面積Sの同じ形状を持つ導体極板AとBが間隔dで向かい合わせに配置された平行板コンデンサーを、真空中に置く。このコンデンサーの極板間に、導体極板と同じ形状を持つ面積Sの金属板Pを、極板Aから距離xを隔てて極板に対して平行に置く。真空の誘電率を
として以下の問いに答えよ。ただし、極板端面および金属板端面における電場の乱れはなく、電気力線は極板間に限られるものとする。導線、極板、金属板の抵抗、重力は無視する。また金属板の厚さも無視する。
[A] 図1のように、極板AとBは、スイッチSWを介して接続され、極板Aは接地されている。(a) スイッチSWが開いているとき、極板A，B間の電気容量を求めよ。
(b) スイッチSWを閉じた後、金属板Pを電気量Qの正電荷で帯電させる。この電荷によって極板AとBに誘導される電気量を、それぞれ求めよ。
(c) 問(b)において、コンデンサーに蓄えられている静電エネルギーを求めよ。
(d) 問(b)の状態から、金属板Pを電気量Qの正電荷で帯電させたまま、金属板の位置をxから
まで微小変位させる。この変位による、コンデンサーに蓄えられている静電エネルギーの変化量を求めよ。ただし、x，dに比べて
は十分小さく、
は無視できるものとする。微小変位によりエネルギーが変化するということは、金属板Pは力を受けていることを意味する。微小変位の間は金属板Pに働く力の大きさは一定であると見なして、この力を求めよ。ただし、極板AからBに向かう向きを力の正の向きとする。
まで微小変位させる。この変位による、コンデンサーに蓄えられている静電エネルギーの変化量を求めよ。ただし、x，dに比べては十分小さく、は無視できるものとする。微小変位によりエネルギーが変化するということは、金属板Pは力を受けていることを意味する。微小変位の間は金属板Pに働く力の大きさは一定であると見なして、この力を求めよ。ただし、極板AからBに向かう向きを力の正の向きとする。
[B] 次に、質量mの金属板Pを電気量Qの正電荷で帯電させたまま、図2のように自然長
，ばね定数kの2つの同じ絶縁体のばねに接続する。ばねの他端は、固定された極板AとBにそれぞれつながれている。この金属板は、極板A，Bと平行を保ったまま、極板に垂直な方向にのみ動くことができる。極板AとBは、電流計を介して接続され、極板Aは接地されている。ばねを接続したことによる電気容量の変化、電流計の抵抗、金属板の振動による電磁波の発生は無視する。(e) 金属板Pの位置を
に移動させてから放す。このとき、金属板Pが単振動するために必要となるQに求められる条件をk，
，S，dを用いて表せ。また、この条件を満たすとき、単振動の角振動数を求めよ。
に移動させてから放す。このとき、金属板Pが単振動するために必要となるQに求められる条件をk，，S，dを用いて表せ。また、この条件を満たすとき、単振動の角振動数を求めよ。(f) 問(e)の条件で、金属板Pが単振動しているとき、電流計には振動電流が観測される。この電流の最大値
を求めよ。導線を流れる電流Iは、微小時間
の間に導線の断面を
の電荷が通過するとき、
と定義される。
を求めよ。導線を流れる電流Iは、微小時間の間に導線の断面をの電荷が通過するとき、と定義される。解答 コンデンサーとばね振り子の融合問題です。(f)では、問題文に「
と定義される」と書かれている上、導出過程も要求されているので、
とはやりにくいところです。[A](a) AP間の静電容量は
，BP間の静電容量は
，BP間の静電容量は
，
は直列で、
とすると、
∴ 
......[答]
......[答](b) SWを閉じると、
，
は並列になります。合成容量Cは、
，は並列になります。合成容量Cは、
AP間(BP間も同じです)の電圧Vは、
極板Aに誘導される電気量は、
......[答]
極板Bに誘導される電気量は、
......[答]
......[答]極板Bに誘導される電気量は、
......[答](c) 金属板Pが極板Aから距離xを隔てて置かれているとき、コンデンサーに蓄えられる静電エネルギー
は、
は、
