座標空間内で、O
，A
，B
，C
，D
，E
，F
，G
を頂点に持つ立方体を考える。この立方体を対角線OFを軸にして回転して得られる回転体の体積を求めよ。解答 同一趣旨の問題が慶大理工98年[A3]にも出題されています。
端点が回転軸上にある線分を回転させると円錐面になり、回転軸と交点をもたない直線を回転させると双曲面になることに注意してください。
対角線OFに関して、OAとOBとOCの3辺，また、FB，FE，FGの3辺は回転対称な位置関係にあります。また、ABとAEは△OAFを含む平面に関して対称、AEとDEは△OEFを含む平面に関して対称、DEとDGは△ODFを含む平面に関して対称、DGとCGは△OGFを含む平面に関して対称、CGとCBは△OCFを含む平面に関して対称、CBとABは△OBFを含む平面に関して対称です。
対称性から、回転体をOA，AB，BFを対角線OFを軸にして回転したものとして考えることができます。
OA，BFを回転させると円錐ができ、ABを回転させると双曲面(の一部)ができ、この3つの部分に分けて体積を考えます。
対角線OF上の点では、x座標、y座標、z座標が等しくなります。以下、対角線OFに垂直な平面と対角線OFとの交点をHとします。Hの座標は
(
)と表せます。(i) 対角線OFに垂直な平面が頂点Aを通るとき、
より、
より、
(
∴ 
このとき、
このとき、
辺OAを対角線OFを軸にして回転して得られる回転体は、半径
の円を底面とし、高さが
の円錐で、その体積
は、
の円を底面とし、高さがの円錐で、その体積は、
(ii) 辺AB上に点P
(
)をとり、対角線OFに垂直な平面が点Pを通るとき、
より、
()をとり、対角線OFに垂直な平面が点Pを通るとき、より、
∴ 
，
より、
このとき、回転体をこの平面で切ったときにできる断面の円の半径は、
，より、このとき、回転体をこの平面で切ったときにできる断面の円の半径は、
のとき
は、断面の円の面積を回転軸に沿って積分すると(
，
：
のときt：
として、
(iii) 辺BFを回転して得られる円錐の体積も(i)と同様に、
求める体積は、
......[答]TOPに戻る CFV21 メイン・ページ 考察のぺージ
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(
)とx軸とで囲まれた図形の面積をSとし、曲線
(
)，曲線
(
)およびx軸で囲まれた図形の面積をTとする。このときS：T = 3：1となるようなaの値を求めよ。
(
)とx軸とで囲まれた図形(右図黄色着色部)の面積Sは、
･･･① (
と曲線
の共有点は、
，
を連立すると、
は解にならないので、
においては、
で割ると、
の範囲にただ1つ存在するので、それをaとすると、
(
，
･･･②
(
)，曲線
(
)およびx軸で囲まれた図形(右図斜線部)の面積Tは、
，
をaを使って表します。
･･･③
･･･④
......[答] (④を満たしています)
は、すべての正の整数nに対して
を満たしているとする。このとき、すべてのnに対して
であることを示せ。
であることを数学的帰納法で示します。
のとき、
より成立します。
のとき
，つまり、
と仮定します。
のとき、
のときにも
が成立します。
となります。
，B
，P
をとり、△APBを考える。
の最大値を求めよ。
)として、
(直線の方程式を参照)
)として、
(
)より
です。
より、
，つまり、
(
)のときです。
は
においてq の単調増加な関数なので、
のとき、
の最大値は
......[答]
と
，
と
，
と
はそれぞれ垂直であるとする。このとき、頂点A，頂点Bおよび辺CDの中点Mの3点を通る平面は辺CDと直交することを示せ。
･･･① (
，
と
が垂直であることを示すことです。
･･･②
･･･③
･･･④
･･･⑤
･･･⑥
･･･⑦
･･･⑧
･･･⑨
通り。
は偶数なので、bは奇数です。
を満たす奇数は、
のとき、
通り。
通り。
のとき、
のとき、
通り。
......[答]
