2008年04月15日
東大理系数学'05年前期[6](再掲)
東大理系数学'05年前期[6]
rを正の実数とする。xyz空間において
をみたす点全体からなる立体の体積を求めよ。
解答 この問題は過去にも類題があります。問題文の書き方はかなり違いますが、実質的に、'94前期[3]，'98前期[6]と同様の問題です。
･･･��
･･･��
･･･��この問題は、�，鉢�だけなら、半径rの円を断面とする円柱を垂直に交わらせたときの共通部分の体積になって、中堅大学でもしばしば見かける問題です。
共通部分にできる立体を、平面
(
)で切ったときの断面は、� き�のxをkで置き換えて、
，
より、
，
この2つの不等式の表す領域は、一辺
の正方形です。
断面積は、
より、
の範囲で積分を行うと、この体積
は、
(立体の体積)
この問題では、� き�にさらに、�△�付け加わります。
ですが、これでも、不等式の個数が1つ増えただけで、基本的には何も変わりません。積分の計算はかなり面倒になりますが。
やはり、平面
で立体Kを切った断面の面積を求めて積分します。
� き�のxをkで置き換えると、先と同じように、
，
より、
，
�△�表すのは、半径rの円から外側の部分です。
結局、断面にできる図形Gは、一辺
の正方形から、半径rの円の内側を取り除いた部分になります。
右図は、断面にできる図形Gをx軸と垂直な方向にyz平面上まで平行移動させたものです。
原点Oと正方形の頂点Bとの距離dは、
切断面上にできる円：
･･･�� と正方形の辺とが交点をもつためには、円の半径rについて、
である必要があります。よって、
2乗して、
の部分と
の部分とで対称なので、以後は
として考え、
の部分の体積を2倍することにより立体Kの体積を求めることにします。
3点A，B，Cを、Ａ
，B
，C
とします。
�い畔�ABとの交点Dは、�い砲�いて
として、
(
) より、D
同様にして、�い畔�BCとの交点Eは、E
断面Gの面積
は、正方形OABCの面積から、
2個分の面積を引き、さらに扇形ODEの面積を引いたものを4倍したものになります。
正方形OABCの面積は、
の面積は、
として、扇形ODEの面積は、
∴
･･････��求める体積Vは、
を�イ糧楼呂農冓�したものになります。前述したように、対称性より、
�Δ涼罎�qはkでは積分できないので、置換積分することを考えます。
が開けるように、
とおくと、
，
：
のとき、?：
(置換積分(その2)を参照)
また、
(
)
(部分積分法を参照)∴ 
……[答]
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rを正の実数とする。xyz空間において
解答 この問題は過去にも類題があります。問題文の書き方はかなり違いますが、実質的に、'94前期[3]，'98前期[6]と同様の問題です。
･･･�� ･･･�� ･･･��共通部分にできる立体を、平面
()で切ったときの断面は、� き�のxをkで置き換えて、，より、，の正方形です。断面積は、
より、の範囲で積分を行うと、この体積は、 (立体の体積)この問題では、� き�にさらに、�△�付け加わります。
ですが、これでも、不等式の個数が1つ増えただけで、基本的には何も変わりません。積分の計算はかなり面倒になりますが。
やはり、平面
で立体Kを切った断面の面積を求めて積分します。� き�のxをkで置き換えると、先と同じように、，より、，結局、断面にできる図形Gは、一辺
の正方形から、半径rの円の内側を取り除いた部分になります。右図は、断面にできる図形Gをx軸と垂直な方向にyz平面上まで平行移動させたものです。
原点Oと正方形の頂点Bとの距離dは、
･･･�� と正方形の辺とが交点をもつためには、円の半径rについて、である必要があります。よって、2乗して、
∴ 
･･･��
x座標kが�イ鯔�たす範囲に立体ができます。この立体は、 ･･･��の部分との部分とで対称なので、以後はとして考え、の部分の体積を2倍することにより立体Kの体積を求めることにします。3点A，B，Cを、Ａ
，B，Cとします。�い畔�ABとの交点Dは、�い砲�いて
として、 () より、D同様にして、�い畔�BCとの交点Eは、E
断面Gの面積
