[1] 
，
として、不等式
，として、不等式
･･･①を満たすxの値の範囲を求めよう。
真数は正であるから、
が成り立つ。ただし、対数
に対し、aを底といい、bを真数という。
底aが
を満たすとき、不等式①
真数は正であるから、
が成り立つ。ただし、対数に対し、aを底といい、bを真数という。底aが
を満たすとき、不等式①
･･･②となる。ただし、
については、当てはまるものを、次の
～
のうちから一つ選べ。
したがって、真数が正であることと②から、
のとき、不等式①を満たすxのとり得る値の範囲は
である。
同様にして、
のときには、不等式①を満たすxのとり得る値の範囲は
であることがわかる。
については、当てはまるものを、次の～のうちから一つ選べ。 したがって、真数が正であることと②から、
のとき、不等式①を満たすxのとり得る値の範囲はである。同様にして、
のときには、不等式①を満たすxのとり得る値の範囲はであることがわかる。解答 対数の底が1より小さい場合も考えますが、この問題は落とせません。
真数は正であるから、
かつ 
∴
･･･③(ア) 2 (イ) 8 ......[答]
のとき、①より、
......[答]
③と合わせて、
(ク) 6 (ケ) 8 ......[答]
のとき、
，
③と合わせて、
(コ) 2 (サ) 6 ......[答]
[2] 
として
として
を満たすβ について考えよう。ただし、
とする。
たとえば、
のとき、β のとり得る値は
と
の二つである。
このように、αの各値に対して、β のとり得る値は二つある。そのうちの小さい方を
，大きい方を
とし
とする。たとえば、
のとき、β のとり得る値はとの二つである。このように、αの各値に対して、β のとり得る値は二つある。そのうちの小さい方を
，大きい方をとし
が最大となるαの値とそのときのyの値を求めよう。
，
をαを用いて表すと、
のときは
，をαを用いて表すと、のときは
，
となり、
のときは
のときは
，
となる。
したがって、
のとり得る値の範囲は
したがって、
のとり得る値の範囲は
である。よって、yが最大となるαの値は
であり、そのときのyの値は
であることがわかる。
に当てはまるものを、次の～
のうちから一つ選べ。
1 
であり、そのときのyの値はであることがわかる。に当てはまるものを、次の～のうちから一つ選べ。 1 解答 後半部分がややこしいですが、2つの場合に分けて、ていねいに解答しましょう。なお、三角関数を参照してください。
のとき
より、
(三角関数を含む方程式・不等式を参照)
より、
(シ) 6 (ス) 5 ......[答]
のとき、
，
より、
，
(セ) 4 (ソ) 2 (タ) 3 ......[答]
のとき、
，
より、
∴
，
(チ) 4 (ツ) 2 (テ) 5 ......[答]
のとき、
より、
･･･①
のとき、
より、
･･･②
のとり得る値の範囲は、①，②より、
このとき、
は、
のとき、つまり、①の方なので、
，
をとります。(ノ) 3 (ハ) 2 (ヒ) 2 (フ)
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通りある。
通りであり、5と書かれたカードがない取り出し方は
通りである。
である。得点が1点となる確率は
で、得点が2点となる確率は
，得点が3点となる確率は
である。
点である。
通り。
通り。
通り。
，
であるとき
，
，△ABCの内接円Iの半径は
である。
である。
かつ
となるようにとる。このとき、△PBQの外接円Oの直径は
であり、円Iと円Oは
。ただし、
には次の
から当てはまるものを一つ選べ。
となるようにとる。このとき
，
である。
がやたらと出てきますが、出題者としてはシャレを利かしたつもりでも、目をつむって
(
)
より、
より
として、
は、
より
，
，
，
より、
∴ 
･･･①
上にあるとする。このとき、
における最小値が
となるのは
または 
のとき、関数①の
における最大値は
である。
のときの①のグラフをx軸方向に
，y軸方向に
だけ平行移動すると、
のときのグラフと一致する。
･･･①
･･･②
上にあるとき、
･･･③
の部分で交わります。①で
とすると、
，よって、③より、
の解は、
より、
が、
の範囲の中央(
)から左側か右側かで場合分けします。軸が範囲の中央から左にあるとき、
，つまり、
のとき、関数①は、範囲の右端
において最小で、③より、
(
(
)
のとき、関数①は、範囲の左端