(i)，(ii)，(iii)をまとめると、命題Cが成立するのは、
を除く
，または、
かつ 
(
より
を除く)，または、
かつ 
かつ 
であって
，
を除く部分
と、Aと異なる動点
をとる。次の条件
ならば 
ならば 
”の意味するところがわかりにくいだけでなく、論理的に入り組んでいる上に、分母=0の考慮も必要で、難路を紆余曲折させられます。
，
をとって調べてみます。
，
，
，
，
，また、PはAと異なるので
であり、Qは、AからPに向けた半直線上の点なので、
は0になることを含めて
と同符号です。
ならば 
･･･①
，
としてみると、
なので
であって、
ならば 
ならば 
のときに、
の分母が0になってしまうので、
は命題Cを満たさず、
のとき
は領域D内の点ではありません。
より、①で
とすることはできません。
，
としてみると、
なので
であって、
ならば 
ならば 
⇔ 
⇔ 
ならば 
のとき
も領域D内の点ではありません。
，
としてみると、
なので
であって、
ならば 
ならば 
⇔ 
⇔ 
ならば 
は命題Cを満たし、
のとき
は領域D内の点です。
から得られるQの座標に関する不等式の範囲を
，必要条件：
から得られるQの座標に関する不等式の範囲を
として、
について、
が
に含まれていれば命題Cが成立するので「
は領域D内の点だ」と判断し、
が
に含まれていなければ命題Cが成立しないので「
は領域D内の点ではない」と判断しています。
について、十分条件から得られる範囲が、必要条件から得られる範囲に含まれるような
を調べれば、「命題Cが成立する」という条件を満たすPからなる領域Dを求められるはずです。
，
，Qは半直線AP上の点なので
です。また、半直線APがx軸正方向となす角をq (
)とします。
，Qの座標は
となります。
，
なので、
，
，つまり、
より
，従って、
かつ 
より、
･･･②
より、
，
を用いて、
･･･③
･･･④
のとき、点PはAを中心とする半径aの円周上の点ですが、④より、
より、
であれば、
･･･⑤
かつ
(
)のとき、Pは
に来ます。よって、領域Dから
は除かれます。
を除いて、“② ならば ⑤”は成立し、命題Cが成立します。
のとき、点PはAを中心とする半径aの円周より内側の点ですが、④より、
より、
なので、
･･･⑥
，
より、
･･･⑦
に注意すると、
⇔ “
かつ 
”より
は除かれます。
かつ
のとき、
より、
で、P
は、x軸上の
の部分を動きます。この部分は領域Dから除かれるべきですが、そもそも⑦に含まれていません。
を除く領域⑦内に存在するPについて、“② ならば ⑥”が成立し、命題Cが成立します。
のとき、点PはAを中心とする半径aの円周より外側の点ですが、④より、
･･･⑧
について、
のとき、⑧の中カッコ内は正で、不等式⑧を満たすkは、
･･･⑤
のとき、
より、不等式⑧を満たすkは、
･･･⑨
となるkは⑨を満たさず、“② ならば ⑨”は成立しません。
です。
かつ
のとき、
より、
で、P
は、x軸上の
の部分を動きますが、この部分は
かつ
の部分には含まれていません。
において、“② ならば ⑤”が成立し、命題Cが成立します。
とする。
を求めよ。
をkで表せ。
通り。
通りです。
は、
......[答]
枚の異なるカードから2枚を選ぶ選び方で、
通り。
までの数字のうち3の倍数は、3，6，･･･，
です。
の
通り、
の
通り、
のとき、大きい方は、
と
の2通り、
通り
は、
......[答]
，
，
，･･･ とする。ここに
はガウス記号で、実数uに対し、
はu以下の最大の整数を表す。
の各々について(＊)の解があるかどうかを判定し、ある場合は解xを求めよ。
，
を求めよ。
を求めよ。
の形を断定する際の論述を見ようとしていると思われます。
⇔ 
⇔ 
⇔ 
をかけて、
を引き、
･･･①
とすると、
のみです。このうち
だけが右側の不等号を満たします。よって、(＊)の解が存在し、解は
......[答]
とすると、