......[答] (コンデンサーの過渡現象を参照)(d) 微小変位によってエネルギーの変化を生じさせる、金属板Pが受ける力Fとは、静電気力のことです。
金属板Pの位置をxから
まで変化させたときの静電エネルギーの変化
は、
まで変化させたときの静電エネルギーの変化は、
これは、金属板Pが静電気力に逆らう外力
から受けた仕事に等しく、この力が一定だったとして、
から受けた仕事に等しく、この力が一定だったとして、
静電気力は、
......[答]
......[答][B](e) 金属板Pが極板Aからxの距離にあるとき、金属板Pは、静電気力Fとばねの弾性力を受けます。
左右のばねの自然長をLとすると、極板Aから極板Bに向かう向きを正の向きとして、左のばねの弾性力は正の向きに
，右のばねの弾性力は負の向きに
で、合わせて、
，右のばねの弾性力は負の向きにで、合わせて、
金属板Pが受ける静電気力Fとばねの弾性力の合力は、(d)の結果を用いて、
金属板Pが単振動する条件は、この合力が復元力となることで、
......[答]
，角振動数
の
......[答](f) 時刻tにおける金属板Pと極板Aとの距離は、
において
であることから、
においてであることから、
極板Bに蓄えられている電気量qは、(b)より、
･･･①時刻
における電気量
は、
における電気量は、
(ここで、
，
として近似)
･･･②②－①より、
∴ 
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です。
......[答]
だったので、
......[答]
，角速度
の
です。x軸正方向に等速度運動するときの速さも
です。落下地点をP，Pからx軸に下ろした垂線をPHとします。時間
進むので、落下地点とx軸との距離PHは、
......[答]
......[答]
の間のレールの回転角
は、角速度
で回っているので、
......[答]
)があり、円弧を含む面と床が垂直になるよう置かれている。レールの中央Bは常に床に固定されており、Bを通る鉛直線OBを軸としてレールは回転することができる。大きさの無視できる物体(質量M)は、レール上を運動するとき、レールに束縛されながらなめらかに運動し、両端(A，C)でのみレールから離れることができる。
)の位置を運動しているとき、物体の速さ、レールから受ける垂直抗力を求めよ。
)であるとき、この運動が実現するためのmの条件を求めよ。
(c) ある角速度ω でレールが回転し、角θ (
)の位置で物体が等速円運動している場合について考える。この運動を、回転しているレール上の観測者から見ると、物体に働く力は図3のようにつり合い、物体は静止して見える。この観測者から見た物体に働く力(図3：ア，イ，ウ)の名称を書け。また、この運動は角速度ω が
の条件を満たすとき実現する。このとき
，
を求めよ。
(
)に固定する。このとき、回転しているレール上の観測者から見ると、角
の位置で物体に働く力はつり合い、物体は静止して見える。次に、物体をつり合いの位置から少し動かし離したところ、物体はレール上を運動し始めた。円弧型レールを含む平面内で物体に働く力は、図3の3種類である。物体が角θ (
)の位置で運動しているとき、物体に働くレールに沿った方向の力の大きさを、重力加速度gを用いずに表せ。
からの変位
(
)が十分に小さい場合について考える。このとき、物体に働くレールに沿った方向の力は、つり合いの位置からの距離に比例し、その方向は常につり合いの位置を向いているため、物体は単振動をする。この単振動の周期を重力加速度gを用いずに表せ。
が十分小さいとき、
の項は無視することができ、必要なら次の式を用いよ。
(f) 問(c)の状態から、レールの角速度ω をゆっくりと増加させた。この過程において角速度の変化は十分小さいため、短い時間における物体の運動は角速度ω の等速円運動をみなすことができる。角速度が
に達したとき、物体はレールの端Aから離れた。このとき、レールを真上から見ると、床面で定義されているx軸と、図4のように重なって見えた。その後、レールから離れた物体はしばらくして床に落下し、レールは角速度