において最小で、③より、
(
)
のとき、
なので、②より関数①は、
で、
のとき、最大値
をとります。
のとき、②より
なので、②より関数①は、
に来ます。x軸方向に4，y軸方向に
平行移動すると頂点は
に来るので、
のときのグラフと一致します。
の解は
である。
･･･①
である。
のとき、
である。また、aが4，5，6，･･･と増加するとき、Nが初めて
より大きくなるのは、
のときである。
･･･①
･･･②
のとき、
を満たす整数xは、
，
，0，1の4個で、
のとき、
，これを満たす整数xは、
，
，0，1の4個で、
のとき、
，これを満たす整数xは、
，
，
，0，1，2の6個で、
のときです。
または
に当てはまるものを、下の
は
である。
または
かつ
かつ
または
～
に当てはまるものを、下の
とする。
。
とする。
。
。
または
の否定は、
かつ
」となります。
のとき、p：
または
，q：
となりますが、pを満たす整数の組
の集合
は、
の集合もこれに一致します。従って、pはqであるための必要十分条件です。
のとき、
または
の集合を
とすると、
，
，
の集合を
とすると、
，
の集合を
とすると、
，
，
，
，
を中心とする半径2の円をCとする。点
を通る直線
と円Cとの交点をA，Bとし、点
を通る直線
と円Cとの交点をP，Qとする。さらに、
と
は垂直に交わるとする。ただし、
は座標軸とは一致しない。
の傾きをkで表す。このとき、次の問いに答えよ。
と
の交点Dは円Cの内部にあることを示せ。
(∵ 三平方の定理)となることを使って求めます。なお、円と直線の位置関係を参照してください。
，
は、それぞれ
，
を直径の両端とする円周
上にあります。
は円Cの内部に位置するので、
，
の交点Dは円Cの内部の点です。
と直線
：
，つまり、
との距離
は、
(
......[答]
と直線
：
，つまり、
との距離
は、
......[答]
(
、つまり、
のとき、最大値：7 ......[答]
，
，
に対して次の不等式を証明せよ。ただし、nは自然数である。
のとき、
かつ 
の場合には、
かつ 
の場合には、
かつ 
の場合、または、
かつ
の場合には、
のとき、
が成立すると仮定します。
を加えると、
より、
のときにも、与不等式は成立します。
が成立します。
，
(
)について、
(
)であれば、等号は、
となるときに成立します。
(
より、
，
について、
の場合には、式変形だけで証明できます。
(等号成立は、
のとき)
の場合には、内積を使って簡単に証明することができます。
のとき、
の最小値を求めよ。
，
として、
より、
のとき、つまり、tを実数として
のときに成立します。
として、
(等号は、
のときに成立)
の最小値は
......[答]
が成り立つような実数kの最小値を求めよ。
の場合のコーシー・シュワルツの不等式において、
，
，
，
として、
，つまり、
のときに成立します。
......[答]
......[答]
，ここで、さらにBが赤玉を取り出す確率は、
，ここでさらに、2回目に、サイコロの2または3の目が出て、Bが9個中3個の赤玉のいずれかを取る確率は、
......[答]
......[答]
に一致します。
，
とおき、数列
を次の漸化式で定める。
と
から漸化式を用いて
を決める際には硬貨を投げ、表が出たとき
，裏が出たとき
とする。ここで表が出る確率と裏が出る確率は等しいとする。
の期待値を
とするとき、以下の問いに答えよ。
および
を、rを用いて表せ。
のときに
を、nとrを用いて表せ。
が収束するような正数rの範囲を求めよ。
の最小値を求めよ。
(
とします)
(
とします)
なので、
の
は、
･･･①
......[答]
(
とします)
(
とします)
(
とします)
(
とします)
，
，
，
となる確率はいずれも
で、
の期待値
は、
より、
･･･②
......[答]
の場合に、
，
と分けて解答してある本もありますが、上記の解答で、その場合も含んでいるので注意してください。
が満たす
回硬貨を投げたとき、
がとり得る
通りの値を
，
，･･･，
とします。
(
)に対して、硬貨を1回投げて、表が出るとき
が定まり、裏が出るとき
が定まるとすれば、
は、
，
，･･･，
の、
通りの値をとり得ます。
のとき、
は2通りの値をとり、
のとき、
は4通りの値を取るので、
は、
通りの値を取り(
は
通り、
は
通り)、各値をとる確率は
です。
のとき、
は1通りの値rをとり、
