aを実数とする。傾きがmである2つの直線が、曲線
とそれぞれ点A，点Bで接している。(1) 線分ABの中点をCとすると、Cは曲線
上にあることを示せ。
上にあることを示せ。(2) 直線ABの方程式が
であるとき、a，mの値を求めよ。
であるとき、a，mの値を求めよ。解答 数学Ⅱの微分の計算問題です。
(1) 
とおきます。
(微分を参照)傾きmの接線をもつとき、
･･･①この方程式の2解をa，b として、解と係数の関係より、
，
･･･②点A，点Bの座標は、
，
，線分ABの中点Cは、
②を用いて、
，，線分ABの中点Cは、②を用いて、
より、線分ABの中点Cは、曲線
上の点です。追記．
より、曲線
は変曲点
をもちます。3次関数のグラフは変曲点に関して対称なので、傾きの等しい接線が引ける異なる2点の中点は変曲点になります。(2) 直線ABと曲線
は、3点A，B，Cで交わります。
は、3点A，B，Cで交わります。直線AB：
と連立すると、
と連立すると、
･･･③直線AB上の点Cが
上の点なので、③は
という解をもちます。よって、
上の点なので、③はという解をもちます。よって、
より、aは実数なので、
......[答]このとき、③は、
(
)は、線分ABの中点Cの座標なので、A，Bのx座標は
です。方程式①の2解は
であって、②より、
......[答]TOPに戻る CFV21 メイン・ページ 考察のぺージ
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が成り立つことを示せ。
の増減、グラフの凹凸を調べ、グラフの概形をかけ。
として、
を既知として認めてしまえば単なる計算問題ですが、以下では、
を既知としないでやってみます。素直に考えて行くと泥縄式になってきますが、数学の勉強、とは、そういうものかも知れません。
(
とすると、
より
，
，よって、
において
で
は増加，
において
で
は減少(
，
は単調増加。
としたときに、
が0以上の値に近づいて行けば
が言える ･･･① のですが、問題は、
です。
のとき
を既知としてもよいかも知れませんが、ここでは、確認しておくことにします。
において
で
のとき
なので、
を言うためには、
において
となり、
のとき
となる関数
を見つけてきて、
の候補は、
です。
のとき、
です。
において、
であってくれればよい(元の不等式に戻ってしまいます)のですが、xで両辺を割ると、
になるので、
の最小値を調べてみます。
とすると、
において
より
は減少、
において
より
は増加。
は
において最小値
(
)をとります。よって、
において、
における不等式、
とすると、
となり、はさみうちの原理より、
となるので、やはり、
の最小値を考えることにより、既にすんでいます。(1)の答案としては、以下のようなものになるでしょう。
を考える。
とすると、
において
より
は減少、
において
より
は増加。
は
において最小値
(
)をとる。よって、
において、
)をかけて、
の増減から
を言うためには、というところから思いつけば、充分に試験会場で間に合うはずです。
とすると、
，
とすると、
，
のとき
，
のとき
(1)の結果より
において
，ここで、
とすると
，
，よって、
が問題になることがあります。上記と同じようにやろうとして、
の各辺にxをかけて
の形ではさみうちに持ち込もうとしても、
のとき
なので、そもそも、
という不等式が成立しません。
では、
の各辺に
をかけることを考えます。まず、
の最小値を調べます。
とすると、
において
で
は減少，
において
で
は増加。
の最小値：
より、
をかけて、
とすると、
，はさみうちの原理より、
，m，nを3以上の整数とする。等式
，m，nの組をすべて求めよ。
･･･①
について解いてみます。
より、
だとして分母を払うと、
という制約はありますが)ので、有意義な条件は出てきません。
･･･②
より、
なので、分母を払って整理すると、
なので、
に限られます。
･･･③
のとき、③より、
のときで、各一に対応して、
のとき、③より、
のときで、このとき、
のとき、③より、
のときで、このとき、
，
，
，
，
......[答]