を保ったまま回転した。物体が落下したとき、物体とレールを真上から見ると、図5のように見えた。
(
)をなす位置に時間
である。このことから、回転している座標系において物体が運動しているとき、レールを含む面から離れる方向にも見かけの力は働いていることがわかる。
です。物体Mのエネルギーは、位置エネルギー
のみです。
で、物体Mの速さをvとして、物体Mは運動エネルギー
と位置エネルギー
を持っています。
......[答] ･･･①
......[答]
として、
･･･②
，uとすると、
･･･③
のみです。物体mのCでの速さを
として、物体mはCにおいて運動エネルギー
と位置エネルギー
を持っています。
で、
......[答]
，物体の回転半径は
で、物体に働く遠心力は
，これらの
，水平方向：
，
･･･④
より
，
，
......[答]
となります。これより、
です。
，遠心力の接線方向成分は接線に沿って上向きに
，接線方向に働く力の大きさは、
......[答]
(
を無視)
，物体の加速度をaとして、
の
......[答]
複スリットによる光の干渉を利用して気体の屈折率を測定する実験について考えよう。図3のように、透明な二つの密閉容器
，
(長さd)を、平面A上にある二つのスリット
，
(スリット間隔a)の直前に置き、Aの後方にはスクリーンBを配置する。A，Bは互いに平行であり、その間の距離をLとする。スクリーンB上の座標軸xを、Oを原点として図3のようにとる。原点Oは
，
から等距離にある。いま、平面波と見なせる単色光(波長λ)を、密閉容器を通してスリットに垂直に照射すると、スクリーンB上には多数の干渉縞が現れる。密閉容器の壁の厚さは無視して、以下の設問に答えよ。
，
両方の内部に真空にした場合、光源から二つのスリット
，
までの光路長は等しいため、単色光は
，
において同位相である。
とPの距離を
，
とPの距離を
としたとき、距離の差
を、a，
，Xを用いて表せ。ただし、Lはaや
よりも十分に大きいものとする。なお、
が1よりも十分小さければ、
と近似できることを利用してよい。
の容器内を真空に保ったまま、
の容器内に気体をゆっくりと入れはじめた。一般に絶対温度T，圧力pの気体の屈折率と真空の屈折率との差は、その気体の数密度(単位体積あたりの気体分子の数)ρに比例する。
の容器内に気体を入れて圧力を上げると、スクリーンB上の干渉縞は、x軸の正方向、負方向のどちらに移動するか。理由をつけて答えよ。
の容器内を真空に保ったまま、
の容器を絶対温度T，1気圧(101.3kPa)の気体で満たした。このときの気体の屈折率をnとする。
の容器が真空状態から絶対温度T，1気圧の気体で満たされるまでに、それぞれの明線はスクリーンB上を距離
だけ移動した。気体の屈折率nを、
を用いて表せ。
は
の正確さで測定でき、(2)で測定したNは1本の正確さで数えられるとするとき、気体の屈折率は(1)の方法、(2)の方法のどちらが精度よく求められると考えられるか。理由を付けて答えよ。ただし、
，
，
，
とすること。
は1よりも十分小さいので、問題文の近似を利用して、
は1よりも十分小さいので、
･･･①
......[答]
が波長の整数倍になることで、①より、
･･･② (
......[答]
として、
(Rは気体定数)
モル存在するとき、アボガドロ数を
として、気体分子は
個あり、数密度ρは、
(
......[答]
内経路の光路長
と、
内経路の光路長dと差は、
･･･③
側が
だけ増すので、
･･･④
より、圧力pを増大させるとXも増大し、干渉縞は上方向(x軸正方向)にずれます。
に圧力p，絶対温度Tの気体を入れたときの明線位置は、
で与えられ、圧力pを上げるとXは増大し、干渉縞はx軸正方向に移動する。 ......[答]
にありました。
を絶対温度T，1気圧(
)の気体で満たしたとき、明線位置がXから
に移動したとすると、③，④より、
......[答] ･･･⑤
に気体を入れた場合でも、明線間隔は
です。
)にできていた明線(
)が、x軸正方向にN本分だけずれた位置