の期待値
とします。
のとき、
回硬貨を投げて、
(
)から、2回硬貨を投げたときの状況を考えます。
(
とします)
(
とします)
(
とします)
(
とします)
は、
，
，･･･，
という値をとり得ますが、その確率はいずれも
です。
の期待値
は、
，
より、②の
の場合を含めて
(
) ･･･③
のとき、つまり、
，
のとき、③は、
は公差rの
より、
(
のときもOK) ......[答]
，つまり、
のとき、③より、
は、初項：
，公比
の
(
のときもOK) ......[答]
なので、
のとき、
とすると、
は発散します。
のとき、
であれば、
は収束します。
と、
かつ 
が収束するrの範囲は、
......[答] (
が収束するとき、つまり、
，
のとき、
(
のとき、最小値
......[答] をとります。
，
，･･･，
，･･･ は
， 
とするとき、一般項
を求めよ。
の値を求めよ。
とするとき、
， 
として感触をつかみます。
と
の繰り返しになります。偶数番目の項が
，奇数番目の項が
です。
のとき、
，但し、
......[答]
のときに1，
のときに
となるようなものを探します。例えば、
です。これを使えば、
(
)
となることがわかります。
とおくと、正接の
より、
より、
......[答]
とすると、
，
，
，
，･･･ となって、
では、
と
が繰り返し、数列
が周期を持つことがわかります。
とすると、
，
，
，･･･
となっていることがわかります。
のときには、
のとき、
と5は互いに素なので、mは
の倍数で、jを整数として、
とおけます。
としていくと、
のときに、
，
となり、
となります。よって、
，
を満たす最小の自然数kは、
......[答]
とおく。辺BC，CA，ABをそれぞれ
：
，
：
，
：
に内分する点をX，Y，Zとする。また、Oを原点とする。次の問いに答えよ。
と定義するとき、3直線AX，BY，CZはNで交わることを示せ。
，
，
とするとき、
を
，
，
，a，b，cを用いて表せ。
∴ ZM：MC = 
：c
：cに内分する点です。
より、
･･･① (
･･･②
，
，
より、
，
･･･(＊)
：
に内分する点です。よって、
：
に内分する点です。よって、
，
，
とすると、中心角は円周角の2倍になるので、
，
，
，
，
は、
，
，
･･･③ (
について、
(
(
......[答]
(∵ 
)
より、
，
，
より、
(
で割ると、割り切れて、商は、
(
で割ると、割り切れて、商は、
，結局、
より、
または 
または 
とおく。
を満たすすべてのaに対し
の点となるような点
の範囲を図示せよ。
を満たすいずれかのaに対し
の点となるような点
の範囲を図示せよ。
･･･①
は、直線
から下側の
におけるaの
を考えます。
を満たすすべてのaに対し
の点となる、ということは、
においてつねに
，つまり、
の最大値が0以下になるということです。
を満たすいずれかのaに対し
の点となる、ということは、
において
となるaが少なくとも1つある、つまり、
の最小値が0以下になるということです。
の
における
，つまり、
のとき、
は
のときに最大値：
は
のときに最小値：
，つまり、
のとき、
は
のときに最小値：
が範囲の中間点
から左側にあるとき、つまり、
のとき、
は範囲の右端
において、最大値：
をとります。
が範囲の中間点
から右側にあるとき、つまり、
のとき、
は範囲の左端
において、最大値：
をとります。
，つまり、
のとき、
は
のときに最大値：
をとります。また、
は
のときに最小値：
をとります。
(1) 
を満たすすべてのaに対し
の点となるような点
の範囲は、
における
の最大値が0以下になることから、
のとき、
∴ 
のとき、
∴ 
(2) 
を満たすいずれかのaに対し
の点となるような点
の範囲は、
における
の最小値が0以下になることから、
のとき、
∴ 
のとき、
のとき、
∴ 
を満たすすべてのaに対して
の点となる点
の範囲をEとします。
を満たすすべてのaに対して
の点となる、ということは、
のときの
はEを含む、ということです。また、
のときの
もEを含む、ということです。従って、
のとき、
のとき、
は、直線
から下側でかつ直線
から下側の領域です。
内の点が、
を満たすすべてのaに対して
の点になることを調べます。
と直線
の交点は、
，
，
を代入すると、
(
)
のとき、点
は、領域
内の点です。