は、正方形OABCの面積から、2個分の面積を引き、さらに扇形ODEの面積を引いたものを4倍したものになります。正方形OABCの面積は、
の面積は、として、扇形ODEの面積は、∴
･･････��を�イ糧楼呂農冓�したものになります。前述したように、対称性より、が開けるように、とおくと、，：のとき、?： (置換積分(その2)を参照)また、
() (部分積分法を参照)
( ……[答]TOPに戻る CFV21 メイン・ページ 考察のぺージ
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2008年04月14日
東大理系数学'05年前期[5](再掲)
東大理系数学'05年前期[5]
Nを1以上の整数とする。数字1，2，･･･，Nが書かれたカードを1枚ずつ、計N枚用意し、甲、乙のふたりが次の手順でゲームを行う。
の場合は乙の勝ちとし、ゲームは終了する。
(ii)の段階で、甲にとってどちらの選択が有利であるかをaの値に応じて考える。
以下の問いに答えよ。
解答 (1)も(2)も、aを用いて表すので、甲がある特定のa (aは定数)を引いた、という前提で考えるのでしょう。
であって、かつ、
......[答]
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Nを1以上の整数とする。数字1，2，･･･，Nが書かれたカードを1枚ずつ、計N枚用意し、甲、乙のふたりが次の手順でゲームを行う。
(i) 甲が1枚カードをひく、そのカードに書かれた数をaとする。ひいたカードはもとに戻す。
(ii) 甲はもう1回カードをひくかどうか選択する。ひいた場合は、そのカードに書かれた数をbとする。ひいたカードはもとに戻す。ひかなかった場合は、
とする。
とする。の場合は乙の勝ちとし、ゲームは終了する。(iii) 
の場合は、乙が1枚カードをひく。そのカードに書かれた数をcとする。ひいたカードはもとに戻す。
の場合は乙の勝ちとし、ゲームは終了する。
の場合は、乙が1枚カードをひく。そのカードに書かれた数をcとする。ひいたカードはもとに戻す。の場合は乙の勝ちとし、ゲームは終了する。(iv) 
の場合は、乙はもう1回カードをひく。そのカードに書かれた数をdとする。
の場合は乙の勝ちとし、それ以外の場合は甲の勝ちとする。
の場合は、乙はもう1回カードをひく。そのカードに書かれた数をdとする。の場合は乙の勝ちとし、それ以外の場合は甲の勝ちとする。(ii)の段階で、甲にとってどちらの選択が有利であるかをaの値に応じて考える。
以下の問いに答えよ。
(1) 甲が2回目にカードをひかないことにしたとき、甲の勝つ確率をaを用いて表せ。
(2) 甲が2回目にカードをひくことにしたとき、甲の勝つ確率をaを用いて表せ。
ただし、各カードがひかれる確率は等しいものとする。解答 (1)も(2)も、aを用いて表すので、甲がある特定のa (aは定数)を引いた、という前提で考えるのでしょう。
(1) 甲が2枚目のカードを引かない場合(
)に、甲が勝つのは、乙の引く1枚目の番号cが、 
であって、かつ、乙の引く2枚目の番号dについて、
となるか、
となるときです。
)に、甲が勝つのは、乙の引く1枚目の番号cが、 であって、かつ、乙の引く2枚目の番号dについて、となるか、となるときです。
となる
までのどれかになる確率で、N枚のうちのa枚を引くので、
となるか、
となる場合の
となる場合です。余事象の確率は、N枚のうちの
枚のいずれかを引くので、
......[答] ((2) 甲がカードを2回引く場合に、甲が勝つのは、
甲が2回目に引く番号bについて、
であって、かつ、乙が1回目に引く番号cが、
であって、かつ、
であって、かつ、乙が2枚目に引く番号dについて、
となるか、
となるか、となる場合です。
・甲が2回目に、
を満たすある特定のbを引く確率は、
を満たすある特定のbを引く確率は、このbとしては、
の可能性があります。その各々に対して、
の可能性があります。その各々に対して、・乙の引く2枚c，dについて、
となるか
となるのは、(1)の結果で、aを
に入れ替えたものとして考えれば、
となるかとなるのは、(1)の結果で、aをに入れ替えたものとして考えれば、
に各場合について、甲が特定のbを引いたときに甲が勝つ確率
(