に来たということです。④において、
とし、(1)と同様に③を用いると、
......[答] ･･･⑥
が真の値から
だけずれて、nが
だけずれたとすると、
だけずれたとすると、
図2-1のように、xy平面上に置かれた縦横の長さがともに
の回路を一定の速さvでx軸正方向に動かす。回路の左下の点Pと右下の点Qは常にx軸上にあり、点Qの座標を
とする。磁束密度Bの一様な磁場が、
の領域にのみ紙面に垂直にかけられている。導線の太さ、抵抗およびコンデンサーの素子の大きさ、導線の抵抗および回路を流れる電流が作る磁場の影響は無視できるものとして、以下の設問に答えよ。
のときに回路を流れる電流の大きさを求めよ。
のときに回路が磁場から受ける力のx成分を求めよ。
のときに回路が磁場から受ける力のx成分を求めよ。
のときにPQ間の導線を流れる電流の大きさを求めよ。
のときにPQ間の抵抗を流れる電流の大きさを求めよ。
のときに導線を流れる電流の大きさを求めよ。
のときに回路が磁場から受ける力のx成分を求めよ。
のとき、回路中で磁場の中に侵入している部分の面積Sは、
(
......[答]
のとき、回路の内、PQの部分を流れる電流に働く力の向きは、
は、
......[答]
のとき、回路中で磁場の中に侵入している部分の面積Sは、
(
)
，この部分が磁場から受ける力はx軸正方向で、回路右側の辺QRは全て磁場中にあり、この部分が磁場から受ける力はx軸負方向。
は、
......[答]
のとき、回路PQRS中で磁場の中に侵入している部分の面積は
なので、Ⅰ(1)で検討したように、この部分に発生する起電力は
(向きは回路に時計回りに電流を流す方向)です。
は
で、この部分を貫く磁束
は
，回路TRSUに生じる起電力
は、
(向きは回路に時計回りに電流を流す方向。
)
，辺TUをT→Uの向きに流れる電流を
とします。辺RSをS→Rの向きに流れる電流は
です。
･･･①
･･･②
，これを②に代入して、
，
......[答]
･･･③
･･･④
，これを②に代入して、
，
......[答]
のとき、Ⅰ(1)より、回路に生じる起電力は
，
......[答]
のとき、Ⅰ(3)より、回路に生じる起電力は
，コンデンサーに蓄えられる電荷Qは、
は、
......[答]
を求めよ。
で滑らせたところ、小球Bは壁で跳ね返り、水平面Lからの高さがxの斜面上の点で小球Aと衝突した。その後、小球Aは斜面を上がって水平面H上の最初の位置を速さ
で西向きに通過し、一方、小球Bは壁と斜面の間を往復運動した。
，小球Bの速さを
とする。速さの比
を求めよ。
，
，h，gを用いて表せ。
の地点と壁との間を東西方向に往復運動しているとき、図1-3のように小球Bをねらって質量
の小球Cを水平面H上の点から発射した。水平面L上で小球Cはうまく小球Bに命中し、その後小球Bが壁で跳ね返ってから、小球Cと小球Bが両方とも水平面Hまで上がってきた。2つの小球は同じ速さ
で距離を
に保ったまま水平面H上を同じ向きに進んだ。その方向は西から北に向けての角度をαとすると
であった。
を求めよ。
を求めよ。
･･･①
∴ 
......[答]
を①に代入して、
∴ 
......[答]
，
とします。水平面H上と衝突直前とで
･･･②
......[答]
，
とします。上る方向を正として、斜面に沿う方向について
･･･③
∴ 
，
とⅡ(1)の結果
を用いて、
，
･･･④
∴ 
......[答]
とします。小球Cとの衝突後、壁に衝突した後と水平面H上との、小球Bの
∴ 
，
......[答]
です。
です。よって、
......[答]
......[答]
なので、
......[答]
，
，･･･，
とする。さらに、
，
(
)
，
，･･･，
を定める。
を求めよ。
，
(
) ･･･(＊)
･･･(＊＊)
のとき、
となるのは、
より、
，
なので、
のときだけです。
･･･①
のときの状況から
のときの状況を考えることになります。
とした不等式と、
とした不等式を考え、
の範囲と
の範囲を調べることになります。そこで、