面体の1頂点にm個の正n角形がつながっているとき、①が成立します。以下のように、「オイラーの公式」そのものが入試問題となったこともあります。
に対して命題
が成り立つことを証明するには、次のことを示せばよい。
のとき成り立つ。
のとき成り立つとすると、
のときも成り立つ。
，辺の個数を
，面の個数を
と書く。このとき連結な平面グラフFに対してオイラーの公式
が成立する。この公式は
に関する数学的帰納法を用いて証明できる。
，すなわち、Gが一点からなるとき、
，
，
より公式は成立する。
のとき公式が成り立つとすると、
のときも成り立つことを示す。Gから任意の一辺を消去したグラフ
を考える。このとき
は連結となる場合と、二つの廉潔な部分
と
に分かれる場合が考えられる。前者を場合(A)，後者を場合(B)とする。
，
，
である。
，
，
である。
，
，
の辺の数がk以下であることに注意すれば、
，
となる。このことから場合(A)および場合(B)とも
を導くことができる。よって数学的帰納法より求める公式が示される。
となる。Gの各面が3辺以上からなるとすれば
である、オイラーの公式に代入すれば
を得る。いま、平面上に5点を置く。各点から残りの4点へ互いに交わらない曲線で結べる平面グラフが存在したとすると、
，
となり、これは上の不等式に矛盾する。したがってこのような平面グラフは存在しない。
(5) 
(6) 0 (7) 
(8) 0 ......[答]
個できるので、
個の3角形の辺の個数
個以上の辺ができます。実際には、2個の多角形が接して1本の辺ができているので、辺の個数は少なくとも
だけあります。多角形が4本以上の辺で囲まれていることも考慮すると、辺の個数
は
以上です。∴ 
本引けます。
となり不等式が成立しません)
さて、上記問題(ii)の場合で、
個の凸n角形の面をもつ凸多面体をよく伸びるゴムのようなもので作って、1つの面の中に1点をとり、この点を開口部としてこの面から多面体全体を押し広げて、1つの平面上にぴったり重ねてみます(右図の例を見てください)。開口部となった点が無限遠に行ってしまったとして、このときできる平面グラフを考えると、多面体の面の数は
，辺の数は
，頂点の数は
となります。
個の凸n角形になり、凸多面体の1つの頂点にm個の凸n角形がつながっているとします。
です。
です。
に代入すると、
図1のように、電池(起電力V)，抵抗1 (抵抗値
)，抵抗2 (抵抗値
)，抵抗3 (抵抗値
)，抵抗4 (抵抗値R)，コンデンサー(電気容量C)，コイル(自己インダクタンスL)，スイッチ
，
，
，
，
からなる回路がある。はじめ、すべてのスイッチは開いており、コンデンサーに電荷はたくわえられていない。電池の内部抵抗、導線およびコイルの抵抗は無視できる。以下の手順にしたがい、スイッチを開閉していく。各設問に答えよ。ただし、設問(1)～(5)には、V，R，C，Lから適切なものを用いて答えよ。
と
を閉じ、充分に長い時間をおいた。
を閉じたまま、
を開き、さらに
，
，
を閉じ、充分に長い時間をおいた。
を求めよ。ただし、
は図1において、下向きを正とする。
，
，
を閉じたまま、
を開いた。なお、
は開いたままであった。
を開いた直後に抵抗1に流れる電流
および抵抗2に流れる電流
を求めよ。ただし、
，
は図1において、右向きを正とする。この設問には
を用いて答えよ。
は0ではありません。0だとすると設問(6)の答の書きようがなくなります。スイッチを切り換えて充分に時間が経過したとき、コイルは導線と同じ状況になるのですが、これは、コイル両端の電圧が0になる(
なので、コイルを流れる電流が一定になる。自己誘導を参照)、ということであって、コイルを流れる電流が0になる、ということではないことに注意してください。
を蓄え、静電エネルギーは、
......[答]
です。電池の電圧はVで一定なので、電池のした仕事は、
......[答] (公式
については、
･･･①
と、抵抗4で発生するジュール熱
の比は、2：1になります。
で、
......[答]
(4) 充分長い時間の後、コイルは導線と同じ状態になり、コイル両端の電圧は0になります。
と、抵抗2と抵抗4を並列接続させた合成抵抗