......[答]上記の
の式変形ですが、
，
，
，･･･，
とした式を一度書いてみるとよいと思います。
の式変形ですが、，，，･･･，とした式を一度書いてみるとよいと思います。とすれば、公式：
(Σの公式を参照)を利用することができます。
(Σの公式を参照)を利用することができます。TOPに戻る CFV21 メイン・ページ 考察のぺージ
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2008年04月12日
東大理系数学'05年前期[4](再掲)
東大理系数学'05年前期[4]
3以上9999以下の奇数aで、
が10000で割り切れるものをすべて求めよ。
解答 東大では頻出の整数問題です。整数を参照してください。
まず、kを自然数だとして、
とおいてみます。
これをaの2次方程式とみて解くと、
ここで根号が開ける、つまり、根号内が平方数である条件を考えればよいのですが、
などと置いてもちょっと展望はないですね。
9999は
に近いのですが、
のとき、
となりますが、
で割っても、
これでは、kとして調べる範囲が広すぎます。
よって、この方針はボツ。
なので、
とか、
とかして、2次方程式を解く方針も考えられますが、先の方針と似たり寄ったりでしょうね。
次に、
と因数分解してみます。
これで、1つ気がつかないといけないことがあります。
，aは連続している2整数です。片方が奇数で、もう一方は偶数です。
とるに足らないような当たり前のことですが、こういうことが整数の問題では非常に役立つときがあります。
10000を素因数分解して出てくる
は偶数です。
は奇数です。
ということは、次の2つの場合しかあり得ないということです。
の倍数で、他方が
の倍数になるような場合には、2数がともに偶数になってしまいます)はあり得ません。
とおけます。つまり、
この左辺は偶数なので、
は奇数です。lも奇数です。
より、
の8通りに限られます。
この程度なら全数チェックしてもよいでしょう。
と書ける数の中から16の倍数になるものを探します。
の各々について、
となりますが、
このうち、16の倍数は、
に対応する624だけです。
のとき、
です。
原問題のままなら、aが奇数になるのは(i)の場合だけなので、
......[答]
ここでは、aが偶数の場合も調べておきます。
とおけます。
は偶数なので、
は奇数となり、kも奇数です。
より、
の8通りに限られます。
と書ける数の中から16の倍数になるものを探します。
の各々について、
このうち、16の倍数は、
に対する9376だけです。
よって、
この問題では、
，つまり
の下4桁がaに一致していると言っているわけですが、実際、
，
となります。
小学生の家庭教師のアルバイトをやっていて、かけ算の練習をさせるとき、
何でもよいから、3桁の数を考えてごらん、と言って、
小学生が、例えば、293を考えたとします。
まず、7をかけてみてね、と、言います。
となります。
次に、今出てきた答に11をかけてみてね、と、言います。
となります。
さらに、今出てきた答に13をかけてみてね、と、言います。
となります。
はじめに考えた数と比べてごらん、と言うと、小学生が計算間違いをしていなければ、
目を丸くします。
なぜだろうね？と言って理由を考えさせるのもよいかもしれません。
ほかにも3桁の数を考えさせて、計算を何回かやらせるうちに、7と11と13にトリックがあるな、ということに気づかせることができるでしょう。
要するに、
だからなのですが、こんなことからでも、小学生に数の不思議さを体験させて科学への興味を持たせることができれば素敵だと思いませんか？
原問題がaを奇数の場合に限っているのは、(i)も(ii)も結局同じことを2度やるだけなので、無駄かなと出題者が思ったからだと思いますが、(ii)の手間を省略したければ、
がmの倍数であって、nを整数として、
と書けるとき、
とすると、
より、
もmの倍数です。この問題でaが偶数でよいことにすると、
が答なら、
も答です。
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3以上9999以下の奇数aで、
が10000で割り切れるものをすべて求めよ。解答 東大では頻出の整数問題です。整数を参照してください。