の範囲について、手がかりを得ておくことにします。
はさいころの目なので1から6のいずれかです。(＊)より、
はさいころの目よりも僅かに大きな数で、
となりそうです。
であることが予想し、これを数学的帰納法で示しておくことにします。
のとき、
です。
のとき、
と仮定すると、
，
，
より、
です。
･･･② です。
のとき、
より、
が条件(＊)を満たすことはありません。つまり、
を満たすのは、
のときか、
のときだけです。
回投げた状況を考えます。
です。このとき、
，
，
なので、
･･･③
(確率
)のとき、③は、
(確率
)のとき、③は、
です。このとき、
または
の範囲が2つに分かれているので、別々に考えます。
のとき、②を考慮して、
，よって、
･･･⑥
(確率
)のとき、⑥は、
より、条件(＊＊)は必ず満たされます。 ･･･⑦
(確率
)のとき、⑥は、
のとき、②を考慮して、
，よって、
･･･⑧
(確率
)のとき、⑧は、
(確率
)のとき、⑧は、
，⑦が起こる確率は、
となる確率を
として
です。⑨が起こる確率は、
となる確率を
として
です。
回投げたとき、
となる場合は、④，⑤，⑦，⑨のいずれかに限られます。従って、その確率
は、
･･･⑩
は、
または
となる事象の確率ですが、この事象は
となる事象の余事象です。よって、
･･･⑪
として、
･･･⑫ ∴ 
は、①より、初項：
，公比：
の等比数列です。
......[答]
である三角形を作ることができるならば、nは3の倍数である。
かつ
ならば、
である。
なので、内角の1つが
である三角形を作ることができます。
である三角形はできません。
，
，
です。隣接2頂点と1つ離れた頂点とで三角形を作ると、内角は、
，
，
です。内角の1つが
である三角形はできません。
である三角形を作ることができます。
である三角形はできません。
である三角形を作ることができます。
角形では、ある頂点から
個の頂点をおいて次の頂点を選び、そこから
個の頂点をおいて次の頂点を選んで三角形を作れば(この3頂点で正
角形の外接円の円周を3つの等しい円弧に分割できます)正三角形になるので、内角の1つが
である三角形を作ることができます。
になるということは、この内角を見込む外接円の円弧は円周の
になる、ということです。
です。kを自然数として、
とすると
でnが3の倍数となって矛盾するので、円周の
をk個集めても円周の
になることはありません。つまり、正n角形のどの2頂点を選んでも、この2頂点を両端とする円弧は円周の
にはなり得ないので、内角の1つが
である正三角形はできません。
，
は、弦ABの上に立つ円周角として考えることができます。円の半径が大きくなると弦ABの上に立つ円周角は小さくなります。
，
を考え、
の半径が
の半径よりも大きいとします。また、2円は異なる2点A，Bで交わるものとします。
であるのに、
かつ
であるような2点C，Dが見つかれば、題意は否定されます。
なので、Cが
上、Dが
上に来るような状況を考えます。
となるようにとり、ADを半径とする円
を描きます。Bは円
の内側に来ます。ここで、Bを中心として、BDを半径とする円
を描きます。Bは円
の内側に来ます。
はBを通るので、円
上の点で、円
の内側にあって、かつ、円
の内側にある点が存在します。この点をCとすれば、”
かつ
”を満たします。ですが、Cは
上の点、Dは
上の点なので
です。
が無理数であることを証明せよ。
は有理数を係数とするxの多項式で、
を満たしているとする。このとき
は
で割り切れることを証明せよ。
とおけると仮定します。
とおけます。よって、
∴ 
は無理数です。 (証明終)
とおくと、
を
で割ったときの商を
，余りを
とおきます。
は有理数を係数とするxの多項式なので、
も有理数を係数とする多項式であり、a，b，cは有理数です。
とすると、
(
より、
･･･①
･･･②
･･･③
と仮定すると、
③より、
だとすると、
，
となり、
が有理数となって矛盾します。よって、
，従って①も考慮して、
です。よって、
を
で割った余りは0で、