のみで、両方とも右側の不等号を満たしません。よって、(＊)の解は存在しません。 ......[答]
とすると、
のみで、このうち
だけが右側の不等号を満たします。よって、(＊)の解が存在し、解は
......[答]
としてしまうのは早計です。(1)では、
が解になっている場合を調べていますが、xは「正の整数」なので、
が解になる場合があるかも知れません。
が解になるとき、①で
として、aは、
のときに、
が(＊)の解になります。
が解になるとき、①で
として、aは、
のときに、
が(＊)の解になります。
が残りますが、このとき①は、
のみですが、これは右側の不等号を満たさず、
のときには、(＊)の解は存在しません。
が解になるとき、①で
として、aは、
が解になるとき、①で
として、aは、
のときに、(＊)を満たす正整数xは存在せず、(＊)は解を持ちません。
，
，
，･･････ ･･･②
，
......[答]
としたときに得られる不等式、
，
，
，
，･･･
が漏れるからです。漏れる正整数が各不等式の右辺に出てくる整数値になっていることに注意すると、①の右辺
のxに1から順に入れて得られる整数値をaがとるとき、つまり、nを正整数として、
のときに、(＊)の解が存在しないことが、予測できます。
として、
のとき①は、
，
より、左側の不等号を満たす正の整数xは、
ですが、この全てが右側の不等号を満たしません。よって、
のとき、(＊)の解は存在しません。
が解になるとき、①で
として、
･･･③
のとき、
は①を満たし、(＊)は解をもちます。
と
の間には、正整数は
しかないので、正整数aが
となるときには、(＊)は解をもちます。
(
)
(
......[答]
とする。
において、
は唯一の解を持つことを示せ。
とする。(1)の唯一の解をaとするとき、Jを
の式で表せ。
の大小を比較せよ。
，
より、
，よって、
，
とすると、
･･･①
(
とすると、
においては、
より、
，
において、方程式
，即ち、
は、(
の範囲に)唯一の解をもちます。
の
における解aは、
，即ち、①より、
(
) ･･･②
においては、
より
，
においては、
より
，
･･･③
(
：積分定数，
(
：積分定数)
(∵ ②)
......[答]
と
の大小を比べればよいのですが、2で割って、
と
の大小を比べることになります。②より
，
なので、
なのか
なのかがわかれば、Jと
の大小を判断できます。
の増減を利用すると、
において
，
において
なので、
であれば
であり、
であれば
です。
では、
が困ります。③より、
の正負と
の正負が逆になるので、
を調べてみます。
(∵ 
，
)
，
より、(1)の
の増減表から
において
は
......[答]
，
，
であるとする。また、3点O，A，Bを含む平面をLとする。
を
と
を用いて表せ。
をみたす実数tに対して、線分OA，OB各々をt：
に内分する点をそれぞれ
，
とおく。2点
，
を通り、平面Lに垂直な平面をMとするとき、平面Mによる四面体OABCの切り口の面積
を求めよ。
の範囲を動くとき、
の最大値を求めよ。
，
，
(
，
，よって、
(
･･･①
･･･②
，
......[答]
，
ですが、直線
上の点をKとして(
･･･③
上に来るとき、(1)の結果と③の係数を比較して、
，
，
･･･④
のときの点
，点
を特に点P，点Qと書くことにすると、Hは線分PQ上の点、ということになります。また、点Hを通り平面Lに垂直な平面は△CPQを含む平面であり、2点
，
を通り平面Lに垂直な平面Mは、△CPQを含むかまたは△CPQに平行です。さらに言えば、△CPQはP，Qを通る平面Mによる四面体の切り口なので、△CPQの面積は
です。
従って、平面Mによる四面体OABCの切り口の面積を求めるためには、△CPQの面積を求め、相似比を考えることになります。
：1
と△DABの面積
の比は(
：
=
：1 ･･･⑤
，
，
を調べます。
：1
，
は(
は、
，
が線分OP上、線分OQ上にあるとき(端点Oを除く)、つまり、