の
∴ 
∴ 
･･･②
で、
(右向き)
で、
(右向き)
は、
(下向き) ......[答]
......[答]
(6) 
を開いて電池との接続を切ってしまうと、電池から流れ出す電流はなくなりますが、コイルは電流
を流し続けようとします。
，右の分枝の抵抗値は
です。コイル両端、つまり、左の分枝、右の分枝両端の電圧は等しいので、左の分枝を流れる電流
，右の分枝を流れる電流
(右向きを正としているのでマイナスがつきます)は、抵抗値に反比例して、その比は、1：2となり、
を1：2に分けて、
，
，
......[答]
について、
となるように、定数a，bを定めよ。
(
)とおく。このとき、
を求めよ。
の値を求めよ。
はまともに計算すると、部分積分を2回行うことになりますが、計算ミスし易いので、本問の誘導のように、逆に
を微分して
となるようにa，bを定め、原始関数を求めるようにしましょう。
(
となるために、
･･･①
･･･②
，これを①に代入して、
，
......[答]
(C：積分定数)
とすることにより、
......[答]
とすると、公式
より、
，
と、
より、
......[答]
，
，
とする。実数
を与えたとき、Aを始点としBを通る半直線上に
となるように点Pをとる。次の問いに答えよ。
をa，b，c，tを用いて表せ。
を満たすとき、tを求めよ。
と
に関する条件を求めよ。
より、
......[答]
より、
です。
のときに限って
も解になります。
，
のときのみ
......[答]
に対応する点P，つまり
となる半直線AB上の点Pは、点Bに一致するので、辺AB上の点です。従って、「(2)の条件を満たす点Pが辺AB上にちょうど2つある」ためには、
であればよいことになります。よって、
かつ 
･･･②
⇔ 
のとき、
(
......[答]
，
，
とし、
，
は1次独立だとします。s，tを実数として、
･･･①
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
は1次独立なので
は正則(逆行列が存在)で、右から
をかけて、
となるために、
であれば、①は満たされます。
が存在して1次変換fを表す行列が定まります。
，
となるために、
かつ 
，従って、
または ‘
かつ
'となりますが、‘
かつ
'のときには
となり三角形ができません。
であれば、①が満たされます。
，
となるために、
かつ 
，従って、
または ‘
かつ
'となりますが、‘
かつ
'のときには
となり三角形ができません。
であれば、①が満たされます。
，
となるために、
かつ 
，従って、
，
であれば、①は満たされます。
，
となるために、
かつ 
，従って、
，
であれば、①は満たされます。
，
が1次独立であればf を表す行列が存在し、
であれば、(i)～(vi)の6個の1次変換が①を満たします。
であれば、(i)，(ii)の2個の1次変換が①を満たします。
，
または 
，
であれば、(i)，(ii)，(iv)，(v)の4個の1次変換が①を満たします。
となるので、①を満たす1次変換は6個ある、ということになります。
を点
に移す点の移動f が行列
を用いて
，Q
，R
をとる。
であるものについて、集合
が集合
と等しくなるような1次変換f の個数を求めよ。ただし、P，Q，Rをf で移した点をそれぞれ
，
，
とする。
，
について、
，
･･･①
，
，
(
･･･(＊)
，
より、gを表す行列をBとして、
，
を右からかけて(
......[答]
より、
，
......[答]
のとき、R
，
のとき、R
......[答]
，
，
より、
･･･①
について
)を表す行列は、単位行列
ですが、
，
，
となるので、①を満たします。
，
，
，
，
，
，
，
，
，
より、
，
を右からかけて、
となり、①を満たします。
，
より、
，
を右からかけて、
となり、①を満たします。
，
より、
，
を右からかけて、
となり、①を満たします。
，
より、
，
を右からかけて、
となり、①を満たします。
地表面上で静止した半径Rの球面の内側に沿って、図1のように質量mの物体が等速円運動している。球の中心点Oから垂らした鉛直線と球面との交点をA，軌道上の一点をBとすると、角AOBの大きさはq (