は
で割り切れます。 (証明終)
を満たしながら動くとき
とおくと、
∴ 
･･･① (
(複号同順)
，
より、
のとり得る値の範囲は、
......[答]
(
とおきます)，
･･･① (
，
，
として、
，
，
とおくことができます。
より、
かつ 
かつ 
または 
” かつ ”
または 
”
のとき、
，
，
かつ 
のとき、
となり、OとQが一致するので題意に反します。
かつ 
のとき、
となり、OとRが一致するので題意に反します。
を求めよ。
の値を求めよ。
，
，
に場合分けして考えます。
のとき、
，つまり、
となるようなnについて、
とすると、
は
において連続な関数なので、
のとき、
(
の場合に含まれます)
のとき、
，
とすると、
......[答]
(
とおくと、
，x：
のとき、θ：
(
......[答]
，A
，B
，C
をとる。四面体PABCの
をみたす部分の体積を求めよ。
をみたす部分をTとします。
で切ったときの断面を考えます。
で切ると、断面は右上図の正三角形DEFとなり、図形Tの断面は黄色着色部となります。この面積
は、対称性を考え、z軸と平面
との交点を
として、正三角形DEFの面積から、扇形
の面積と三角形
の面積の和の3倍を引いたものになります。
･･･①
の境界線で
として
となるので、図形Tが存在するzの範囲の上端は①で
として、
，よって、図形Tは、
の部分に存在します。
として、
からEFに下ろした垂線の足をJとすると、
，
は、
とすると(θ のとり方は、後でkの積分をθ の積分に置換積分することを考慮して選ぶようにします。本問では、ここが重要なポイントです)、三角形
の面積
は、
より、
(
の面積
は、
より、
(
より、
･･･②
(
のとき、θ：
(
......[答]
で定まる1次変換をf とする。原点O
と異なる任意の2点P，Qに対して
が成り立つ。ただし、
，
はそれぞれP，Qのf による像を表す。
を示せ。
が点
に移るとき、Aを求めよ。
というのは、原点以外の任意の点Pについて、
が一定だということです。
･･･①
(
)，OPとx軸とがなす角をθ とすると、Pの座標は
と表せます。
(
の座標は、
，
，
とおくと、
(
，
･･･②
でなければ、
より、
(
となることはありません。
、即ち、
･･･③
･･･④ が成り立ちます。
(
)として、
，
とおくことができます。④より、A
，B
として、
です(
，
(複号同順)となります。よって、
(複号同順) ･･･⑤
･･･⑥，
･･･⑦
(複号同順)
∴ 
(複号同順) ......[答]
を
，
(
)
および
を求めよ。
を求めよ。
とおくとき、
を示せ。
の形を予測して、(2)で予測が正しいことを数学的帰納法で示す、というありきたりの問題ですが、数学的帰納法の書き方に少々工夫が必要です。(3)でも、区分求積法に持ち込むのに工夫が必要です。
として、
......[答]
として、
......[答]
のとき、
より、成り立ちます。
のとき、
として、
(
のときにも成り立ちます。
において成り立ちます。
......[答]
の中で、
，･･･，
も使うので、「
のとき予測が成り立つ」と仮定してはいけないことに注意してください。
のときに、
と
の違いによる差が積み上がって結果に違いが出るかもしれないからです。そこで、はさみうちにすることを考えます。
とすると、
(
となります。
において、
であっても、
，
が有限確定値であれば、
，
)だとして、
において
が有限確定値であれば、
より、
，
の場合なども
が有限確定値であれば同様です。
のグラフをC，直線
をlとする。
とする。
が最小となるaの値を求めよ。
をaの関数とするのでは複雑になるので、かなり面倒です。
･･･①
･･･②
･･･③
以外の解をもちます。つまり、
･･･④
を重解とすることがない、または、相異なる2実数解をもちます。
が
を解にもつとき、
より
ですが、このとき、
も解になるので、Cとlは原点以外の共有点をもちます。
のとき、3次方程式③は、
