) 7 (オ) 0 ......[答]
5と書かれたカードがない取り出し方は、
通り。
(カ) 5 (キ) 6 ......[答]
5と書かれたカードがない取り出し方は、
通り。(カ) 5 (キ) 6 ......[答]
(2) 9枚のカードから5枚のカードを同時に取り出す取り出し方は126通りあって、同様に確からしい。
取り出した5枚のカードの中に5と書かれたカードがない取り出し方は56通りなので、その確率は、
(ク) 4 (ケ) 9 ......[答]
得点が1点になるのは、5，6，7，8，9の5枚を取り出すときで、その確率は、
(コ) 1 (サ) 1 (シ) 2 (ス) 6 ......[答]
得点が1点になるのは、5，6，7，8，9の5枚を取り出すときで、その確率は、
(コ) 1 (サ) 1 (シ) 2 (ス) 6 ......[答]
得点が2点になるのは、5の書かれたカードのほかに、5より小さい数1〜4の書かれたカードを1枚、5より大きな数6〜9の中から3枚を取り出すときで、その確率は、
(セ) 8 (ソ) 6 (タ) 3 ......[答]
得点が3点になるのは、5のカードのほかに、1〜4の中から2枚、6〜9の中から2枚を取り出すときで、その確率は、
得点が3点になるのは、5のカードのほかに、1〜4の中から2枚、6〜9の中から2枚を取り出すときで、その確率は、
(チ) 2 (ツ) 7 ......[答]
得点が4点になるのは、5のカードのほかに、1〜4の中から3枚、6〜9の中から1枚を取り出すときで、その確率は、
得点が4点になるのは、5のカードのほかに、1〜4の中から3枚、6〜9の中から1枚を取り出すときで、その確率は、
得点が5点になるのは、1，2、3，4，5の5枚を取り出すときで、その確率は、
得点の期待値は、
(テ) 5 (ト) 3 ......[答]
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2012年01月28日
センター数学IA '12年第3問
センター数学IA '12年第3問
△ABCにおいて、
，
であるとき
，
であり、△ABCの面積は
，△ABCの内接円Iの半径は
である。
また、円Iの中心から点Bまでの距離は
である。
重なる(一致する) 内接する 外接する
異なる2点で交わる 共有点をもたない
，
解答 正弦定理、余弦定理を利用する問題です。答に
がやたらと出てきますが、出題者としてはシャレを利かしたつもりでも、目をつむってばかりにマークした人に有利になってしまうというのは考えものでは？
余弦定理より、
(ア) 1 (イ) 3 ......[答]
(
)(ウ) 2 (エ) 2 (オ) 3 ......[答]
△ABCの面積Sは、
(カ) 2 (キ) 2 ......[答]
△ABCの内接円Iの半径をrとすると、
より、
∴ 
(ク) 2 (ケ) 2 ......[答]
Aと内接円Iの中心を結ぶ直線とBCとの交点をJとすると、
より
円Iの中心から点Bまでの距離は、
(コ) 6 (サ) 2 ......[答]
より
，
，
，
より、
∴ 
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△ABCにおいて、
，であるとき，，△ABCの内接円Iの半径はである。また、円Iの中心から点Bまでの距離は
である。(1) 辺AB上の点Pと辺BC上の点Qを、
かつ
となるようにとる。このとき、△PBQの外接円Oの直径は
であり、円Iと円Oは
。ただし、
には次の〜から当てはまるものを一つ選べ。
かつとなるようにとる。このとき、△PBQの外接円Oの直径はであり、円Iと円Oは。ただし、には次の〜から当てはまるものを一つ選べ。 重なる(一致する) 内接する 外接する 異なる2点で交わる 共有点をもたない(2) 円I上に点Eと点Fを、3点C，E，Fが一直線上にこの順に並び、かつ、
となるようにとる。このとき
となるようにとる。このとき，である。
さらに、円Iと辺BCとの接点をD，線分BEと線分DFとの交点をG，線分CGの延長と線分BFとの交点をMとする。このとき、
である。
さらに、円Iと辺BCとの接点をD，線分BEと線分DFとの交点をG，線分CGの延長と線分BFとの交点をMとする。このとき、
である。解答 正弦定理、余弦定理を利用する問題です。答に
がやたらと出てきますが、出題者としてはシャレを利かしたつもりでも、目をつむってばかりにマークした人に有利になってしまうというのは考えものでは？余弦定理より、
()△ABCの面積Sは、
△ABCの内接円Iの半径をrとすると、
より、(ク) 2 (ケ) 2 ......[答]
Aと内接円Iの中心を結ぶ直線とBCとの交点をJとすると、
より円Iの中心から点Bまでの距離は、
(1) 
として、余弦定理より、
として、余弦定理より、
は、(シ) 2 (ス) 2 ......[答]