･･･②
･･･③
であれば、
，
においては、
より、②と③の交点はx軸から上側にあります。
･･･④
であれば、
，
においては、
より、②と④の交点はx軸から上側にあります。
内の点は、
を満たすすべてのaに対して
の点になります。つまり、
，つまり、求める領域は、
かつ
となります。
電圧Vの直流電源、自己インダクタンスLのコイル、電気容量Cのコンデンサー、抵抗値Rの抵抗、およびスイッチ
，
，
を図1のように接続した回路がある。コイル、およびコンデンサーに流れ込む電流を、それぞれ
，および
，コンデンサーにたくわえられた電気量をQとする。ただし、矢印で示された電流の向きを正とし、
が正のとき電気量Qは増加するものとする。最初、スイッチはすべて開いており、また、コンデンサーに電荷は蓄えられていない。コイル、スイッチ、および導線の抵抗、回路から発せられる電磁波によるエネルギー損失は無視できるものとする。以下の問いに答えよ。
を閉じてから
を閉じた。このとき、
が微小時間
の間に
だけ変化するとして、経路abedaについてのキルヒホッフの第2法則を表す関係式を書け。
を閉じた直後は、
は最初、
が増加するにしたがって、変化率
は小さくなり、十分に時間が経過すると、
は一定値
を閉じた時刻を
として、その後、十分に時間が経過するまでの間の電流
の変化の様子がよくわかるよう、その概略を図示せよ。
を開いたところ、スイッチが離れる瞬間、スイッチの接点で放電が起こり、火花が走った。これはなぜか。理由を30字程度で記述せよ。
を閉じてから
を閉じた。
を閉じた直後は、
は、結局
を閉じた時刻を
として、その後、十分に時間が経過するまでの間の電流
の変化の様子がよくわかるよう、その概略を図示せよ。
問7 十分に時間が経過した後、
を開いて
を閉じた。
を閉じた後の電流
，および電気量Qの変化の様子を表す最も適当な図を、右のグラフ群からそれぞれ選び、記号で答えよ。また、それぞれの場合について、図の縦軸の値Xに当てはまる電流値、および電気量を、L，C，R，Vのうちで必要な記号を用いて表せ。電流
については、値Xの導き方も記せ。
の変化によるコイルの起電力は
，コイルの電圧降下は
，抵抗Rの電圧降下は
，よって
......[答]
を閉じた直後に
です。
......[答]
を閉じた直後、
なので、
は増加しはじめます。
が増加すると、問1の結果より、
が次第に減少します。従って、充分に時間経過すると、
は一定値に近づき変化しなくなり、
となります。問1の結果より、
となります。
......[答]
問3 
の変化を図示すると右図のようになります。
を開いた直後、
が
から0まで急激に変化します。
は、絶対値が大きい負の値となり、抵抗に電流が流れず抵抗両端の電圧がゼロになると、
の端子間に大きな電圧が生じ放電が起きます。
，回路に流れる電流を
として、抵抗両端の電圧は
，
を閉じた直後は、
より、
......[答]
が流れ込むと、電気量Qが増加し、電流
が減少します。
となると、
となります。
......[答]
より抵抗両端の電圧は0で、点cの電位は、Vになります。
......[答]
を供給するので、電池はエネルギー
を供給し、ここからコンデンサーの静電エネルギーを引いて、抵抗で発生したジュール熱は、
......[答]
問6 
の変化を図示すると右図のようになります。
を開いて
を閉じると、エネルギーがコンデンサーとコイルを行ったり来たりすることにより、
は、はじめ0で次第に増加します。
のグラフは(C) ......[答]
になります。Qのグラフは(A) ......[答]
∴ 
のグラフのXは、
......[答]
......[答]
が
で割り切れる自然数nの最大値を
とおくとき、次の問いに答えよ。
を求めよ。
をmの式で表せ。
が素数ならば、mも素数であることを証明せよ。
のとき、
の倍数が8個(4，8，12，16，20，24，28，32)あります。
の倍数が4個(8，16，24，32)あります。
の倍数が2個(16，32)あります。
の倍数が1個(32)あります。
を素因数分解すると、2の個数は、
......[答]
までの整数の中に2の倍数は
個あります。
個のうち、
の倍数は
個あります。
までの整数の中に
(
)の倍数は、
個あります。
を素因数分解すると、2の個数は、
......[答]
は素数でない」を証明します。
となるものが存在します。
は素数ではありません。(証明終)