まず、kを自然数だとして、
とおいてみます。これをaの2次方程式とみて解くと、
ここで根号が開ける、つまり、根号内が平方数である条件を考えればよいのですが、
などと置いてもちょっと展望はないですね。9999は
に近いのですが、のとき、となりますが、で割っても、これでは、kとして調べる範囲が広すぎます。
よって、この方針はボツ。
なので、とか、とかして、2次方程式を解く方針も考えられますが、先の方針と似たり寄ったりでしょうね。次に、
と因数分解してみます。これで、1つ気がつかないといけないことがあります。
，aは連続している2整数です。片方が奇数で、もう一方は偶数です。とるに足らないような当たり前のことですが、こういうことが整数の問題では非常に役立つときがあります。
10000を素因数分解して出てくる
は偶数です。は奇数です。ということは、次の2つの場合しかあり得ないということです。
(i) 
が
の倍数でaが
の倍数
がの倍数でaがの倍数(ii) 
が
の倍数でaが
の倍数
これ以外の場合(たとえば、片方ががの倍数でaがの倍数の倍数で、他方がの倍数になるような場合には、2数がともに偶数になってしまいます)はあり得ません。(i)の場合、kを整数として、
とおくと、lを整数として、
とおくと、lを整数として、とおけます。つまり、この左辺は偶数なので、
は奇数です。lも奇数です。より、の8通りに限られます。この程度なら全数チェックしてもよいでしょう。
と書ける数の中から16の倍数になるものを探します。の各々について、となりますが、このうち、16の倍数は、
に対応する624だけです。のとき、です。原問題のままなら、aが奇数になるのは(i)の場合だけなので、
......[答]ここでは、aが偶数の場合も調べておきます。
(ii)の場合、kを整数として、
とおくと、lを整数として、
とおくと、lを整数として、とおけます。は偶数なので、は奇数となり、kも奇数です。より、の8通りに限られます。と書ける数の中から16の倍数になるものを探します。の各々について、このうち、16の倍数は、
に対する9376だけです。よって、
この問題では、
，つまりの下4桁がaに一致していると言っているわけですが、実際、，となります。小学生の家庭教師のアルバイトをやっていて、かけ算の練習をさせるとき、
何でもよいから、3桁の数を考えてごらん、と言って、
小学生が、例えば、293を考えたとします。
まず、7をかけてみてね、と、言います。
となります。次に、今出てきた答に11をかけてみてね、と、言います。
となります。さらに、今出てきた答に13をかけてみてね、と、言います。
となります。はじめに考えた数と比べてごらん、と言うと、小学生が計算間違いをしていなければ、
目を丸くします。
なぜだろうね？と言って理由を考えさせるのもよいかもしれません。
ほかにも3桁の数を考えさせて、計算を何回かやらせるうちに、7と11と13にトリックがあるな、ということに気づかせることができるでしょう。
要するに、
だからなのですが、こんなことからでも、小学生に数の不思議さを体験させて科学への興味を持たせることができれば素敵だと思いませんか？原問題がaを奇数の場合に限っているのは、(i)も(ii)も結局同じことを2度やるだけなので、無駄かなと出題者が思ったからだと思いますが、(ii)の手間を省略したければ、
がmの倍数であって、nを整数として、と書けるとき、とすると、より、もmの倍数です。この問題でaが偶数でよいことにすると、が答なら、も答です。TOPに戻る CFV21 メイン・ページ 考察のぺージ
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2008年04月08日
東大理系数学'05年前期[3](再掲)
東大理系数学'05年前期[3]
とする。ただし、eは自然対数の底である。
解答 この問題は京大'84[6]をはじめとして、あちこちの大学で出題されてきている問題です。東大でも、毎年1題か2題、入試頻出技巧を使う問題が出題されています。
，
，･･････
よって、
∴
，
，･･･，
∴
以上より、
......[答]
TOPに戻る CFV21 メイン・ページ 考察のぺージ
(1) 
ならば
であることを示せ。