)であった。ただし、物体の大きさおよび物体と球面との摩擦は無視できるものとし、重力加速度をgと表記する。
を求めよ。
を求めよ。
を求めよ。
つぎに、図2のように、点Oを通る水平面で球を切断し上半分を除いて半球とし、これを
の方向に加速度
にて等加速度運動させる。ただし点Cは点Bから線分OAにおろした垂線の足である。半球とともに運動する観測者が物体を点Bに静止させ、そっと手を離した後の運動に関して、次の問いに答えよ。
を求めよ。
，垂直抗力の鉛直方向成分
(上向き)です。鉛直方向の
......[答]
問2 水平面において、物体は、半径
の円周上を
です。物体の速さをvとして、
の円周を速さvで回るので、等速円運動の周期Tは、
......[答]
問3 物体は球面に沿って運動を始めるので、球面に垂直な方向(法線方向)では、
，重力の法線方向成分
(中心から外向き)です。
......[答]
問4 A点を基準としてB点における物体の位置エネルギーは
， A点での運動エネルギーは
，
......[答] ･･･①
と鉛直下向きの重力
です。点Aにおける
......[答]
問5 まず、半球とともに移動する観測者から見て、手を離した時に物体に働く力は、垂直抗力と重力と
)のとき、法線方向に物体に働く力は、垂直抗力N (中心を向く)，重力の法線方向成分
(中心から外を向く)，慣性力の法線方向成分
(中心を向く)で、物体の速さをvとして、円運動の
･･･②
，慣性力がする仕事は
･･･③
･･･④
，つまり、
において、Nは
，つまり、
のときに最小です。
においても
であれば、物体は、BとAの間で半球との接触を保ちます。よって、④で
として、
(問6で見るように、このNはB点での垂直抗力です)
･･･⑤
のときに
となることです。③より、
より、
......[答]
回った点をDとします。鉛直下向きの重力
と
方向の慣性力
を合成すると、
から時計回りに
回転した方向(
方向)を向く大きさ
の「見かけの重力」になります。
回転させ、Dが底になるように半球を置いて重力加速度を
にしたのと同じ状況です。
となる位置に物体を置くと、見かけの重力のために物体は半球の内面から離れてしまいます。
であれば、物体をどこに置いてもA側に動き始め、半球から飛び出すことはなく、必ずAを通ります。
，これより、
となります。
とすることにより、手を離した瞬間に、物体が球面から受ける垂直抗力の大きさ
は、
......[答] (
に注意)
の範囲を動くとき、
，つまり、
のときに最大となり、そのとき
として、
......[答]
を
と定める。実数a，c，および0でない実数bに対して、
とcはいずれも方程式
の解であるとする。ただし、iは虚数単位を表す。
のグラフにおいて、点
における接線の傾きを
とし、点
における接線の傾きを
とする。
のとき、
と
の大小を比較せよ。
は実数係数の方程式なので、
が解になれば、その
も解になります(
は、3個の解、
，
，cをもちます。
･･･①
･･･②
･･･③
(
(
なので、
......[答]
，
と書けます。
と書けます。
は4の倍数です。
，
はどちらか一方が奇数で他方は偶数です。このとき、
は奇数となり、4の倍数になり得ません。
，
と書けるので、
は4で割ると2余る整数で、4の倍数になり得ません。
を次式で定義する。
，
を求めよ。
が成り立つことを示せ。
(ただし
，
は有理数)と表されることを示せ。また
のときの
を求めよ。必要ならばpが無理数であることを用いてよい。
より、
......[答]
......[答]
(
の場合も考えて示す必要があります。
のとき、(1)より、
(有理数)，
(有理数)とすれば、
(ただし
，
は有理数)と表されます。
のとき、
(ただし
，
は有理数)と表されるとします。
とすることにより、
(有理数)，
(有理数) ･･･①
のときにも、
(ただし
，
は有理数)と表されます。
(ただし
，
は有理数)と表されます。
のときを調べます。
のとき、
(有理数)，
(有理数)とすれば、
(ただし
，
は有理数)と表されます。
のとき、
(ただし
，