より，，よって、Bと内接円Iの中心との距離から内接円Iの半径を引くと、外接円O (Bを通る)の直径よりも小さく、円Iと円Oは異なる2点で交わります。
(セ) ......[答]
(セ)
......[答](2) 方べきの定理より、
，より、 ∴ (ソ) 2 (タ) 2 ......[答]
(チ) 1 ......[答]
△BCFにおいて、BとCFの中点Eを結ぶ線分と、CとBFの中点Mを結ぶ線分との交点がGなので、Gは△BCFの重心です。よって、
△BCFにおいて、BとCFの中点Eを結ぶ線分と、CとBFの中点Mを結ぶ線分との交点がGなので、Gは△BCFの重心です。よって、
(ツ) 1 (テ) 2 ......[答]
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2012年01月21日
センター数学IA '12年第2問
センター数学IA '12年第2問
[2] a，bを定数として2次関数
･･･��について考える。関数�，離哀薀�Gの頂点の座標は
である。以下、この頂点が直線
上にあるとする。このとき、
である。
または 
解答 2次関数の最大最小・グラフの平行移動に関する問題です。
･･･��
･･･��Gの頂点の座標は、
(ア) 2 (イ) 4 (ウ) 4 ......[答]
この頂点が、
上にあるとき、
･･･��(エ) 8 (オ) 1 (カ) 3 ......[答]
の解は、
より、
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[2] a，bを定数として2次関数
･･･��上にあるとする。このとき、(1) グラフGがx軸と異なる2点で交わるようなaの値の範囲は
である。また、Gがx軸の正の部分と負の部分の両方で交わるようなaの値の範囲は
である。
(2) 関数�，�
における最小値が
となるのは
における最小値がとなるのは または のときである。また、
のとき、関数�，�
における最大値は
である。
一方、
のときの�，離哀薀佞�x軸方向に
，y軸方向に
だけ平行移動すると、
のときのグラフと一致する。
のとき、関数�，�における最大値はである。一方、
のときの�，離哀薀佞�x軸方向に，y軸方向にだけ平行移動すると、のときのグラフと一致する。解答 2次関数の最大最小・グラフの平行移動に関する問題です。
･･･�� ･･･��(ア) 2 (イ) 4 (ウ) 4 ......[答]
この頂点が、
上にあるとき、 ･･･��(1) グラフGがx軸と異なる2点で交わるとき、Gは上に凸な放物線なので頂点のy座標は正です。
��より、
∴ 
(キ) − (ク) 9 (ケ) 4 ......[答]
Gがx軸の正の部分と負の部分の両方で交わるとき、Gのグラフはy軸と
の部分で交わります。�，�
とすると、
，よって、��より、
(キ) − (ク) 9 (ケ) 4 ......[答]
Gがx軸の正の部分と負の部分の両方で交わるとき、Gのグラフはy軸と
の部分で交わります。�，�とすると、，よって、��より、の解は、より、(コ) 4 (サ) 3 ......[答]
(2) Gのグラフの軸の位置
が、
の範囲の中央(
)から左側か右側かで場合分けします。軸が範囲の中央から左にあるとき、
，つまり、
のとき、関数�，蓮�範囲の右端
において最小で、��より、
が、の範囲の中央()から左側か右側かで場合分けします。軸が範囲の中央から左にあるとき、，つまり、のとき、関数�，蓮�範囲の右端において最小で、��より、
(∴ 
(
)
軸が範囲の中央から右にあるとき、つまり、
のとき、関数�，蓮�範囲の左端
において最小で、��より、
()軸が範囲の中央から右にあるとき、つまり、
のとき、関数�，蓮�範囲の左端において最小で、��より、∴ 
(
)
(シ) − (ス) 3 (セ) 1 ......[答]
のとき、
なので、�△茲蟯愎��，蓮�
()(シ) − (ス) 3 (セ) 1 ......[答]
のとき、なので、�△茲蟯愎��，蓮�となり、Gの頂点は
で、
のとき、最大値
をとります。
(ソ) − (タ) 1 (チ) 3 ......[答]
のとき、�△茲�
なので、�△茲蟯愎��，蓮�
で、のとき、最大値をとります。(ソ) − (タ) 1 (チ) 3 ......[答]
のとき、�△茲�なので、�△茲蟯愎��，蓮�となり、Gの頂点は
に来ます。x軸方向に4，y軸方向に
平行移動すると頂点は
に来るので、
のときのグラフと一致します。
(ツ) 4 (テ) − (ト) 1 (ナ) 6 ......[答]
に来ます。x軸方向に4，y軸方向に平行移動すると頂点はに来るので、のときのグラフと一致します。(ツ) 4 (テ) − (ト) 1 (ナ) 6 ......[答]
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2012年01月16日