ならばであることを示せ。(2) 
を正の数とするとき、数列
(
)を、
によって定める。
であれば、
を正の数とするとき、数列 ()を、によって定める。であれば、であることを示せ。
解答 この問題は京大'84[6]をはじめとして、あちこちの大学で出題されてきている問題です。東大でも、毎年1題か2題、入試頻出技巧を使う問題が出題されています。
(1) 1次の導関数は、
(合成関数の微分法を参照)
(合成関数の微分法を参照)
における
の増減表は、
)
において、
は(2) 原問題で特に聞かれているわけではないのですが、定型問題なので、ふつうこうやる、という筋道でやっていきます。
という方程式を考えます。(1)で
という条件をつけているので、ここでも、
の範囲の解を考えます。ここで、
という条件をつけているので、ここでも、の範囲の解を考えます。ここで、という関数を考えます。
の増減表は、
)
において、
，従って、
はより、
，即ち、
は、
において、ただ1つの解
を持ちます。
，即ち、は、において、ただ1つの解を持ちます。・まず、
の場合を考えます。
の場合を考えます。
は単調増加で
なので、
，
，･･････
です。
は
より、，，･･････
です。
は、
において
の場合には
，
の場合には、
として、となるcが存在します。どちらの場合においても、
なので、(1)の結果より、
なので、(1)の結果より、よって、
∴
この不等式で項の番号を1ずつ小さくしてゆくと、
，，･･･，これらを使って、
∴
とすると、右辺
∴ 
・
の場合には、
，
，･･････
の場合には、，，･･････より、全ての0以上の整数nについて、
以上より、
......[答]TOPに戻る CFV21 メイン・ページ 考察のぺージ
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2008年04月07日
東大理系数学'05年前期[2](再掲)
東大理系数学'05年前期[2]
となるどのような複素数zに対しても
とは表されない複素数w全体の集合をTとする。すなわち、
とする。このとき、Tに属する複素数wで絶対値
が最大になるようなwの値を求めよ。
解答 問題文前半の言い方では、考えにくいので、集合記法で書き直してある方で考えることにします。
まず、変換式：
をzの2次方程式：
･･･�� と見て、zについて解きます。
･･･��苦しい形になりますが、複素数の平方根
は2乗して
になる複素数だとします。
ですがこれでは、
の処置に困ります。2乗して
になる複素数を考えるのに便利な技巧は極形式です。でも、ここで極形式を持ち出すくらいなら、はじめから極形式で書いてきた方がよいだろう、ということで、zを極形式で、
(
，
)と表すことにします。
という条件は、
となります。
(ド・モアブルの定理を使用)
これはrを固定して考えると、
，つまり、
のときに最大になります。
このとき、
が
を満たせばwはT上の点になります。
のとき、
として、
(微分・導関数を参照)
においては、
より
は単調増加で、
のとき
最大。
このとき、
できた！と驚喜したくなるのですが、解答として妥当かどうかを調べてみます。
�，如�
としてみると、
∴ 
は
を満たすのですが、
は満たしません。
は、集合Tの条件式：
を満たさないのです。
つまり、
は集合Tの要素にはなり得ず、この問題の解答とするわけにはいきません。
これは、�△�、wに対してzの値が1通りであるかのように見えるためです。
ですが、�，�2次方程式なので、解は2個、つまり、zの値は2通りあります。
に対するzは
と
の2個あります。
の最大値は、2次方程式�，硫鬚�2個とも
を満たすという条件下で考えなければなりません。
かと言って、
，
とおいて、
を満たすzを求めるのは、厳しそうです。
そこで、少し単純な問題を考えてみます。
与えられた
に対して、
とおき、
を満たすzを求めてみます。
また、
より
より、
よって、
，または、
･･･(＊)これなら、
の最大も、
に関する条件もラクに考えることができます。
実は、東大第2問は、この単純化された問題に帰着できる形をしています。
の両辺に1を加えると、
･･･��となるので、与えられた
(
)に対して、
(
，
)とおき、