は有理数)と表されるとします。
とすることにより、
(有理数)，
(有理数)
のときにも、
(ただし
，
は有理数)と表されます。
(ただし
，
は有理数)と表されます。
ゆえ、
のとき、
......[答]
，
，
とおくとき、次の問いに答えよ。
を求めよ。
の値を求めよ。
である直角二等辺三角形、△BCDは
である正三角形です。
，
で、△ABCは
である二等辺三角形。
･･･①
，
，
(
より、
......[答] (
･･･② (
，
......[答]
，
なので、a，b の大小関係と、
，
の大小関係は一致します。
......[答]
，定積モル比熱を
，それらの比
をg，気体定数を
とする。理想気体では
と
との間には
の関係が成り立つので、
はgおよびRを用いて
と表せる。また、理想気体の断熱変化では、圧力
と体積
の間に
が成り立つ。
問2 図1のように、大気圧
下で断面積
のシリンダー内をなめらかに動くピストンがあり、
の理想気体が封入されている。ピストンおよびシリンダーは断熱材で構成されており、シリンダー内には加熱用のヒーターが取り付けられている。初期状態では気体の圧力は
，体積は
，温度は
である。この状態を
と呼ぶ。
からヒーターで気体に
の熱を加えたところ、気体の体積は
，温度は
となった。ここでヒーターのスイッチを切った。この状態を
と呼ぶ。
から
への変化は
と
は
，
，
，R，Qを用いて
，
と表せる。また、この間に気体が外部にした仕事
と気体の内部エネルギー増加分
は、
，R，Qを用いて
，
と表せる。
問3 状態
から、図2の矢印の方向にピストンに力を加えてゆき、温度が初期温度
と等しくなるまで気体をゆっくりと膨張させたところ、ピストンを引く力の大きさは
，気体の体積は
となった。この状態を
と呼ぶ。
から
への変化は
は
，
，A，F，gを用いて
と表せる。また、
，
における気体の内部エネルギーをそれぞれ
，
とすると、それらの関係は
問4 解答用紙のp-Vグラフ上に
および
を表す点、ならびに、
から
，
から
への変化を表す直線または曲線を記入せよ。ただし図は概略でよい。
， (カ) 
， (キ) 
･･･①
より、
......[答]
で一定で、
→
の変化は
･･･②
......[答] 
の
･･･③
......[答]
の
→
の過程で気体が外部に対してした仕事は、
(
......[答]
→
の過程で、
......[答]
→
の変化は
において、ピストンを引く力が
で、他に、ピストンに働く力は、右向きの大気圧による力
，左向きの気体の圧力による力
で、これらの
･･･④
より、
......[答]
，
では温度が等しいので、
問4 右図。
を連続関数とするとき、
とおくと、
，x：
のときt：
(
(∵ 
，
と見て(1)を用いると、
とおくと、
，x：
のときt：
(
(
......[答]
，
が与えられたとき、数列
を
，
のとき、
を10で割った余りを求めよ。
のとき、
は10の倍数であることを示せ。
･･･①
･･･②
は、初項
，公比
の
･･･③
･･･④
は、初項
，公比3の等比数列です。
･･･⑤
･･･⑥
を10で割った余りを調べるために、⑥の中カッコ内を100で割ったときの余りを調べます。
の下2桁が‘01'となることに着目(
です)すると、
より、
で、
の下2桁は‘01'なので、
より、
の下2桁は‘83'です。
の下2桁が‘04'になることに着目(
，
です)すると、
より、
の下2桁は‘04'なので、
，
より、
の下2桁は‘－12'です。
より20で、⑥より、
を10で割った余りは、
......[答]
と表すと、p，q，r，sを整数として、
･･･⑤
，
)として、
，
と書けたとすると、
を10で割った余り、つまり、
について、漸化式：
と⑤より、
･･･⑥
として、
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
について、
，
(
)となります。
は、
について、周期20で繰り返すことがわかります。
......[答]
は、初項
，公比
の等比数列です。
･･･⑦
は、初項
，公比3の等比数列です。
･･･⑧
は10の倍数です。