を重解にもつので、Cとlは、
で接し、
で交わります。 ･･･⑤
(
......[答]
のとき、④は、重解
をもちます。 ･･･⑥
のとき、2次方程式④の2実数解をα，β として、
，
，
･･･⑦
のとき、
より、④は正負2解をもちます。 (ii) 
のとき、
より
と合わせて、④は正の解2解をもちます。
のとき、④の正の解をβ として、
においてlがCの上に来るので、Cとlによって囲まれる部分の
より
(⑤に注意)なので、
は、β の
をβ の関数と考えることにします。
(
) (
はβ の増加関数です。
においては、
･･･⑧
のとき、④の正の解2解をα，β (
)とします。⑦が成り立ちます。
は、
において正でCがlの上にあり、
において負でlがCの上にあるので、
として(⑥に注意)、
より、
(
で重解の場合は、
)なので、
をβ の関数として考えます。この場合も、
は、β の増加関数で、β もaの増加関数です。また、
のとき、
です。
とすると、
より、増減表は、
のとき、
最小です。
と⑧とから、
は、
のとき最小で、このとき、
より、⑦を用いて、
が最小となるaは、
......[答]
として、
の桁数を求めよ。
で表す。10000以下の正の整数nで
がnの約数となるものは何個あるか。
も入試でよく見かける題材です。
を加えて、
の桁数は、48 ......[答]
として、実験してみます。
がnの約数であること、×は、約数でないことを表します。
の範囲の中に、
がnの約数となるものが、
の3個あることがわかります。
の範囲内には、
(
)の範囲に各3個ずつ、さらに、
のとき、
が
の約数になるので、
個 ......[答]
と
との内積を求めよ。
の確率で出るさいころを同時に3個投げるとき、目の積が10の倍数になる確率を求めよ。
･･･①
，
より、
......[答]
(確率
)が少なくとも1個、かつ、偶数の目
，
，
どれか(確率
)が少なくとも1個出る場合です。
，
，(
，
，
のどれか)が出る場合、
，
，
のどれか)になるかが3通りあり、確率は、
，(
，
，
のどれか)，(
，
のどちらか)が出る場合、
通りあり、確率は、
，(
，
，
のどれか)， (
，
，
のどれか)が出る場合、
になるかが3通りあり、確率は、
......[答]
行列
に対して
，
を満たす実数とする。行列A，B，C，Dを次で定める。
，
，
，
とする。
を求めよ。(ただし、最大値をとるxを求める必要はない。)
は対角和と呼ばれ、行列Pの対角成分の和になります。2次正方行列では、
成分と
成分の和になります。
(
･･･①
，
，
とすることにより、
(
成分は、
成分は、
(
なので、
のとき、
は、
のときに最大値：
をとります。
のとき、
なので
です。
のとき、
は、
のときに最大値：
をとります。
......[答]
，
とすることにより、
成分は、
成分は、
･･･②
･･･③
(
)とおくと、
より、
より
，また、
，
より、
において、
において、
が次の条件(D)を満たすとする。
，
，
，
は、面積1の平行四辺形の4つの頂点をなす。
とおく。次の問いに答えよ。
と
も条件(D)を満たすことを示せ。
ならば、AにB，
のどちらかを左から次々にかけることにより、4個の行列
，
，
，
のどれかにできることを示せ。
とする。
，
の少なくともどちらか一方は、それを
とすると、
(
･･･①
と仮定すると、
，
，
となり、
，
は1次独立で、4点
，
，
，
は平行四辺形の4つの頂点となります。平行四辺形の面積は、
と仮定すると、
，
となり、
，
は1次独立で、4点
，
，
，
は平行四辺形の4つの頂点となります。平行四辺形の面積は、
と
を求めておきます。
と予測できます。
(
と予測できます。
のとき、
，
であって、
のとき
，
のとき
，であれば、
となります。
を
，
，
，
のどれかにできます。
のとき
，
のとき
，であれば、
となり、
を
，
，
，
のどれかにできます。
，
より、
，
より、
，
の少なくともどちらか一方は、それを
とすると、