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，･･･，
，
，
，･･･
を求めよ。
，
，
である。
が1項あり、第2群には
が2項あり、第n群には
がn項あります。第8群までで、
項あるので、第36項は第8群の末尾です。第8群には
が8項あり、第36項は、
......[答]
(
(C：積分定数) ......[答]
，第2群の全ての項の積は
，第3群の全ての項の積は
，第n群の全ての項の積は
(
，
などとなっていることから、(2)の利用を考え、
とおくと、
として、
において、
は単調増加な関数で、
において、
だから、
より、
を考慮して、
で加え合わせると、
(
(
のとき
に注意)
より、
より、
(
より、Aの整数部分の桁数は2桁 ......[答]
をnを用いて表せ。
を求めよ。
･･･①
において、
，
，よって、
∴ 
(
の被積分関数について、
(
......[答]
において、
とすると、
より、
･･･② (
とすると、
と②とから、
......[答]
そこで、まず車内の空気の運動について考えてみた。自動車が一定の加速度a[
]で運動しており、車内の空気や風船は安定しているとする。車内の空気の小さな部分A(図1に示すような長さ
[m]，体積
[
]の直方体)の水平方向の運動について調べる。左右の側面の圧力を、図1のように
[Pa]，
[Pa]とする。この圧力の差
[Pa]によって、部分Aが加速度aで自動車とともに運動していることになる。イ)その運動方程式を調べ、
が
に比例することがわかった。
]，空気とヘリウムの密度をそれぞれ
[
]，
[
]とする。生じる圧力差は小さいので、これらの密度は変化しないとしてよい。また、重力加速度をg[
]とする。なお、風船の素材は薄く、その質量は無視できるものとする。
と
の関係式が、
を求めよ。
です。部分Aの断面積をSとすると、部分Aが受ける力は、左側から自動車進行方向に
，右側から自動車進行方向と逆向きに
，よって、部分Aの
，
より、
です。風船に働く力は、水平方向に、問2で求めた
による大きさ
の右向きの力、左向きで大きさ
の慣性力、張力の水平成分が大きさ
で左向き、鉛直方向に、上向きで大きさ
の
の重力、大きさ
で下向きの張力鉛直成分です。水平方向の
･･･①
･･･②
......[答]
......[答]
のことです。
の場合には、空中に浮かびませんが、
なので、物体は自動車の加速度と逆向きに力を受けます。
であれば、
なので、物体は空中に浮上し、
なので、物体は自動車の加速度と同じ向きに力を受けます。
......[答]
，
より、
であれば、θ の正方向、つまり、自動車の進行方向に風船は傾きます。
：
と
：
は点Pを共有し、Pにおいて共通の接線をもっている。ただし、aは定数とする。次の問いに答えよ。
の増減、極値、グラフの凹凸、変曲点を調べ、
の概形を描け。ただし、
は証明なしに用いてよい。
を求めよ。
，
およびx軸で囲まれる部分を、x軸のまわりに1回転してできる立体の体積Vを求めよ。
，
(
とすると、
，
，このとき、
とすると、
，
，このとき、
，変曲点は、
......[答] (
，
より、増減表は以下のようになります(
)
グラフは右図。
，
が点Pを共有することから、
･･･①
について
より、
，
，
∴ 
......[答]
......[答]
(
(C：積分定数) ......[答]
(
......[答]
，
(
)，
となるようにとる。
，
，
とおくとき、次の問いに答えよ。
，
を
，
，
，t を用いて表せ。
のとき、t の値を求めよ。
，
，
より、
......[答]
......[答]
より、
......[答]
とおくことができます。
･･･①
･･･②
･･･③
･･･④
･･･⑤
をかけて、
∴ 
(
)
(
，
より、
，
)
......[答]
において、
を満たすxを求め、
において、
，
の大小を比較せよ。
，
，
のとき、
となることを示し、
において、
を示せ。
，
と見るのだろう、ということは、すぐ気づくと思いますが、
にもなり得るのでやや面倒です。
のとき、
∴ 
(
より、
∴ 
......[答]
において
は単調減少(
，
において、
において、
において、
，
において、
において、
において、
......[答]
において
は単調増加なので、
より、
･･･①
(
)，
(
)で場合分けします。
のとき、
，
，
(
のとき、
ですが、
なので、
，
，
において、