を満たすzを求めてみます。
よって、上記(＊)を利用して、
∴
･･･��
より、
∴ 
左辺を平方完成して、
∴
(ここまで、複号同順) ･･･��さて、
という条件は、2次方程式�，�2つの解�い料佇�について成立する必要があります。�イ両魴錣睚９罎痢棔ぁ櫃料佇�について成立する必要があります。
つまり、ある定められたjに対して、
かつ 
この条件は、
(
)として
とおくと、
かつ 
･･･��という条件と同値です。
より、
は単調増加。 (合成関数の微分法、関数の増減を参照)
，
より、
において、
また、
とすると、
∴ 
従って、
一方、
のとき、
をとるときに、
であって、
なので、R最大と
最小は同時に起こり、しかも、
の最大値は、
以上より、
が最大になるのは、
，
(
)のときで、このとき、
......[答]
一応、確認をしておくと、
として、
を解くと、
，このとき、
となり、2解とも、
を満たしています。
別解 上記のように素直に極形式でやってしまうと、(＊)から�ぁきイ藩茲襪△燭蠅妊乾燭弔�ます。そこで、2乗して
となる複素数を求めてしまわずに、単に、aと置くことにします。すると、��：
を満たすzは、
より、
，また、
より、
条件：
は、複号の±のいずれに対しても成り立つ必要があるので、
かつ 
となり、aは、1を中心とする半径
の円から内側であって、かつ、
を中心とする半径
の円から内側の複素数となります。このとき、
となりますが、等号が成立するのは、
のときで、2円の交点は、
より、aがこの交点に来るときにw最大です。
従って、
の最大値を与えるwは、
......[答]
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となるどのような複素数zに対してもとは表されない複素数w全体の集合をTとする。すなわち、が最大になるようなwの値を求めよ。解答 問題文前半の言い方では、考えにくいので、集合記法で書き直してある方で考えることにします。
まず、変換式：
をzの2次方程式： ･･･�� と見て、zについて解きます。 ･･･��は2乗してになる複素数だとします。ですがこれでは、
の処置に困ります。2乗してになる複素数を考えるのに便利な技巧は極形式です。でも、ここで極形式を持ち出すくらいなら、はじめから極形式で書いてきた方がよいだろう、ということで、zを極形式で、 (，)と表すことにします。という条件は、となります。 (ド・モアブルの定理を使用)，つまり、のときに最大になります。このとき、
がを満たせばwはT上の点になります。のとき、として、 (微分・導関数を参照)においては、よりは単調増加で、のとき最大。このとき、
できた！と驚喜したくなるのですが、解答として妥当かどうかを調べてみます。
�，如�
としてみると、 ∴ はを満たすのですが、は満たしません。は、集合Tの条件式：を満たさないのです。つまり、
は集合Tの要素にはなり得ず、この問題の解答とするわけにはいきません。これは、�△�、wに対してzの値が1通りであるかのように見えるためです。
ですが、�，�2次方程式なので、解は2個、つまり、zの値は2通りあります。
に対するzはとの2個あります。の最大値は、2次方程式�，硫鬚�2個ともを満たすという条件下で考えなければなりません。かと言って、
，とおいて、そこで、少し単純な問題を考えてみます。
与えられた
に対して、とおき、を満たすzを求めてみます。また、
(
より、
よりより、よって、
，または、 ･･･(＊)の最大も、に関する条件もラクに考えることができます。実は、東大第2問は、この単純化された問題に帰着できる形をしています。
の両辺に1を加えると、 ･･･�� ()に対して、 (，)とおき、を満たすzを求めてみます。∴
･･･��より、 ∴ ∴
(ここまで、複号同順) ･･･��という条件は、2次方程式�，�2つの解�い料佇�について成立する必要があります。�イ両魴錣睚９罎痢棔ぁ櫃料佇�について成立する必要があります。つまり、ある定められたjに対して、
かつ ()としてとおくと、 かつ ･･･��より、は単調増加。 (合成関数の微分法、関数の増減を参照)，より、において、また、
とすると、 ∴ 従って、
・
においては、
より、�� ⇔ 