のときは、④と同様に、
：AB =
：OA = t：1
：
=
：1
･･･⑥
，
が線分PA上、線分QB上にあるとき(両端を除く)、つまり、
のとき、平面Mと直線OC，直線BC，直線ACとの交点を
，
，
として、平面Mによる四面体OABCの切り口は、△
ではなく、△
から△
を取り除いてできる四角形になります。
= 1：
：OD = t：1，
：OC = 
：
において、
と△
の面積の比は、
：△
= 
：
の面積は、
のときの
と同じ式で与えられ、
となるので、切り口の四角形
の面積
は、
......[答]
は
においては
において、
ゆえ、
のとき最大値：
(
)をとります(
を動くときの
の最大値は、
......[答]
に出発し、C上を各々一定の速さで、P，Qは反時計回りに、Rは時計回りに、時刻
まで動く。P，Q，Rの速さは、それぞれm，1，2であるとする。(したがって、QはCをちょうど一周する。)ただし、mは
をみたす整数である。△PQRがPRを斜辺とする直角二等辺三角形となるような速さmと時刻tの組をすべて求めよ。
に沿ってこの方向にx軸，
を反時計回りに
回転した方向にy軸をとり、点Aの座標を
とします。
，t，
で、半径が1なので、この距離はそのまま回転角の大きさとなり、P，Qが反時計回り、Rが時計回りに動くことから、P，Q，Rの時刻tにおける座標は、
，Q
，R
(
) (
かつ 
･･･①
は円周角
の
なので、
(内積を参照)
(
においては、
より、
(
)
･･･②
かつ
(
のときには
となり得ないので、両者がともに成り立つためには、
(
)
･･･③
より、
(
) ･･･④
のとき、④は、
のとき、④は、
のとき③より、
のとき③より、
のとき、④は、
が分母の
で割り切れるのは
のみで、このとき、
のとき、④は、
が分母の
で割り切れるのは
のみで、このとき、
のとき、④は、
が分母の
で割り切れるのは
のみで、
のとき
，
のとき
のとき、④は、
が分母の
で割り切れるのは
のみで、このとき
......[答]
，
を考える。
(
)を通るx軸に平行な直線と、直線
との交点を、それぞれ
(
)とする。このとき
と
の面積は等しいことを示せ。
とする。このときCの
の範囲にある部分と、線分
，
とで囲まれる図形の面積を、
，
を用いて表せ。
(1) 
，
は、直線
上の点なので、x座標はy座標に等しく、
，
となります。
，つまり、原点O，
，
を3頂点とする
は、
，つまり、原点O，
，
を3頂点とする三角形の面積
は、
と
が同じ形をしているので、曲線C上の点
について、
がどういう値になるかを調べてみます。
(一定) ･･･①
，
で囲む面積を
，
，
として
の面積を
，
の面積を
として、
，
となる場合を含めて、
の場合、
，
の場合、
，
の場合、
，
･･･②
，
を用いて表せ」ということなので、
，
を使わずに
，
で表すようにします。①を用いると、
･･･③
，
･･･④
においては、
より、
の場合についても、
･･･⑤
について、
･･･⑥ (
，
を使わず
，
で表すようにするために、
･･･⑦
が困りますが、⑤を用いて、
(∵ 
)
のときy：
......[答]
のとき、2回の操作後に確率
で最初の状態(＊)が出てきます。
回の操作後にLの個数が30個になる確率は
です。
回の操作後にLの個数が30個になる確率は
です。
回の操作後にLの個数が30個になるのは、最初の2回で、2回続けて表が出た場合(確率
)と、2回の操作で表、裏と出て(確率
)さらに以後の
回の操作でLの個数が30個になる場合です。つまり、
のとき、4回の操作後に確率
で最初の状態(＊)が出てきます。
回の操作後にLの個数が30個になる確率は
ですが、こうなるのは、最初の4回で、3回続けて表が出た場合(確率
)と、4回の操作で表、表、裏、表と出た場合(確率
)と、表、表、裏、裏と出て(確率
)さらに以後の
回の操作でLの個数が30個になる場合(確率
)です。つまり、