センター数学IA '12年第1問
センター数学IA '12年第1問
･･･��
解答 不等式を満たす整数解の個数の問題です。なお、1次方程式・1次不等式を参照してください。
･･･��
必要十分条件である
必要条件であるが、十分条件でない
十分条件であるが、必要条件でない
必要条件でも十分条件でもない
解答 相手の条件に対して「広い」方が必要条件、「狭い」方が十分条件、と、機械的に判断させないように、自然数、という指定をつけていますが、xy平面上で格子点を取ってみれば「広い」「狭い」で判断することができます。なお、条件と命題を参照してください。
，
，
，
，
，
，
，
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[1](1) 不等式
の解は
である。
の解はである。以下、aを自然数とする。
(2) 不等式
･･･��の解は
である。
である。(3) 不等式�，鯔�たす整数xの個数をNとする。
のとき、
である。また、aが4，5，6，･･･と増加するとき、Nが初めて
より大きくなるのは、
のときである。
のとき、である。また、aが4，5，6，･･･と増加するとき、Nが初めてより大きくなるのは、のときである。解答 不等式を満たす整数解の個数の問題です。なお、1次方程式・1次不等式を参照してください。
(1) 
(ア) − (イ) 2 (ウ) 1 ......[答]
(2) 
･･･��
･･･�� ･･･��(エ) 1 (オ) 2 ......[答]
(3) 
のとき、
を満たす整数xは、
，
，0，1の4個で、
のとき、を満たす整数xは、，，0，1の4個で、(カ) 4 ......[答]
�△蓮�
のとき、
，これを満たす整数xは、
，
，0，1の4個で、
�△蓮�
のとき、
，これを満たす整数xは、
，
，
，0，1，2の6個で、
Nが初めて4より大きくなるのは、
のときです。
(キ) 5 ......[答]
�△蓮�
のとき、，これを満たす整数xは、，，0，1の4個で、�△蓮�
のとき、，これを満たす整数xは、，，，0，1，2の6個で、Nが初めて4より大きくなるのは、
のときです。(キ) 5 ......[答]
[2] kを定数とする。自然数m，nに関する条件p，q，rを次のように定める。
p：
または
q：
r：
またはq：
r：
(1) 次の
に当てはまるものを、下の〜のうちから一つ選べ。
に当てはまるものを、下の〜のうちから一つ選べ。pの否定
は
である。
または
かつ
かつ
または
はである。 または かつ かつ または(2) 次の
〜
に当てはまるものを、下の〜のうちから一つずつ選べ。ただし、同じものを繰り返し選んでもよい。
〜に当てはまるものを、下の〜のうちから一つずつ選べ。ただし、同じものを繰り返し選んでもよい。(i) 
とする。
とする。pはqであるための
。
。(ii) 
とする。
とする。pはrであるための
。
pはqであるための
。
。pはqであるための
。 必要十分条件である 必要条件であるが、十分条件でない 十分条件であるが、必要条件でない 必要条件でも十分条件でもない解答 相手の条件に対して「広い」方が必要条件、「狭い」方が十分条件、と、機械的に判断させないように、自然数、という指定をつけていますが、xy平面上で格子点を取ってみれば「広い」「狭い」で判断することができます。なお、条件と命題を参照してください。
または
の否定は、
かつ
」となります。(ク) 2 ......[答]
(2)(i) 
のとき、p：
または
，q：
となりますが、pを満たす整数の組
の集合
は、
のとき、p：または，q：となりますが、pを満たす整数の組の集合は、qを満たす整数の組
の集合もこれに一致します。従って、pはqであるための必要十分条件です。
(ケ) ......[答]
の集合もこれに一致します。従って、pはqであるための必要十分条件です。(ケ)
......[答](ii) 
のとき、
のとき、p：
または
q：
r：
またはq：
r：
rを満たす整数の組
の集合を
とすると、
の集合をとすると、，，pを満たす整数の組
の集合を
とすると、
の集合をとすると、，qを満たす整数の組
の集合を
とすると、
の集合をとすると、，，，，よって、
即ち、q ⇒ p ⇒ r
pはrであるための十分条件であるが必要条件ではなく、
pはqであるための必要条件であるが十分条件ではない、ということになります。
(コ) (サ) ......[答]
即ち、q ⇒ p ⇒ r
pはrであるための十分条件であるが必要条件ではなく、
pはqであるための必要条件であるが十分条件ではない、ということになります。
(コ)
(サ) ......[答]TOPに戻る CFV21 アーカイブ 考察のぺージ
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