においては、より、�� ⇔ この範囲のxに対して
が最大になるのは
のときで、
が最大になるのはのときで、・
においては、
より、�� ⇔ 
においては、より、�� ⇔ この範囲のxに対して
が最大になるのは
のときで、
が最大になるのはのときで、一方、
のとき、
(・
であれば、
は
において最大で、最大値は1
であれば、はにおいて最大で、最大値は1・
であれば、
はR最大のときに最大となります。また、R最大という条件のもとで、
が最小のときに、
は最大です。
上記のように、Rが最大値であれば、はR最大のときに最大となります。また、R最大という条件のもとで、が最小のときに、は最大です。をとるときに、であって、なので、R最大と最小は同時に起こり、しかも、の最大値は、以上より、
が最大になるのは、， ()のときで、このとき、 ......[答]一応、確認をしておくと、
として、を解くと、，このとき、となり、2解とも、を満たしています。別解 上記のように素直に極形式でやってしまうと、(＊)から�ぁきイ藩茲襪△燭蠅妊乾燭弔�ます。そこで、2乗して
となる複素数を求めてしまわずに、単に、aと置くことにします。すると、��：を満たすzは、より、，また、より、条件：
は、複号の±のいずれに対しても成り立つ必要があるので、 かつ の円から内側であって、かつ、を中心とする半径の円から内側の複素数となります。このとき、より、aがこの交点に来るときにw最大です。従って、
の最大値を与えるwは、 ......[答]TOPに戻る CFV21 メイン・ページ 考察のぺージ
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2008年04月02日
東大理系数学'05年前期[1](再掲)
東大理系数学'05年前期[1]
に対し
とする。
と表されることを示し、
，
に関する漸化式を求めよ。
解答 まずは、(1)ですが、これは単に微分してみるだけです。商の微分法の計算練習にちょうど良いです。ご覧の皆さんは、3次の導関数まで計算してみてください。
次のようになるでしょう。
これで、数列のはじめの3項がどうなっているかわかります。
，
，
，
，
運が良ければ、これで問題のアウトラインが読めてしまうこともあります。
細かいことは(2)で考えることにして、
と書けること ･･･�� を示してみます。
，
･･･��，
･･･�� ......[答]
･･･��
この漸化式は、教科書や参考書ではちょっとお目にかかれません。暗記しているテクニックを使ってパっと解けてしまうという漸化式ではないのです。
添字の番号を1つずらして差をとるとうまくこともありますが、�イ任呂Δ泙�行きません。
こういう変てこな漸化式では、だいたい、漸化式を利用して、
，
，･･････ と求めて行くと、感じがつかめます。うまく行けば、一般項の形が予測できて、あとは、数学的帰納法で証明すればよいのです。
，
，
ということが既にわかっているのですが、�イ鮖箸辰董△匹ΔいΕ�ラクリになっているかを調べてみます。
�イ�
を代入してみると、
･･･��
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に対しとする。(1) 
に対し
の第n次導関数は、数列
，
を用いて
に対しの第n次導関数は、数列，を用いてと表されることを示し、
，に関する漸化式を求めよ。(2) 
とおく。
を用いて
，
の一般項を求めよ。
とおく。を用いて，の一般項を求めよ。解答 まずは、(1)ですが、これは単に微分してみるだけです。商の微分法の計算練習にちょうど良いです。ご覧の皆さんは、3次の導関数まで計算してみてください。
次のようになるでしょう。
，，，，細かいことは(2)で考えることにして、
(1) nは自然数なので、数学的帰納法で示すことになります。
(i) 
のとき、
より、
，
として、�，論�り立ちます。
のとき、より、，として、�，論�り立ちます。(ii) 
のとき成り立つとすると、
と書けます。
のとき成り立つとすると、と書けます。これを微分すると、
ここで、
，
･･･�� とすれば、
と書けます。
よって、
のときも、�，論�り立ちます。
， ･･･�� とすれば、 と書けます。よって、
のときも、�，論�り立ちます。(i)，(ii)より、全ての自然数nに対して、�，�成り立ちます。
よく、"
，
･･･�� とすれば"というのを、なぜ、こんな風におけるのか証明しなくてよいのか、と、疑問に思う人がいるのですが、これは、
と
の値がわかっているときに、�⊆阿砲茲辰董�
と
の値を決めてください、これで、
，
から出発して数列の各項の値を全て求めることができます、という意味です。
成り立つか成り立たないか、わからないことがらとして�△�出てきたのではなく、
を微分して
を求めてみたところ、確かめられていて証明する必要のないことがらとして、�△�出てきているのです。
，
に関する漸化式は、�△�kをnに書き換えて、
よく、"
， ･･･�� とすれば"というのを、なぜ、こんな風におけるのか証明しなくてよいのか、と、疑問に思う人がいるのですが、これは、との値がわかっているときに、�⊆阿砲茲辰董�との値を決めてください、これで、，から出発して数列の各項の値を全て求めることができます、という意味です。成り立つか成り立たないか、わからないことがらとして�△�出てきたのではなく、
を微分してを求めてみたところ、確かめられていて証明する必要のないことがらとして、�△�出てきているのです。，に関する漸化式は、�△�kをnに書き換えて、， ･･･��， ･･･�� ......[答](2) 
については、�い鮓�ていれば、
，
，
，･･････ とやっていけば、奇数番めで負、偶数番めで正なので、
とわかります。
については、�い鮓�ていれば、，，，･･････ とやっていけば、奇数番めで負、偶数番めで正なので、 とわかります。これを��に代入すると、
･･･��この漸化式は、教科書や参考書ではちょっとお目にかかれません。暗記しているテクニックを使ってパっと解けてしまうという漸化式ではないのです。
添字の番号を1つずらして差をとるとうまくこともありますが、�イ任呂Δ泙�行きません。
こういう変てこな漸化式では、だいたい、漸化式を利用して、
，，･･････ と求めて行くと、感じがつかめます。うまく行けば、一般項の形が予測できて、あとは、数学的帰納法で証明すればよいのです。，，ということが既にわかっているのですが、�イ鮖箸辰董△匹ΔいΕ�ラクリになっているかを調べてみます。�イ�
を代入してみると、�イ�
を代入してみるのですが、
としてしまわないで、
を代入します。
とやってしまうとカラクリに気づかないんですね。とにかく、結果を出そう、答を出そう、という風に思ってしまうと、大事なポイントが見えてこないんです。
を代入してみるのですが、としてしまわないで、を代入します。とやってしまうとカラクリに気づかないんですね。とにかく、結果を出そう、答を出そう、という風に思ってしまうと、大事なポイントが見えてこないんです。これでは、まだ見えてきませんね。
�イ�
を代入してみると、
�イ�
を代入してみると、この辺で、
という数列を導入する、というヒントを使うことを考えます。
の第1項に4がなく、第2項に3がなく、第3項に2がなく、第4項には1，2，3，4がすべて揃っているというところから、
で割ったらどうか、と、考えます。東大前期では、難解な問題でも、この程度のアイデアを出せば、8割がた、解決できます。
という数列を導入する、というヒントを使うことを考えます。の第1項に4がなく、第2項に3がなく、第3項に2がなく、第4項には1，2，3，4がすべて揃っているというところから、で割ったらどうか、と、考えます。東大前期では、難解な問題でも、この程度のアイデアを出せば、8割がた、解決できます。というわけです。これで、一般項を、
･･･��(i) 
のとき、
となり、�Δ論�り立ちます。
のとき、となり、�Δ論�り立ちます。(ii) 
のとき、�Δ�成り立つとして、
のとき、�Δ�成り立つとして、�イ紡綟�すると、
よって、
のときも�Δ�成り立ちます。
のときも�Δ�成り立ちます。(i)，(ii)より、全ての自然数nについて、�Δ�成り立ちます。
よって、
，
の一般項は、
，
......[答]
よって、
，の一般項は、， ......[答]TOPに戻る CFV21 メイン・ページ 考察のぺージ
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